登录
1. 下列各式中一定是二次根式的是 （
A.$\sqrt{-2}$
B.$\sqrt[3]{3}$
C.$\sqrt{a^2 + 1}$
D.$\sqrt{a - 1}$
C
）A.$\sqrt{-2}$
B.$\sqrt[3]{3}$
C.$\sqrt{a^2 + 1}$
D.$\sqrt{a - 1}$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断一个式子是否为二次根式，需紧扣二次根式的两个判定条件：①根指数为2（通常省略不写）；②被开方数必须是非负数（即大于等于0）。我们可以带着这两个条件逐一分析每个选项，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
二次根式的定义为：形如$\sqrt{a}\ (a≥0)$的式子叫做二次根式，需同时满足根指数为2、被开方数非负两个条件，据此分析各选项：
选项A：被开方数为$-2$，$-2＜0$，不满足被开方数非负的要求，不是二次根式；
选项B：根指数为3，属于三次根式，不符合根指数为2的要求，不是二次根式；
选项C：由平方的非负性可知$a^2≥0$，因此$a^2+1≥1＞0$，被开方数恒为正数，且根指数为2，一定是二次根式；
选项D：当$a＜1$时，$a-1＜0$，被开方数为负数，此时式子无意义，因此不一定是二次根式。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次根式的定义
2. 平方的非负性
【点评】
本题是二次根式判定的基础题型，解题核心是牢牢掌握二次根式的两个判定条件，注意判断被开方数是否恒为非负是这类题的常见易错点。
【难度系数】
0.8
要判断一个式子是否为二次根式，需紧扣二次根式的两个判定条件：①根指数为2（通常省略不写）；②被开方数必须是非负数（即大于等于0）。我们可以带着这两个条件逐一分析每个选项，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
二次根式的定义为：形如$\sqrt{a}\ (a≥0)$的式子叫做二次根式，需同时满足根指数为2、被开方数非负两个条件，据此分析各选项：
选项A：被开方数为$-2$，$-2＜0$，不满足被开方数非负的要求，不是二次根式；
选项B：根指数为3，属于三次根式，不符合根指数为2的要求，不是二次根式；
选项C：由平方的非负性可知$a^2≥0$，因此$a^2+1≥1＞0$，被开方数恒为正数，且根指数为2，一定是二次根式；
选项D：当$a＜1$时，$a-1＜0$，被开方数为负数，此时式子无意义，因此不一定是二次根式。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次根式的定义
2. 平方的非负性
【点评】
本题是二次根式判定的基础题型，解题核心是牢牢掌握二次根式的两个判定条件，注意判断被开方数是否恒为非负是这类题的常见易错点。
【难度系数】
0.8
2. 要使$\sqrt{x-2}$有意义，则$x$的值可以是 （
A.0
B.$-1$
C.$-2$
D.2
D
）A.0
B.$-1$
C.$-2$
D.2
答案
2.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二次根式有意义的核心条件：根号里的被开方数必须是非负数。我们先根据这个条件列出关于x的不等式，解出x的取值范围，再对照四个选项，找出符合取值范围的答案即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，可得：
$x-2≥0$
解这个不等式得：$x≥2$
逐一分析选项：
A. $x=0$，$0＜2$，不符合要求；
B. $x=-1$，$-1＜2$，不符合要求；
C. $x=-2$，$-2＜2$，不符合要求；
D. $x=2$，$2=2$，满足$x≥2$的要求。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考察二次根式的基本性质，只要牢记被开方数的非负性，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确二次根式有意义的核心条件：根号里的被开方数必须是非负数。我们先根据这个条件列出关于x的不等式，解出x的取值范围，再对照四个选项，找出符合取值范围的答案即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，可得：
$x-2≥0$
解这个不等式得：$x≥2$
逐一分析选项：
A. $x=0$，$0＜2$，不符合要求；
B. $x=-1$，$-1＜2$，不符合要求；
C. $x=-2$，$-2＜2$，不符合要求；
D. $x=2$，$2=2$，满足$x≥2$的要求。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考察二次根式的基本性质，只要牢记被开方数的非负性，就能快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 当$x＞1$时，下列式子中无意义的是 （
A.$\sqrt{x}$
B.$\sqrt{1-x}$
C.$\sqrt{x+1}$
D.$\sqrt{x-1}$
B
）A.$\sqrt{x}$
B.$\sqrt{1-x}$
C.$\sqrt{x+1}$
D.$\sqrt{x-1}$
答案
3.B
解析
【分析】
