1 如图,点 $I$ 为$△ ABC$ 的内心,连接 $BI,CI$. 若$∠ A$ 的度数为 $50°$,则$∠ BIC$ 的度数为 （）

A.$105°$
B.$100°$
C.$115°$
D.$130°$

1. C

【分析】要解决本题，需先明确三角形内心的性质：内心是三角形三条角平分线的交点，因此BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB。接着利用三角形内角和定理，先求出△ABC中∠ABC与∠ACB的和，再结合角平分线性质得到∠IBC与∠ICB的和，最后在△BIC中再次运用内角和定理计算∠BIC的度数。
【解析】
∵ 点I为△ABC的内心，
∴ BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，
∴ ∠IBC = ½∠ABC，∠ICB = ½∠ACB。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 50° = 130°，
∴ ∠IBC + ∠ICB = ½(∠ABC + ∠ACB) = ½×130° = 65°。
在△BIC中，根据三角形内角和为180°，
∠BIC = 180° - (∠IBC + ∠ICB) = 180° - 65° = 115°。
故选C。
【答案】C
【知识点】三角形内心性质、三角形内角和定理
【点评】本题考查三角形内心的性质与三角形内角和的应用，属于基础几何题，解题核心是利用内心是角平分线交点的性质，结合内角和定理逐步推导，是常见的基础题型。
【难度系数】0.6

2 有下列说法：① 任意一个三角形有且只有一个内切圆；② 三角形的内心都在三角形的内部；③ 三角形的内心到三角形各顶点的距离相等；④ 三角形的内心与三角形各顶点的连线分别平分这个三角形的三个内角. 其中，正确的有（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

2. C

【分析】
要判断关于三角形内心的四个说法是否正确，需先明确三角形内心的定义与性质：内心是三角形三条角平分线的交点，是内切圆的圆心，据此逐一分析每个说法即可。
【解析】
逐个分析各说法：
1. 说法①：三角形的内心是唯一的，内心到任意一边的距离为内切圆半径，因此任意一个三角形有且只有一个内切圆，该说法正确；
2. 说法②：内心是三角形三条角平分线的交点，角平分线的交点一定在三角形内部，因此三角形的内心都在三角形的内部，该说法正确；
3. 说法③：三角形的内心到三角形各边的距离相等，而非到各顶点的距离相等（到各顶点距离相等是外心的性质），该说法错误；
4. 说法④：内心是三角形三条角平分线的交点，因此内心与三角形各顶点的连线就是三角形的角平分线，分别平分这个三角形的三个内角，该说法正确。
综上，正确的说法有①②④，共3个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的内切圆与内心、角平分线的性质
【点评】
本题考查三角形内心的基本性质，需准确区分内心与外心的不同性质，属于基础概念题，难度不大。
【难度系数】
0.6

3 如图，$△ ABC$ 的内切圆 $\odot O$ 与 $AB,BC,CA$ 分别相切于点 $D,E,F$。若 $∠ DEF=53°$，则 $∠ A$ 的度数是（）

A.$36°$
B.$53°$
C.$74°$
D.$128°$

3. C

【分析】
要解决本题，需利用圆的切线性质、圆周角定理及四边形内角和的知识。首先连接内切圆圆心与切点，得到垂直于边的半径，再结合圆周角与圆心角的关系求出对应圆心角，最后通过四边形内角和计算∠A的度数。
【解析】
连接OD、OF，
因为⊙O是△ABC的内切圆，与AB、AC分别相切于点D、F，
所以OD⊥AB，OF⊥AC，即∠ODA=∠OFA=90°。
在四边形ADOF中，根据四边形内角和为360°，可得：
∠A + ∠ODA + ∠OFA + ∠DOF = 360°，
代入∠ODA=∠OFA=90°，化简得：∠A + ∠DOF = 180°。
又因为∠DEF是⊙O中弧DF所对的圆周角，∠DOF是弧DF所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
所以∠DOF = 2∠DEF = 2×53° = 106°。
将∠DOF=106°代入∠A + ∠DOF =180°，计算得：
∠A = 180° - 106° =74°。
【答案】
C
【知识点】
三角形内切圆、圆周角定理、四边形内角和
【点评】
本题结合三角形内切圆的性质，通过圆周角定理转化角度，再利用四边形内角和求解，是几何角度计算的基础题型，需掌握切线与半径垂直、圆周角与圆心角的关系等核心知识点。
【难度系数】
0.5

4 若$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$b+|c-3|+a^{2}-8a=4\sqrt{b-1}-19$,则$△ ABC$的内切圆的面积为。

