1 如图, A B 为 $\odot O$ 的直径, D 为 $\odot O$ 上一点, $∠ ADC=∠ B$. 求证: 直线 C D 与 $\odot O$ 相切.

1. 连接OD.
∵ OA=OD,
∴ ∠A=∠ODA.
∵ AB 为⊙O 的直径,
∴ ∠ADB=90°.
∴ ∠A+∠B=90°.
∵ ∠ADC=∠B,
∴ ∠ODA+∠ADC=90°,即∠CDO=90°.
∴ CD⊥OD.
∵ OD为⊙O 的半径,
∴ 直线 CD 与⊙O 相切

【分析】要证明直线CD与⊙O相切，根据切线的判定定理，需证明CD垂直于⊙O的半径，因此连接OD，利用圆的半径相等、直径所对圆周角为直角以及已知的∠ADC=∠B，推导∠CDO=90°，即可完成证明。
【解析】连接OD。
∵ OA=OD（⊙O的半径相等），
∴ ∠A=∠ODA（等腰三角形两底角相等）。
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角），
∴ ∠A + ∠B = 90°（直角三角形两锐角互余）。
又
∵ ∠ADC=∠B（已知），
∴ ∠ODA + ∠ADC = 90°，即∠CDO=90°，
∴ CD⊥OD。
∵ OD是⊙O的半径，
∴ 直线CD与⊙O相切（切线的判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线）。
【答案】直线CD与⊙O相切，证明过程如上。
【知识点】切线的判定，圆周角定理，等腰三角形性质
【点评】本题是圆的切线判定的基础题型，核心是掌握“见切线连半径”的辅助线思路，结合圆的基本性质推导垂直关系，属于圆章节的常规基础题。
【难度系数】0.5

2 如图,O 是$△ ABC$ 的边 AC 上一点,以点 O 为圆心、OA 长为半径作$\odot O$,与 BC 相切于点 E,交AB 于点 D. 连接 OD 并延长,交 CB 的延长线于点 F,连接 AF,OE,$∠ AOD=∠ EOD$. 求证:AF是$\odot O$ 的切线.

2. 在△AOF 和△EOF 中,$\begin{cases} OA=OE,\\ ∠AOF=∠EOF,\\ OF=OF, \end{cases}$
∴ △AOF ≌△EOF.
∴ ∠OAF=∠OEF.
∵ BC 与⊙O 相切,
∴ OE⊥FC.
∴ ∠OAF=∠OEF=90°,即 OA⊥AF.
∵ OA 为⊙O 的半径,
∴ AF 是⊙O 的切线

【分析】要证明AF是⊙O的切线，根据切线的判定定理，需证AF垂直于⊙O的半径OA，即∠OAF=90°。已知OA、OE都是⊙O的半径，故OA=OE，结合∠AOD=∠EOD，OF为公共边，可通过SAS证明△AOF≌△EOF，得到对应角∠OAF=∠OEF；再利用BC与⊙O相切于E，根据切线的性质得OE⊥BC，即∠OEF=90°，从而推出∠OAF=90°，完成证明。
【解析】在△AOF和△EOF中，
$\begin{cases}OA=OE, \\∠AOF=∠EOF, \\OF=OF,\end{cases}$
∴△AOF≌△EOF（SAS），
∴∠OAF=∠OEF。
∵BC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥FC，即∠OEF=90°，
∴∠OAF=90°，即OA⊥AF。
又
∵OA是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线。
【答案】AF是⊙O的切线，证明过程如上。
【知识点】切线的判定、全等三角形的判定、切线的性质
【点评】本题是切线判定的基础证明题，需结合全等三角形的判定与切线的性质推导，思路清晰，属于常规题型，适合巩固相关几何知识点。
【难度系数】0.6

3 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90^{\circ }$,$CD$平分$∠ ACB$交$AB$于点$D$,以点$D$为圆心、$BD$长为半径作$\odot D$,交$AB$于点$E$.
(1) 求证:$AC$与$\odot D$相切;
(2) 若$AC=5$,$BC=3$,求$AE$的长.

3. (1) 如图,过点 D 作 DF⊥AC 于点 F.
∵ ∠ABC=90°,
∴ AB⊥BC.
∵ CD 平分∠ACB,
∴ BD=DF.
∵ BD 是⊙D 的半径,
∴ DF 是⊙D 的半径.
∴ AC 与⊙D 相切
(2) 设⊙D 的半径为 x.
∵ ∠ABC=90°,BC=3,AC=5,
∴ BC 与⊙D 相切,$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=4$.
∵ AC 与⊙D 相切,
∴ BC=CF=3.
∴ AF=AC-CF=2.
∵ AB=4,
∴ AD=AB-BD=4-x. 在Rt△AFD 中,$AD^2=DF^2+AF^2$,即$(4-x)^2=x^2+2^2$,解得$x=\frac{3}{2}$.
∴ AE=AB-BE=4-2x=4-3=1

【分析】要证明AC与⊙D相切，需依据切线判定定理，证明圆心到AC的距离等于半径。利用角平分线的性质，过D作DF⊥AC，可得DF=BD（BD是⊙D的半径），从而证得AC是切线；求AE时，先由勾股定理算出AB的长度，再用切线长定理得到CF=BC，设⊙D的半径为x，在Rt△ADF中应用勾股定理列方程求解，最后计算AE的长度。
【解析】(1) 证明：过点D作DF⊥AC于点F。
∵ ∠ABC=90°，
∴ DB⊥BC。
∵ CD平分∠ACB，DF⊥AC，DB⊥BC，
∴ DF=BD（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ BD是⊙D的半径，
∴ DF是⊙D的半径，又DF⊥AC，
∴ AC与⊙D相切。
(2) 解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，
由勾股定理得AB=√(AC² - BC²)=√(5² - 3²)=4。
∵ ∠ABC=90°，
∴ BC是⊙D的切线，又AC是⊙D的切线，
根据切线长定理，得CF=BC=3，
∴ AF=AC - CF=5 - 3=2。
设⊙D的半径为x，则BD=DF=x，AD=AB - BD=4 - x。
在Rt△ADF中，由勾股定理：AD²=DF² + AF²，
即(4 - x)² = x² + 2²，
展开得16 - 8x + x² = x² + 4，
解得x=3/2。
∵ BE是⊙D的直径，
∴ BE=2x=3，
∴ AE=AB - BE=4 - 3=1。
【答案】1
【知识点】切线的判定、角平分线的性质、勾股定理
【点评】本题综合考查切线的判定与性质、角平分线性质、切线长定理及勾股定理，通过作辅助线构造直角三角形，运用方程思想求解，是典型的几何综合题，需学生具备较强的推理和计算能力。
【难度系数】0.5