要判断二次根式是否无意义，需依据二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数（即大于等于0），若被开方数小于0，则二次根式无意义。解题时我们结合题目给出的x＞1的条件，逐一计算每个选项中被开方数的取值范围，找到被开方数小于0的选项即可。
【解析】
二次根式有意义的前提是被开方数≥0，若式子无意义，则被开方数＜0。已知x＞1，对各选项逐一分析：
A. 被开方数为x，x＞1＞0，满足被开方数≥0，式子有意义，不符合题意；
B. 被开方数为1-x，因为x＞1，所以1-x＜0，被开方数为负数，式子无意义，符合题意；
C. 被开方数为x+1，x＞1时，x+1＞2＞0，满足被开方数≥0，式子有意义，不符合题意；
D. 被开方数为x-1，x＞1时，x-1＞0，满足被开方数≥0，式子有意义，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式的相关性质，只要牢记二次根式被开方数非负的要求，结合已知的x的取值范围判断被开方数的正负，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要判断二次根式是否无意义，需依据二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数（即大于等于0），若被开方数小于0，则二次根式无意义。解题时我们结合题目给出的x＞1的条件，逐一计算每个选项中被开方数的取值范围，找到被开方数小于0的选项即可。
【解析】
二次根式有意义的前提是被开方数≥0，若式子无意义，则被开方数＜0。已知x＞1，对各选项逐一分析：
A. 被开方数为x，x＞1＞0，满足被开方数≥0，式子有意义，不符合题意；
B. 被开方数为1-x，因为x＞1，所以1-x＜0，被开方数为负数，式子无意义，符合题意；
C. 被开方数为x+1，x＞1时，x+1＞2＞0，满足被开方数≥0，式子有意义，不符合题意；
D. 被开方数为x-1，x＞1时，x-1＞0，满足被开方数≥0，式子有意义，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式的相关性质，只要牢记二次根式被开方数非负的要求，结合已知的x的取值范围判断被开方数的正负，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4. 下列各式中成立的是 （
A.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
B.$\sqrt{(-5)^2}=5$
C.$\sqrt{x^2}=x$
D.$\sqrt{(-2)^2}=\pm2$
B
）A.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
B.$\sqrt{(-5)^2}=5$
C.$\sqrt{x^2}=x$
D.$\sqrt{(-2)^2}=\pm2$
答案
4.B
解析
【分析】
本题考查二次根式的化简，解题核心是掌握二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，且算术平方根的运算结果一定是非负数。解题时可逐个对选项应用该性质进行验证，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
根据二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$（算术平方根的结果为非负数），逐一分析选项：
A选项：$\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2≠-2$，故A错误；
B选项：$\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$，故B正确；
C选项：$\sqrt{x^2}=|x|$，当$x＜0$时，$|x|=-x≠ x$，x的正负不确定，故C错误；
D选项：$\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2$，算术平方根只有唯一的非负结果，不存在正负两种情况，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质；算术平方根的定义
【点评】
本题是二次根式的基础常考题，易错点是忽略算术平方根的非负性，或者化简$\sqrt{x^2}$时忘记加绝对值，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的化简，解题核心是掌握二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，且算术平方根的运算结果一定是非负数。解题时可逐个对选项应用该性质进行验证，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
根据二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$（算术平方根的结果为非负数），逐一分析选项：
A选项：$\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2≠-2$，故A错误；
B选项：$\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5$，故B正确；
C选项：$\sqrt{x^2}=|x|$，当$x＜0$时，$|x|=-x≠ x$，x的正负不确定，故C错误；
