登录
1. [新课标·数学文化题]《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两个数，若其意义相反，则分别叫作正数与负数. 若气温零上$10\ °\mathrm{C}$记作$+10\ °\mathrm{C}$，则$-7\ °\mathrm{C}$表示气温为（
A.零上$3\ °\mathrm{C}$
B.零下$3\ °\mathrm{C}$
C.零上$7\ °\mathrm{C}$
D.零下$7\ °\mathrm{C}$
D
）A.零上$3\ °\mathrm{C}$
B.零下$3\ °\mathrm{C}$
C.零上$7\ °\mathrm{C}$
D.零下$7\ °\mathrm{C}$
答案
1.D
解析
【分析】
解题的核心是理解正负数用来表示相反意义的量的规则，首先明确题目给出的约定：零上气温记为正数，那么和零上意义相反的零下气温就对应记为负数，按照这个约定直接判断-7℃的实际含义即可。
【解析】
根据题意，正负数用于表示意义相反的两个量，本题规定零上气温记作正数，因此负数就对应表示零下气温。
已知零上$10\ °\mathrm{C}$记作$+10\ °\mathrm{C}$，所以$-7\ °\mathrm{C}$表示的气温为零下$7\ °\mathrm{C}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
正负数的意义；相反意义的量
【点评】
本题结合传统数学著作《九章算术》的记载出题，渗透数学文化的同时考查正负数的基础应用，只要明确题中正负对应的实际意义，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题的核心是理解正负数用来表示相反意义的量的规则，首先明确题目给出的约定：零上气温记为正数，那么和零上意义相反的零下气温就对应记为负数，按照这个约定直接判断-7℃的实际含义即可。
【解析】
根据题意，正负数用于表示意义相反的两个量，本题规定零上气温记作正数，因此负数就对应表示零下气温。
已知零上$10\ °\mathrm{C}$记作$+10\ °\mathrm{C}$，所以$-7\ °\mathrm{C}$表示的气温为零下$7\ °\mathrm{C}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
正负数的意义；相反意义的量
【点评】
本题结合传统数学著作《九章算术》的记载出题，渗透数学文化的同时考查正负数的基础应用，只要明确题中正负对应的实际意义，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2. 下列说法中不正确的是 （
A.有理数分为正有理数、负有理数和0
B.整数都可以写成分数的形式
C.可以写成分数形式的数就是有理数
D.整数只包括正整数和负整数
D
）A.有理数分为正有理数、负有理数和0
B.整数都可以写成分数的形式
C.可以写成分数形式的数就是有理数
D.整数只包括正整数和负整数
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查有理数相关的基础概念，解题时需逐一验证每个选项的表述是否符合有理数、整数的定义及分类规则：首先回忆有理数的分类方式、整数与分数的关系、有理数的定义，再逐个判断选项对错，最终选出表述不正确的选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：有理数按正负性质分类，可分为正有理数、负有理数和0，该表述正确，不符合题意；
B选项：所有整数都可以写成分母为1的分数形式，该表述正确，不符合题意；
C选项：有理数的定义为整数和分数的统称，即可以写成分数形式的数都是有理数，该表述正确，不符合题意；
D选项：整数包括正整数、0和负整数，选项表述遗漏了0，说法错误，符合题意。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1.有理数的分类
2.整数的分类
3.有理数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，易错点是容易忽略整数分类中的0，只要熟记有理数、整数的相关定义和分类标准就能准确作答。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数相关的基础概念，解题时需逐一验证每个选项的表述是否符合有理数、整数的定义及分类规则：首先回忆有理数的分类方式、整数与分数的关系、有理数的定义，再逐个判断选项对错，最终选出表述不正确的选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：有理数按正负性质分类，可分为正有理数、负有理数和0，该表述正确，不符合题意；
B选项：所有整数都可以写成分母为1的分数形式，该表述正确，不符合题意；
C选项：有理数的定义为整数和分数的统称，即可以写成分数形式的数都是有理数，该表述正确，不符合题意；