4. π

【分析】
要解决本题，需先通过等式求出△ABC的三边长，再计算内切圆面积。观察等式含绝对值、平方、根号，均为非负数，故将所有项移到左侧后配方，利用“非负数和为0则每个非负数为0”的性质求出a、b、c；再判断三角形形状，最后用内切圆半径公式计算面积。
【解析】
将原式移项整理：
$a^2 -8a + b -4\sqrt{b-1} + |c-3| +19 =0$
对a配方：$a^2 -8a=(a-4)^2 -16$；
设$t=\sqrt{b-1}$（$t≥0$），则$b=t^2+1$，代入得：
$b -4t = t^2+1 -4t=(t-2)^2 -3$
将上述结果代入整理后的等式：
$(a-4)^2 -16 + (t-2)^2 -3 + |c-3| +19 =0$
化简常数项：$-16-3+19=0$，故：
$(a-4)^2 + (t-2)^2 + |c-3|=0$
因平方、绝对值均为非负数，和为0则各部分为0：
$a-4=0⇒ a=4$；
$t-2=0⇒ t=2⇒ \sqrt{b-1}=2⇒ b=5$；
$|c-3|=0⇒ c=3$。
得三边长为3、4、5，满足$3^2+4^2=5^2$，故△ABC是直角三角形，直角边为3、4，斜边为5。
直角三角形内切圆半径公式：$r=\frac{两直角边和 - 斜边}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1$，
内切圆面积：$S=π r^2=π×1^2=π$。
【答案】
π
【知识点】
非负数的性质、三角形内切圆、勾股定理逆定理
【点评】
本题核心是利用非负数的性质配方求边长，再结合直角三角形性质计算内切圆面积，需掌握配方技巧和内切圆半径公式，综合性较强但步骤清晰。
【难度系数】
0.5

5 如图，$△ ABC$ 的内切圆 $\odot O$ 与 $BC,CA,AB$ 分别相切于点 $D,E,F$，且 $AB=18,BC=28,CA=26,$则 $AF$ 的长为.

5. 8

【分析】
要解决这个问题，需利用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的长度相等。设AF的长为x，根据切线长相等的性质，将BF、BD、CE、CD用含x的式子表示，再结合BC的长度建立方程，即可求解AF的长度。
【解析】
设AF = x，
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，与AB、AC分别相切于F、E，
∴ 根据切线长定理：AF = AE = x，
则 BF = AB - AF = 18 - x，
又
∵ ⊙O与AB、BC分别相切于F、D，
∴ BF = BD = 18 - x，
同理，CE = AC - AE = 26 - x，且CD = CE = 26 - x，
∵ BC = BD + CD = 28，
代入得：(18 - x) + (26 - x) = 28，
化简得：44 - 2x = 28，
移项得：2x = 16，
解得：x = 8，
即AF的长为8。
【答案】
8
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆
【点评】
本题考查切线长定理的应用，核心是利用切线长相等的性质设未知数列方程求解，属于三角形内切圆相关的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

6 一题多解 如图，$△ ABC$ 的三边分别为 $BC=3,AC=4,AB=5,\odot O$ 与 $△ ABC$ 的三边分别相切于点 $M,N,P$，求 $\odot O$ 的半径.

6.
∵ BC=3,AC=4,AB=5,
∴ BC²+AC²=3²+4²=25.
∵ AB²=5²=25,
∴ AB²=BC²+AC².
∴ ∠C=90°.
解法一(切线长法):如图,连接OM,ON,OP.
∵ ⊙O与△ABC的三边分别相切于点M,N,P,
∴ CP=CN,BN=BM,AP=AM,OP⊥AC,ON⊥BC.
∵ OP=ON,∠C=90°,
∴ 四边形OPCN为正方形.
∴ OP=CP.设CP=CN=x,BN=BM=y,AP=AM=z.
∴ $\begin{cases} x+y=3,\\ y+z=5,\\ x+z=4, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=1,\\ y=2,\\ z=3. \end{cases}$
∴ OP=CP=1,即⊙O的半径为1
解法二(面积法):连接OM,ON,OP,OA,OB,OC.设⊙O的半径为r,则$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}AB· r$,$S_{△ ACO}=\frac{1}{2}AC· r$,$S_{△ BCO}=\frac{1}{2}BC· r$.
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}r(AB+AC+BC)=\frac{1}{2}r×12=6r$.又
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×4×3=6$,
∴ 6r=6,解得r=1,即⊙O的半径为1

