1. 如图，$∠ AOB=90°$，$∠ COD=60°$.
(1)若OC平分$∠ AOD$，求$∠ BOC$的度数；
(2)若$∠ BOC=\frac{1}{14}∠ AOD$，求$∠ AOD$的度数；
(3)若射线OP从射线OB的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒$12°$的速度旋转，同时射线OQ从射线OA的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒$9°$的速度旋转，设射线OP旋转的时间为$t$（单位：秒），且$0＜t＜7.5$，求当$∠ QOP=\frac{1}{2}∠ AOP$时$t$的值.

答案D67

(1)因为OC平分∠AOD,所以∠COD=∠AOC=1/2∠AOD.
因为∠COD=60°,所以∠AOC=60°,所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-60°=30°.
(2)设∠AOD=x,则∠BOC=1/14 x,因为∠AOD=∠AOB+∠BOD,∠BOD=∠COD-∠BOC,所以∠AOD=∠AOB+∠COD-∠BOC. 因为∠AOB=90°,∠COD=60°,所以∠AOD=150°-∠BOC,所以x=150°-1/14 x,解得x=140°,所以∠AOD的度数为140°.
(3)当射线OP与射线OQ未相遇之前,如图①,由题意得∠AOQ=(9t)°,∠BOP=(12t)°,所以∠AOP=90°-∠BOP=90°-(12t)°,∠QOP=90°-∠AOQ-∠BOP=90°-(21t)°.因为∠QOP=1/2∠AOP,所以90°-(21t)°=1/2[90°-(12t)°],解得t=3;
当射线OP与射线OQ相遇后且均在∠AOB内部时,如图②,
由题意得∠AOQ=(9t)°,∠BOP=(12t)°,所以∠AOP=90°-∠BOP=90°-(12t)°,∠QOP=∠BOP-∠BOQ=∠BOP-(90°-∠AOQ)=(21t)°-90°. 因为∠QOP=1/2∠AOP,所以(21t)°-90°=1/2[90°-(12t)°],解得t=5.
综上所述,当∠QOP=1/2∠AOP时,t=3或5.

2. 如图①，A，O，B 三点在一条直线上，且∠AOC=24°，∠BOD=78°，射线 OM，ON 分别平分∠AOD 和∠BOD.如图②，将射线 OA 以每秒8°的速度绕点 O 逆时针旋转一周，同时将∠COD 以每秒6°的速度绕点 O 逆时针旋转，当射线 OC 与射线 OB 重合时，∠COD 停止运动.设射线 OA 的运动时间为 t 秒.
(1)运动开始前，如图①，∠DON=°，∠AOM=°.
(2)旋转过程中，当 t 为何值时，射线 OD 平分∠BOM?
(3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得∠MON=42°?若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由.

(1)39 51 解析: 因为A,O,B三点在一条直线上,∠AOC=24°,∠BOD=78°,所以∠AOD=180°-∠BOD=180°-78°=102°. 因为OM,ON分别平分∠AOD和∠BOD,所以∠DON=1/2∠BOD=1/2×78°=39°,∠AOM=1/2∠AOD=1/2×102°=51°.
(2)因为射线OA以每秒8°的速度绕点O逆时针旋转一周,同时将∠COD以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转,所以∠AOD=180°-78°+(6t)°-(8t)°=102°-(2t)°.因为射线OM平分∠AOD,所以∠DOM=1/2∠AOD=1/2[102°-(2t)°].因为∠BOD=78°-(6t)°,所以1/2[102°-(2t)°]=78°-(6t)°,所以t=5.4.
(3)存在某一时刻使得∠MON=42°,分以下几种情况:情况一:若ON在OB上方,此时∠DOM+∠DON=42°,即1/2[102°-(2t)°]+1/2[78°-(6t)°]=42°,解得t=12;
情况二:若ON在OB下方,此时∠DOM-∠DON=42°,即1/2[102°-(2t)°]-1/2[(6t)°-78°]=42°,解得t=12(不符合题意,舍去);
情况三:当∠COD停止运动时,OA继续旋转,当OA旋转264°时,有∠MON=42°,此时t=264/8=33.综上所述,符合条件的t的值为12或33.