D选项：$\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2$，算术平方根只有唯一的非负结果，不存在正负两种情况，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质；算术平方根的定义
【点评】
本题是二次根式的基础常考题，易错点是忽略算术平方根的非负性，或者化简$\sqrt{x^2}$时忘记加绝对值，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5.若$\sqrt{x+1}+\frac{1}{x-3}$有意义，则实数$x$的取值范围是 （
A.$x＞-1$且$x≠3$
B.$x≥-1$且$x≠3$
C.$x≥1$且$x≠3$
D.$x≠-1$且$x≠3$
B
）A.$x＞-1$且$x≠3$
B.$x≥-1$且$x≠3$
C.$x≥1$且$x≠3$
D.$x≠-1$且$x≠3$
答案
5.B
解析
【分析】
要确定代数式有意义时x的取值范围，需分别考虑式子中两部分的限制要求：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0，分别列出不等式求解后，取两个解集的公共部分即可得到最终范围。
【解析】
要使$\sqrt{x+1}+\frac{1}{x-3}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 对于二次根式$\sqrt{x+1}$，被开方数非负，即：
$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
2. 对于分式$\frac{1}{x-3}$，分母不为0，即：
$x-3≠0$，解得$x≠3$。
综合两个条件，x的取值范围为$x≥-1$且$x≠3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件
【点评】
本题是代数式有意义条件的基础考察题，解题时需注意当式子包含多种类型的代数式时，要逐一列出所有限制条件，再取各解集的公共部分，避免遗漏任意一个条件导致结果错误。
【难度系数】
0.9
要确定代数式有意义时x的取值范围，需分别考虑式子中两部分的限制要求：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0，分别列出不等式求解后，取两个解集的公共部分即可得到最终范围。
【解析】
要使$\sqrt{x+1}+\frac{1}{x-3}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 对于二次根式$\sqrt{x+1}$，被开方数非负，即：
$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
2. 对于分式$\frac{1}{x-3}$，分母不为0，即：
$x-3≠0$，解得$x≠3$。
综合两个条件，x的取值范围为$x≥-1$且$x≠3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件
【点评】
本题是代数式有意义条件的基础考察题，解题时需注意当式子包含多种类型的代数式时，要逐一列出所有限制条件，再取各解集的公共部分，避免遗漏任意一个条件导致结果错误。
【难度系数】
0.9
6. 已知二次根式$\sqrt{x^2}$的值为4，那么x的值是（
A.4
B.16
C.$-4$
D.4或$-4$
D
）A.4
B.16
C.$-4$
D.4或$-4$
答案
6.D
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，因此本题中$\sqrt{x^2}$化简后为$|x|$。结合题目给出的$\sqrt{x^2}=4$，可以转化为绝对值方程$|x|=4$，再根据绝对值的定义，绝对值为4的数有两个，分别是4和-4，就能得到x的取值，再对应选项选出答案即可。
【解析】
根据二次根式的性质可知：$\sqrt{x^2}=|x|$
由题意得$\sqrt{x^2}=4$，因此$|x|=4$
根据绝对值的定义，若$|x|=4$，则$x=4$或$x=-4$
所以x的值为4或-4，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次根式的化简和绝对值的求解，解题时容易遗漏x=-4的情况，需注意$\sqrt{x^2}$是非负数，但x本身可正可负，不要漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，因此本题中$\sqrt{x^2}$化简后为$|x|$。结合题目给出的$\sqrt{x^2}=4$，可以转化为绝对值方程$|x|=4$，再根据绝对值的定义，绝对值为4的数有两个，分别是4和-4，就能得到x的取值，再对应选项选出答案即可。
【解析】
根据二次根式的性质可知：$\sqrt{x^2}=|x|$
由题意得$\sqrt{x^2}=4$，因此$|x|=4$
根据绝对值的定义，若$|x|=4$，则$x=4$或$x=-4$
所以x的值为4或-4，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次根式的化简和绝对值的求解，解题时容易遗漏x=-4的情况，需注意$\sqrt{x^2}$是非负数，但x本身可正可负，不要漏解。
【难度系数】
0.7
7. 下列计算中正确的是 （
A.$\sqrt{(-a)^2}=-a$
B.$\sqrt[3]{(-a)^3}=-a$
C.$a^3 · (-a)^2=a^4$
D.$(-a^2)^3=a^6$
B
）A.$\sqrt{(-a)^2}=-a$
B.$\sqrt[3]{(-a)^3}=-a$
