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9.计算$\sqrt{(π - 4)^2}$的结果为
$4-π$
.答案
9.$4-π$
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，因此先将原式转化为求$|π-4|$；接下来判断$π-4$的正负：$π$是无限不循环小数，取值约为3.14，显然$π＜4$，因此$π-4$是负数；最后根据负数的绝对值等于它的相反数，即可求出最终结果。
【解析】
根据二次根式的性质可得：
$\sqrt{(π - 4)^2}=|π - 4|$
$\because π\approx3.14＜4$
$\therefore π - 4＜0$
根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数：
$|π - 4|=-(π - 4)=4-π$
【答案】
$4-π$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，无理数大小比较
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式化简与绝对值运算的结合，易错点是未判断绝对值内式子的正负，直接去掉根号得到错误结果$π-4$，解题时需先确定平方底数的正负再进行化简。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，因此先将原式转化为求$|π-4|$；接下来判断$π-4$的正负：$π$是无限不循环小数，取值约为3.14，显然$π＜4$，因此$π-4$是负数；最后根据负数的绝对值等于它的相反数，即可求出最终结果。
【解析】
根据二次根式的性质可得：
$\sqrt{(π - 4)^2}=|π - 4|$
$\because π\approx3.14＜4$
$\therefore π - 4＜0$
根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数：
$|π - 4|=-(π - 4)=4-π$
【答案】
$4-π$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，无理数大小比较
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式化简与绝对值运算的结合，易错点是未判断绝对值内式子的正负，直接去掉根号得到错误结果$π-4$，解题时需先确定平方底数的正负再进行化简。
【难度系数】
0.8
10.若式子$\frac{\sqrt{x+1}}{x-2}$有意义，则$x$的取值范围为
$x≥-1$且$x≠2$
。答案
10.$x≥-1$且$x≠2$
解析
【分析】
要确定式子有意义时x的取值范围，需要分别考虑式子中两部分的限制条件：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0，两个条件需要同时满足，因此分别列出对应的不等式，再取两个解集的公共部分即可得到x的取值范围。
【解析】
解：要使$\frac{\sqrt{x+1}}{x-2}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式$\sqrt{x+1}$的被开方数非负：
$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
2. 分式的分母不为0：
$x-2≠0$，解得$x≠2$。
综合两个条件，取公共解集，可得$x$的取值范围是$x≥-1$且$x≠2$。
【答案】
$x≥-1$且$x≠2$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 分式有意义的条件
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是代数式有意义的基础题型，解题时需注意同时兼顾式子中所有隐含的限制条件，易错点是容易遗漏分母不为0的要求，或者只考虑分母的限制忽略二次根式的被开方数要求。
【难度系数】
0.8
要确定式子有意义时x的取值范围，需要分别考虑式子中两部分的限制条件：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0，两个条件需要同时满足，因此分别列出对应的不等式，再取两个解集的公共部分即可得到x的取值范围。
【解析】
解：要使$\frac{\sqrt{x+1}}{x-2}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式$\sqrt{x+1}$的被开方数非负：
$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
2. 分式的分母不为0：
$x-2≠0$，解得$x≠2$。
综合两个条件，取公共解集，可得$x$的取值范围是$x≥-1$且$x≠2$。
【答案】
$x≥-1$且$x≠2$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 分式有意义的条件
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是代数式有意义的基础题型，解题时需注意同时兼顾式子中所有隐含的限制条件，易错点是容易遗漏分母不为0的要求，或者只考虑分母的限制忽略二次根式的被开方数要求。
