4 如图,PA,PB 是$\odot O$的切线,A,B 为切点,AC 是$\odot O$的直径,$∠ ACB=65^{\circ }$,则$∠ P=\_\_\_\_\_\_°$.

4. 50

【分析】
要解决这个问题，需结合圆的切线性质、圆周角定理及四边形内角和进行推导。首先连接OB，利用直径所对圆周角为直角算出∠BAC，再通过同弧的圆心角与圆周角关系得到∠AOB，最后根据切线垂直于过切点的半径，结合四边形内角和求出∠P。
【解析】
连接OB，
∵ AC是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ABC=90°$（直径所对的圆周角为直角），
又
∵ $∠ ACB=65°$，
∴ $∠ BAC=90° - 65°=25°$，
∵ OA=OB（$\odot O$的半径），
∴ $∠ OBA=∠ OAB=25°$，
∴ $∠ AOB=180° - ∠ OAB - ∠ OBA=180° -25° -25°=130°$，
∵ PA、PB是$\odot O$的切线，
∴ OA⊥PA，OB⊥PB（切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径），
∴ $∠ OAP=∠ OBP=90°$，
在四边形OAPB中，内角和为$360°$，
∴ $∠ P=360° - ∠ OAP - ∠ OBP - ∠ AOB=360° -90° -90° -130°=50°$。
【答案】
50
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、四边形内角和
【点评】
本题综合考查圆的相关性质与四边形内角和，解题关键是熟练运用切线性质和圆周角定理，逐步推导角的关系，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5

5 如图, A B 为$\odot O$的直径, 点 P 在$\odot O$外, P A 是$\odot O$的切线. 线段 O P 交$\odot O$于点 C, 连接 B C,$∠ P=32°$, 求$∠ B$的度数.

5.
∵ PA 是⊙O 的切线,
∴ ∠PAO=90°. 又
∵ ∠P=32°,
∴ ∠AOP=90°-32°= 58°.
∵ OB=OC,
∴ ∠B=∠OCB.
∵ ∠AOC=∠B+∠OCB=2∠B=58°,
∴ ∠B=29°

【分析】
要解决本题，首先利用切线的性质得到直角，结合直角三角形内角和求出圆心角∠AOP的度数；再利用同圆半径相等得到等腰三角形，结合三角形外角的性质，即可求出∠B的度数。具体思路：1. 由切线性质得∠PAO=90°，在Rt△PAO中计算∠AOP；2. 利用OB=OC得到等腰△OBC，推出∠B=∠OCB；3. 根据外角性质∠AOP=2∠B，进而算出∠B。
【解析】
解：
∵ PA是⊙O的切线，根据切线的性质，切线与过切点的半径垂直，
∴ ∠PAO = 90°。
在Rt△PAO中，∠P = 32°，直角三角形两锐角互余，
∴ ∠AOP = 90° - ∠P = 90° - 32° = 58°。
∵ OB、OC都是⊙O的半径，
∴ OB = OC，即△OBC为等腰三角形，
∴ ∠B = ∠OCB。
又
∵ ∠AOP是△OBC的外角，根据三角形外角的性质，外角等于不相邻两内角之和，
∴ ∠AOP = ∠B + ∠OCB = 2∠B。
∴ ∠B = ∠AOP ÷ 2 = 58° ÷ 2 = 29°。
【答案】
29°
【知识点】
切线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是圆的基础角度计算题，综合考查切线性质、等腰三角形性质和三角形外角性质，解题关键是利用切线性质得到直角，结合等腰三角形和外角性质建立角度关系，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.6

6 如图,$△ ABC$是$\odot O$的内接三角形,$AB$是$\odot O$的直径,$BE$是$\odot O$的切线,$∠ ACB$的平分线交$\odot O$于点$D$,连接$BD$.
(1)若$∠ CDB=48°$,求$∠ CBE$的度数;
(2)若$AB=10$,求$BD$的长.

6. (1)
∵ AB 是⊙O 的直径,
∴ ∠ACB=90°.
∴ ∠CAB+∠ABC=90°.
∵ BE 是⊙O 的切线,
∴ BE⊥AB.
∴ ∠ABE=90°.
∴ ∠CBE+∠ABC=90°.
∴ ∠CBE=∠CAB.
∵ ∠CDB=∠CAB,
∴ ∠CDB=∠CBE.
∵ ∠CDB=48°,
∴ ∠CBE=48°
(2) 如图,连接 OD.
∵ CD 平分∠ACB,
∴ ∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°.
∴ ∠DOB=2∠DCB=90°.
∵ AB=10,
∴ OB=OD=5.
∴ BD=$\sqrt{OB^2+OD^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$