【分析】首先根据△ABC的三边长度，利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，∠C为直角。求直角三角形内切圆半径有两种常用方法：一是利用切线长定理，设切线长为未知数，列方程组求解；二是利用面积法，将△ABC的面积拆分为三个以内切圆半径为高、各边为底的小三角形面积之和，结合直角三角形面积公式计算半径。
【解析】
∵ BC=3，AC=4，AB=5，
∴ BC² + AC² = 3² + 4² = 25，AB² = 5² = 25，
∴ BC² + AC² = AB²，根据勾股定理逆定理，得∠C=90°。
解法一（切线长法）：连接OM、ON、OP，
∵ ⊙O与△ABC三边分别相切于M、N、P，
∴ CP=CN，BN=BM，AP=AM，且OP⊥AC，ON⊥BC，
又
∵ OP=ON，∠C=90°，
∴ 四边形OPCN是正方形，故OP=CP。
设CP=CN=x，BN=BM=y，AP=AM=z，
则有方程组：
$\begin{cases} x + y = 3 \\ y + z = 5 \\ x + z = 4 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \\ z=3 \end{cases}$，因此OP=CP=1，即⊙O半径为1。
解法二（面积法）：连接OM、ON、OP、OA、OB、OC，设⊙O半径为r，
则$S_{△ABO}=\frac{1}{2}AB·r$，$S_{△ACO}=\frac{1}{2}AC·r$，$S_{△BCO}=\frac{1}{2}BC·r$，
∴ $S_{△ABC}=S_{△ABO}+S_{△ACO}+S_{△BCO}=\frac{1}{2}r(AB+AC+BC)=\frac{1}{2}r×(5+4+3)=6r$，
又
∵ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}×4×3=6$，
∴ 6r=6，解得r=1，即⊙O半径为1。
【答案】1
【知识点】切线长定理、三角形内切圆、直角三角形性质
【点评】本题为一题多解题型，考查直角三角形内切圆半径的求法，两种方法分别运用切线长定理和面积法，思路清晰，是初中几何中内切圆相关的典型基础题，需掌握两种方法的应用。
【难度系数】0.6

7 如图,三角形纸片 ABC 的周长为 18 cm,小刚想用剪刀剪出它的内切圆$\odot O$,他先沿着与$\odot O$相切的直线 DE 剪下一个三角形纸片 BDE. 若$AC=4\ \mathrm{cm}$,则$△ BDE$的周长是（）

A.10 cm
B.9 cm
C.8 cm
D.7 cm

7. A 【解析】如图,设△ABC与⊙O相切于点M,N,F,DE与⊙O相切于点G,
∴ AM=AF,CN=CF,BM=BN,DM=DG,EG=EN.
∵ △ABC的周长为18 cm,AC=4 cm,
∴ AB+AC+BC=18 cm,AM+CN=AC=4 cm.
∴ AB+BC=18-4=14(cm).
∴ DB+DE+BE=BD+DG+GE+BE=BD+DM+EN+BE=BM+BN=AB+BC-(AM+NC)=14-4=10(cm).
∴ △BDE的周长是10 cm.

【分析】
要解决这个问题，需利用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。解题思路是先设△ABC与内切圆的切点，将△BDE的周长通过切线长转化为△ABC的相关线段的和，再结合已知的△ABC周长和AC的长度计算结果。
【解析】
设△ABC的边AB、BC、AC分别与⊙O相切于点M、N、F，直线DE与⊙O相切于点G。
根据切线长定理，得：
$AM=AF$，$CN=CF$，$BM=BN$，$DM=DG$，$EG=EN$。
已知△ABC的周长为$18\ \mathrm{cm}$，即$AB+BC+AC=18\ \mathrm{cm}$，且$AC=4\ \mathrm{cm}$，因此：
$AB+BC=18 - AC=18 - 4=14\ \mathrm{cm}$。
△BDE的周长为：
$BD + DE + BE = BD + (DG + GE) + BE$，
将$DG=DM$，$GE=EN$代入，得：
$BD + DM + EN + BE = (BD + DM) + (BE + EN) = BM + BN$。
又因为$BM=AB - AM$，$BN=BC - CN$，所以：
$BM + BN=(AB - AM)+(BC - CN)=(AB + BC)-(AM + CN)$。
结合$AM=AF$，$CN=CF$，得$AM + CN=AF + CF=AC=4\ \mathrm{cm}$，代入得：
$BM + BN=14 - 4=10\ \mathrm{cm}$，即△BDE的周长为$10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A.10 cm
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆
【点评】
本题考查切线长定理的应用，核心是利用切线长相等将所求三角形的周长转化为已知三角形的线段关系，解题关键是合理转化线段，难度适中，属于基础题型。
【难度系数】
0.6