【难度系数】
0.8
11.若$\sqrt{16-n}$是整数，则满足条件的自然数$n$的和为
50
。答案
11.50
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以从两个核心条件入手推导：首先根据二次根式有意义的要求确定n的取值范围，再结合根号运算结果为整数的条件，找出所有符合要求的n值，最后求和即可。首先二次根式的被开方数必须是非负数，由此可先锁定n的最大取值；其次根号结果为整数，说明被开方数16-n是完全平方数，枚举范围内所有符合条件的完全平方数就能求出对应的n值。
【解析】
1. 确定n的取值范围
二次根式$\sqrt{16-n}$有意义的前提是被开方数非负，即：
$16-n≥0$，解得$n≤16$
又因为n是自然数，所以$n≥0$，即$0≤ n≤16$，对应$16-n$的取值范围是$0≤16-n≤16$。
2. 枚举符合条件的完全平方数
因为$\sqrt{16-n}$是整数，所以$16-n$是0到16之间的完全平方数，符合要求的完全平方数有：$0^2=0$、$1^2=1$、$2^2=4$、$3^2=9$、$4^2=16$。
3. 计算对应n值并求和
根据上述完全平方数，分别求出对应的n：
当$16-n=0$时，$n=16$；
当$16-n=1$时，$n=15$；
当$16-n=4$时，$n=12$；
当$16-n=9$时，$n=7$；
当$16-n=16$时，$n=0$。
所有符合条件的n的和为：$0+7+12+15+16=50$。
【答案】
50
【知识点】
1. 二次根式的定义
2. 完全平方数的性质
【点评】
本题重点考查二次根式有意义的条件和完全平方数的应用，解题时要先确定取值范围再枚举情况，注意不要遗漏n=0、n=16这两种边界情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以从两个核心条件入手推导：首先根据二次根式有意义的要求确定n的取值范围，再结合根号运算结果为整数的条件，找出所有符合要求的n值，最后求和即可。首先二次根式的被开方数必须是非负数，由此可先锁定n的最大取值；其次根号结果为整数，说明被开方数16-n是完全平方数，枚举范围内所有符合条件的完全平方数就能求出对应的n值。
【解析】
1. 确定n的取值范围
二次根式$\sqrt{16-n}$有意义的前提是被开方数非负，即：
$16-n≥0$，解得$n≤16$
又因为n是自然数，所以$n≥0$，即$0≤ n≤16$，对应$16-n$的取值范围是$0≤16-n≤16$。
2. 枚举符合条件的完全平方数
因为$\sqrt{16-n}$是整数，所以$16-n$是0到16之间的完全平方数，符合要求的完全平方数有：$0^2=0$、$1^2=1$、$2^2=4$、$3^2=9$、$4^2=16$。
3. 计算对应n值并求和
根据上述完全平方数，分别求出对应的n：
当$16-n=0$时，$n=16$；
当$16-n=1$时，$n=15$；
当$16-n=4$时，$n=12$；
当$16-n=9$时，$n=7$；
当$16-n=16$时，$n=0$。
所有符合条件的n的和为：$0+7+12+15+16=50$。
【答案】
50
【知识点】
1. 二次根式的定义
2. 完全平方数的性质
【点评】
本题重点考查二次根式有意义的条件和完全平方数的应用，解题时要先确定取值范围再枚举情况，注意不要遗漏n=0、n=16这两种边界情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
12. 比较大小：$3\sqrt{2}$
$＞$
（填“＞”“＜”或“=”）$\sqrt{17}$.答案
12.$＞$
解析
【分析】
要比较两个正二次根式的大小，可利用“对于两个正数，平方大的数本身也更大”的性质，通过计算两个数的平方，比较平方结果的大小，进而推出原数的大小关系，这种平方法是二次根式比较大小的常用方法，无需估算无理数的近似值就能快速得出结论。
【解析】
解：分别计算两个数的平方：
$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 × (\sqrt{2})^2 = 9 × 2 = 18$
$(\sqrt{17})^2 = 17$
∵ $18＞17$，且$3\sqrt{2}$和$\sqrt{17}$均为正数
∴ $3\sqrt{2}＞\sqrt{17}$
【答案】
$＞$
【知识点】
二次根式的性质，实数大小比较
【点评】
本题是二次根式大小比较的基础题型，平方法是解决这类问题的常用技巧，熟练掌握二次根式的乘方运算即可快速求解。
【难度系数】
0.85
要比较两个正二次根式的大小，可利用“对于两个正数，平方大的数本身也更大”的性质，通过计算两个数的平方，比较平方结果的大小，进而推出原数的大小关系，这种平方法是二次根式比较大小的常用方法，无需估算无理数的近似值就能快速得出结论。
【解析】
解：分别计算两个数的平方：
$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 × (\sqrt{2})^2 = 9 × 2 = 18$
$(\sqrt{17})^2 = 17$
∵ $18＞17$，且$3\sqrt{2}$和$\sqrt{17}$均为正数
∴ $3\sqrt{2}＞\sqrt{17}$