C.$a^3 · (-a)^2=a^4$
D.$(-a^2)^3=a^6$
答案
7.B
解析
【分析】
这道题需要我们逐一判断每个选项的计算是否正确，解题时分别结合平方根的性质、立方根的性质、同底数幂的乘法法则、积的乘方与幂的乘方法则对每个选项进行验证即可，要格外注意运算过程中的符号变化规则。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据平方根的性质，$\sqrt{(-a)^2}=\sqrt{a^2}=|a|$，仅当$a≤0$时结果为$-a$，$a＞0$时结果为$a$，该式不恒成立，故A错误。
选项B：根据立方根的性质，$\sqrt[3]{x^3}=x$对任意实数$x$都成立，因此$\sqrt[3]{(-a)^3}=-a$恒成立，故B正确。
选项C：先计算$(-a)^2=a^2$，再根据同底数幂相乘底数不变、指数相加的规则，$a^3·(-a)^2=a^3·a^2=a^{3+2}=a^5≠ a^4$，故C错误。
选项D：根据积的乘方和幂的乘方法则，$(-a^2)^3=(-1)^3·(a^2)^3=-a^{2×3}=-a^6≠ a^6$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
平方根的性质、立方根的性质、幂的运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查根式化简、幂运算相关法则的掌握情况，解题时要重点关注运算中的符号处理，避免因记错法则、忽略符号导致失分。
【难度系数】
0.7
这道题需要我们逐一判断每个选项的计算是否正确，解题时分别结合平方根的性质、立方根的性质、同底数幂的乘法法则、积的乘方与幂的乘方法则对每个选项进行验证即可，要格外注意运算过程中的符号变化规则。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据平方根的性质，$\sqrt{(-a)^2}=\sqrt{a^2}=|a|$，仅当$a≤0$时结果为$-a$，$a＞0$时结果为$a$，该式不恒成立，故A错误。
选项B：根据立方根的性质，$\sqrt[3]{x^3}=x$对任意实数$x$都成立，因此$\sqrt[3]{(-a)^3}=-a$恒成立，故B正确。
选项C：先计算$(-a)^2=a^2$，再根据同底数幂相乘底数不变、指数相加的规则，$a^3·(-a)^2=a^3·a^2=a^{3+2}=a^5≠ a^4$，故C错误。
选项D：根据积的乘方和幂的乘方法则，$(-a^2)^3=(-1)^3·(a^2)^3=-a^{2×3}=-a^6≠ a^6$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
平方根的性质、立方根的性质、幂的运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查根式化简、幂运算相关法则的掌握情况，解题时要重点关注运算中的符号处理，避免因记错法则、忽略符号导致失分。
【难度系数】
0.7
8. 等式$\sqrt{(x-1)^2}=x-1$成立的条件是
$x≥1$
。答案
8.$x≥1$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆二次根式的相关性质：对于$\sqrt{a^2}$，它的化简结果是$|a|$，而非直接等于$a$。我们可以先把等式左边的二次根式化简为绝对值形式，再根据绝对值的性质列不等式求解。具体思考步骤：1. 利用二次根式性质转化左边的式子；2. 根据“绝对值等于它本身的数是非负数”列出关于$x$的不等式；3. 解不等式得到$x$的取值范围。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|$，
因此原等式可转化为：$|x-1|=x-1$。
根据绝对值的性质：非负数的绝对值等于它本身，可得：
$x-1≥0$，
解这个不等式得：$x≥1$。
【答案】
$x≥1$
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的性质、解一元一次不等式
【点评】
本题是基础性质的综合应用题，重点考查对二次根式化简规则和绝对值性质的掌握，解题的关键是牢记$\sqrt{a^2}=|a|$而非直接等于$a$，避免忽略取值范围直接化简出错。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先回忆二次根式的相关性质：对于$\sqrt{a^2}$，它的化简结果是$|a|$，而非直接等于$a$。我们可以先把等式左边的二次根式化简为绝对值形式，再根据绝对值的性质列不等式求解。具体思考步骤：1. 利用二次根式性质转化左边的式子；2. 根据“绝对值等于它本身的数是非负数”列出关于$x$的不等式；3. 解不等式得到$x$的取值范围。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|$，
因此原等式可转化为：$|x-1|=x-1$。
根据绝对值的性质：非负数的绝对值等于它本身，可得：
$x-1≥0$，
解这个不等式得：$x≥1$。
【答案】
$x≥1$
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的性质、解一元一次不等式
【点评】
本题是基础性质的综合应用题，重点考查对二次根式化简规则和绝对值性质的掌握，解题的关键是牢记$\sqrt{a^2}=|a|$而非直接等于$a$，避免忽略取值范围直接化简出错。
【难度系数】
0.9