【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 第一问：先利用AB是⊙O的直径，得到直径所对的圆周角∠ACB=90°，推出∠CAB与∠ABC互余；再结合BE是⊙O的切线，利用切线性质得BE⊥AB，推出∠CBE与∠ABC互余，根据同角的余角相等得到∠CBE=∠CAB；最后利用同弧所对的圆周角相等，得∠CDB=∠CAB，代入已知∠CDB=48°，即可求出∠CBE的度数。
(2) 第二问：先由CD平分∠ACB，结合∠ACB=90°得∠DCB=45°；再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得∠DOB=90°；已知AB=10，得半径OB=OD=5，在Rt△DOB中用勾股定理即可求出BD的长度。
【解析】
(1)
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
∴ ∠CAB + ∠ABC = 90°。
∵ BE是⊙O的切线，
∴ BE⊥AB（切线垂直于过切点的半径），
∴ ∠ABE=90°，
∴ ∠CBE + ∠ABC = 90°，
∴ ∠CBE = ∠CAB（同角的余角相等）。
又
∵ ∠CDB和∠CAB都是弧CB所对的圆周角，
∴ ∠CDB = ∠CAB（同弧所对的圆周角相等），
∴ ∠CBE = ∠CDB。
∵ ∠CDB=48°，
∴ ∠CBE=48°。
(2) 连接OD，
∵ CD平分∠ACB，∠ACB=90°，
∴ ∠DCB = 1/2 ∠ACB = 45°。
∵ 弧DB所对的圆心角是∠DOB，圆周角是∠DCB，
∴ ∠DOB = 2∠DCB = 2×45°=90°（圆周角定理）。
∵ AB=10，
∴ ⊙O的半径OB=OD=1/2 AB=5。
在Rt△DOB中，由勾股定理得：
BD = √(OB² + OD²) = √(5² +5²)=5√2。
【答案】
6. (1) ∠CBE=48°；(2) BD=5√2

【知识点】
圆周角定理、切线的性质、勾股定理
【点评】
本题是圆的综合题，主要考查圆周角定理、切线的性质及勾股定理的应用，解题关键是熟练运用圆的相关性质推导角度和线段关系，属于中等难度的常见题型。
【难度系数】
0.6

7 如图,$\odot O$ 的直径 $AB=8$,AM,BN 是它的两条切线,D,C 是射线 AM,BN 上的动点,且 CD 与$\odot O$ 相切于点 E. 设 $AD=x$,$BC=y$,求 y 与 x 之间的函数解析式.

7. 如图,过点 D 作 DF⊥BN 于点 F.
∵ AB 为⊙O 的直径,AM,BN 是⊙O 的两条切线,
∴ AB⊥AM,AB⊥BN. 又
∵ DF⊥BN,
∴ ∠BAD=∠ABC=∠BFD=90°.
∴ 四边形ABFD 是矩形.
∴ BF=AD=x,DF=AB=8.
∵ BC=y,
∴ FC=BC-BF=y-x.
∵ CD 与⊙O 相切于点 E,
∴ DE=DA=x,CE=CB=y,则 DC=DE+CE=x+y. 在 Rt△DFC中,由勾股定理,得$(x+y)^2=(y-x)^2+8^2$,整理,得$y=\frac{16}{x}$.
∴ y 与 x 之间的函数解析式为$y=\frac{16}{x}(x＞0)$

【分析】
要解决这个问题，需结合圆的切线性质、切线长定理，通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理建立变量关系。具体思路：1. 过点D作DF⊥BN，构造矩形ABFD，得到DF和FC的长度；2. 利用切线长定理，得出DE=AD=x、CE=BC=y，进而得到DC的表达式；3. 在Rt△DFC中应用勾股定理列出方程，整理得到y与x的函数解析式。
【解析】
过点D作DF⊥BN于点F。
∵ AB为⊙O的直径，AM、BN是⊙O的两条切线，
∴ AB⊥AM，AB⊥BN。
又
∵ DF⊥BN，
∴ ∠BAD=∠ABC=∠BFD=90°，
∴ 四边形ABFD是矩形，
∴ BF=AD=x，DF=AB=8。
∵ BC=y，
∴ FC=BC - BF = y - x。
∵ CD与⊙O相切于点E，根据切线长定理，得DE=DA=x，CE=CB=y，
∴ DC=DE + CE = x + y。
在Rt△DFC中，由勾股定理得：
DC² = DF² + FC²，
即 (x + y)² = 8² + (y - x)²，
展开左边：x² + 2xy + y²，右边：64 + y² - 2xy + x²，
两边消去x²、y²，得 4xy = 64，
整理得 y = 16/x，其中x＞0。
【答案】
y=16/x (x＞0)
【知识点】
切线长定理，矩形性质，勾股定理，函数解析式
【点评】
本题是几何与函数结合的典型题，通过作辅助线构造直角三角形，结合切线长定理和勾股定理建立变量关系，考查学生对圆的切线性质及相关定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.4