【答案】
$＞$
【知识点】
二次根式的性质，实数大小比较
【点评】
本题是二次根式大小比较的基础题型，平方法是解决这类问题的常用技巧，熟练掌握二次根式的乘方运算即可快速求解。
【难度系数】
0.85
13. 当$x$是怎样的实数时，下列式子有意义？
(1)$\sqrt{(x+1)^2}$；(2)
；(3)$\sqrt{\dfrac{1}{1-|x|}}$
(1)$\sqrt{(x+1)^2}$；(2)
；(3)$\sqrt{\dfrac{1}{1-|x|}}$答案
13.(1)全体实数
(2)$x＞3$
(3)$-1＜x＜1$
(2)$x＞3$
(3)$-1＜x＜1$
解析
【分析】
要判断含二次根式的式子在实数范围内有意义，需牢记两个核心规则：①二次根式的被开方数必须大于等于0；②如果式子包含分母，分母不能为0。我们按这两个规则逐个分析三个式子：
1. 第一个式子的被开方数是平方形式，任意实数的平方都非负，因此无需额外限制；
2. 第二个式子分子、分母都含二次根式，分子的被开方数只需≥0，分母的二次根式同时要满足分母不为0，因此分母的被开方数必须＞0，联立两个条件取公共解集即可；
3. 第三个式子的被开方数是分式，要让分式整体≥0，结合分子为正数，可得分母必须＞0，解对应的绝对值不等式即可得到x的范围。
【解析】
解：二次根式有意义需满足被开方数非负，含分母时还需满足分母不为0。
(1) 对于$\sqrt{(x+1)^2}$，被开方数为$(x+1)^2$，任意实数的平方都大于等于0，即$(x+1)^2≥0$恒成立，因此x取全体实数时该式有意义。
(2) 对于$\dfrac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-3}}$：
分子的被开方数需满足：$x-1≥0$，解得$x≥1$；
分母作为二次根式且为除数，需满足：$x-3＞0$，解得$x＞3$；
取两个解集的公共部分，得$x＞3$。
(3) 对于$\sqrt{\dfrac{1}{1-|x|}}$：
被开方数为分式，分子$1＞0$，因此需满足分母$1-|x|＞0$，
变形得$|x|＜1$，解得$-1＜x＜1$。
【答案】
(1)全体实数；(2)$x＞3$；(3)$-1＜x＜1$
【知识点】
二次根式有意义条件，分式有意义条件，绝对值运算
【点评】
本题是二次根式有意义条件的基础应用题，解题时要注意当二次根式在分母位置时，被开方数不仅要非负，还要保证分母不为0，多个限制条件同时存在时要取所有解集的交集，避免漏条件出错。
【难度系数】
0.7
要判断含二次根式的式子在实数范围内有意义，需牢记两个核心规则：①二次根式的被开方数必须大于等于0；②如果式子包含分母，分母不能为0。我们按这两个规则逐个分析三个式子：
1. 第一个式子的被开方数是平方形式，任意实数的平方都非负，因此无需额外限制；
2. 第二个式子分子、分母都含二次根式，分子的被开方数只需≥0，分母的二次根式同时要满足分母不为0，因此分母的被开方数必须＞0，联立两个条件取公共解集即可；
3. 第三个式子的被开方数是分式，要让分式整体≥0，结合分子为正数，可得分母必须＞0，解对应的绝对值不等式即可得到x的范围。
【解析】
解：二次根式有意义需满足被开方数非负，含分母时还需满足分母不为0。
(1) 对于$\sqrt{(x+1)^2}$，被开方数为$(x+1)^2$，任意实数的平方都大于等于0，即$(x+1)^2≥0$恒成立，因此x取全体实数时该式有意义。
(2) 对于$\dfrac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-3}}$：
分子的被开方数需满足：$x-1≥0$，解得$x≥1$；
分母作为二次根式且为除数，需满足：$x-3＞0$，解得$x＞3$；
取两个解集的公共部分，得$x＞3$。
(3) 对于$\sqrt{\dfrac{1}{1-|x|}}$：
被开方数为分式，分子$1＞0$，因此需满足分母$1-|x|＞0$，
变形得$|x|＜1$，解得$-1＜x＜1$。
【答案】
(1)全体实数；(2)$x＞3$；(3)$-1＜x＜1$
【知识点】
二次根式有意义条件，分式有意义条件，绝对值运算
【点评】
本题是二次根式有意义条件的基础应用题，解题时要注意当二次根式在分母位置时，被开方数不仅要非负，还要保证分母不为0，多个限制条件同时存在时要取所有解集的交集，避免漏条件出错。
【难度系数】
0.7
14. 计算：
(1) $\sqrt{5^2} - (-2\sqrt{6})^2$；(2) $\sqrt{2 × 8} - \sqrt{(-3)^2} + 3 × \sqrt{(-\frac{1}{3})^2}$；
(3) $(-1)^{2025} + (π - 3)^0 + (\frac{1}{2})^{-1} - \sqrt{(1 - \sqrt{2})^2}$；(4) $\sqrt{64x^2y^2} \ (xy ≥ 0)$。
(1) $\sqrt{5^2} - (-2\sqrt{6})^2$；(2) $\sqrt{2 × 8} - \sqrt{(-3)^2} + 3 × \sqrt{(-\frac{1}{3})^2}$；
(3) $(-1)^{2025} + (π - 3)^0 + (\frac{1}{2})^{-1} - \sqrt{(1 - \sqrt{2})^2}$；(4) $\sqrt{64x^2y^2} \ (xy ≥ 0)$。
答案
14.解:(1)原式$=5-24=-19$.
(2)原式$=4-3+1=2$.
(3)原式$=-1+1+2-(\sqrt{2}-1)=3-\sqrt{2}$.
(4)原式$=8|x||y|=8xy$.
(2)原式$=4-3+1=2$.
(3)原式$=-1+1+2-(\sqrt{2}-1)=3-\sqrt{2}$.
(4)原式$=8|x||y|=8xy$.
解析
【分析】
本题是二次根式与实数运算的综合计算题，解题时需先回忆相关运算法则：①二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$；②幂的运算规则：乘方的符号法则、非零数的零次幂为1、负整数指数幂等于对应正指数幂的倒数；③去绝对值规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。解题时逐小题先分别计算每个独立运算项，再按照实数加减运算法则合并结果即可。
【解析】
(1) 先分别计算两项：
$\sqrt{5^2}=|5|=5$，$(-2\sqrt{6})^2=(-2)^2×(\sqrt{6})^2=4×6=24$，
因此原式$=5 - 24 = -19$。
(2) 逐项计算：
$\sqrt{2×8}=\sqrt{16}=4$，$\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3$，$3×\sqrt{(-\frac{1}{3})^2}=3×|-\frac{1}{3}|=3×\frac{1}{3}=1$，
因此原式$=4 - 3 + 1 = 2$。
(3) 逐项计算：
$(-1)^{2025}$是-1的奇数次方，结果为-1；
$(π-3)^0$中$π-3≠0$，零次幂结果为1；
$(\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$；
$\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}=|1-\sqrt{2}|$，因$\sqrt{2}＞1$，故$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，
因此原式$=-1 + 1 + 2 - (\sqrt{2}-1) = 3 - \sqrt{2}$。
(4) 按二次根式性质拆分计算：
$\sqrt{64x^2y^2}=\sqrt{64}×\sqrt{x^2}×\sqrt{y^2}=8|x||y|$，
已知$xy≥0$，故$|x||y|=|xy|=xy$，
因此原式$=8xy$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-19}$；(2) $\boldsymbol{2}$；(3) $\boldsymbol{3-\sqrt{2}}$；(4) $\boldsymbol{8xy}$
【知识点】
二次根式的性质，实数的运算，幂的运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对二次根式性质、幂的运算规则、绝对值化简的掌握程度，计算时要注意符号处理，尤其是去绝对值、计算平方项时要避免因忽略符号导致出错。
【难度系数】
0.7
本题是二次根式与实数运算的综合计算题，解题时需先回忆相关运算法则：①二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$；②幂的运算规则：乘方的符号法则、非零数的零次幂为1、负整数指数幂等于对应正指数幂的倒数；③去绝对值规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。解题时逐小题先分别计算每个独立运算项，再按照实数加减运算法则合并结果即可。
【解析】
(1) 先分别计算两项：
$\sqrt{5^2}=|5|=5$，$(-2\sqrt{6})^2=(-2)^2×(\sqrt{6})^2=4×6=24$，
因此原式$=5 - 24 = -19$。
(2) 逐项计算：
$\sqrt{2×8}=\sqrt{16}=4$，$\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3$，$3×\sqrt{(-\frac{1}{3})^2}=3×|-\frac{1}{3}|=3×\frac{1}{3}=1$，
因此原式$=4 - 3 + 1 = 2$。
(3) 逐项计算：
$(-1)^{2025}$是-1的奇数次方，结果为-1；
$(π-3)^0$中$π-3≠0$，零次幂结果为1；
$(\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$；
$\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}=|1-\sqrt{2}|$，因$\sqrt{2}＞1$，故$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，
因此原式$=-1 + 1 + 2 - (\sqrt{2}-1) = 3 - \sqrt{2}$。
(4) 按二次根式性质拆分计算：
$\sqrt{64x^2y^2}=\sqrt{64}×\sqrt{x^2}×\sqrt{y^2}=8|x||y|$，
已知$xy≥0$，故$|x||y|=|xy|=xy$，
因此原式$=8xy$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-19}$；(2) $\boldsymbol{2}$；(3) $\boldsymbol{3-\sqrt{2}}$；(4) $\boldsymbol{8xy}$
【知识点】
二次根式的性质，实数的运算，幂的运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对二次根式性质、幂的运算规则、绝对值化简的掌握程度，计算时要注意符号处理，尤其是去绝对值、计算平方项时要避免因忽略符号导致出错。
【难度系数】
0.7