D选项：整数包括正整数、0和负整数，选项表述遗漏了0，说法错误，符合题意。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1.有理数的分类
2.整数的分类
3.有理数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，易错点是容易忽略整数分类中的0，只要熟记有理数、整数的相关定义和分类标准就能准确作答。
【难度系数】
0.8
3. 如图,整数$ a $在数轴上对应的点的位置被“
”盖住了,则$ a $是 （
）
A.$-1$
B.$-2$
C.$-3$
D.$-4$
”盖住了,则$ a $是 （）A.$-1$
B.$-2$
C.$-3$
D.$-4$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时先利用数轴的基本性质：数轴上右侧的数始终大于左侧的数，首先根据a被遮挡的位置确定它的取值范围，再结合a是整数的条件，从选项中匹配符合要求的数值即可。本题中a的位置在-3的右侧、-1的左侧，因此a的取值范围是-3 ＜ a ＜ -1，再筛选该区间内的整数就能得到答案。
【解析】
根据数轴上数的大小规律：数轴上从左到右的数依次增大，结合a的位置可得a的取值范围为：$\boldsymbol{-3 ＜ a ＜ -1}$。
已知a是整数，在-3到-1之间的整数只有-2，因此a=-2，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用，有理数大小比较
【点评】
本题是基础类题型，核心考查数轴上数的大小规律，解题关键是先确定待求数的取值范围，再结合整数的限制条件筛选答案，掌握数轴基础性质就能快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时先利用数轴的基本性质：数轴上右侧的数始终大于左侧的数，首先根据a被遮挡的位置确定它的取值范围，再结合a是整数的条件，从选项中匹配符合要求的数值即可。本题中a的位置在-3的右侧、-1的左侧，因此a的取值范围是-3 ＜ a ＜ -1，再筛选该区间内的整数就能得到答案。
【解析】
根据数轴上数的大小规律：数轴上从左到右的数依次增大，结合a的位置可得a的取值范围为：$\boldsymbol{-3 ＜ a ＜ -1}$。
已知a是整数，在-3到-1之间的整数只有-2，因此a=-2，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用，有理数大小比较
【点评】
本题是基础类题型，核心考查数轴上数的大小规律，解题关键是先确定待求数的取值范围，再结合整数的限制条件筛选答案，掌握数轴基础性质就能快速解答。
【难度系数】
0.9
4. 如图,数轴上的点M,P,N,Q分别表示四个有理数.若点M,N表示的有理数互为相反数,则图中表示正数的点的个数是
3
.答案
4.3
解析
【分析】
解题时先结合相反数的几何意义确定原点位置：互为相反数的两个数在数轴上对应的点关于原点对称，因此原点是线段MN的中点。再根据数轴“右正左负”的特点，判断位于原点右侧的点的数量即可。首先明确M在左、N在右，因此M是负数、N是正数，原点在M和N之间；观察点P的位置，P靠近N，说明原点在M和P之间，由此可判断所有在原点右侧的点即为表示正数的点。
【解析】
1. 根据相反数的几何性质：互为相反数的两个数对应的点到原点的距离相等，因此点M和点N的中点就是数轴的原点，原点位于M、N两点之间。
2. 观察数轴上的点的位置：从左到右依次为M、P、N、Q，且点P距离N更近，因此原点在M和P之间。
3. 数轴上原点右侧的数为正数，因此位于原点右侧的点有P、N、Q，共3个。
【答案】
3
【知识点】
相反数的几何意义；数轴的性质
【点评】
本题考查数轴与相反数的综合应用，核心是通过相反数的特征确定原点位置，再结合数轴判断数的正负，解题时要注意观察数轴上点的相对位置关系。
【难度系数】
0.8
解题时先结合相反数的几何意义确定原点位置：互为相反数的两个数在数轴上对应的点关于原点对称，因此原点是线段MN的中点。再根据数轴“右正左负”的特点，判断位于原点右侧的点的数量即可。首先明确M在左、N在右，因此M是负数、N是正数，原点在M和N之间；观察点P的位置，P靠近N，说明原点在M和P之间，由此可判断所有在原点右侧的点即为表示正数的点。
【解析】
1. 根据相反数的几何性质：互为相反数的两个数对应的点到原点的距离相等，因此点M和点N的中点就是数轴的原点，原点位于M、N两点之间。
2. 观察数轴上的点的位置：从左到右依次为M、P、N、Q，且点P距离N更近，因此原点在M和P之间。
3. 数轴上原点右侧的数为正数，因此位于原点右侧的点有P、N、Q，共3个。
【答案】
3
【知识点】
相反数的几何意义；数轴的性质
【点评】
本题考查数轴与相反数的综合应用，核心是通过相反数的特征确定原点位置，再结合数轴判断数的正负，解题时要注意观察数轴上点的相对位置关系。
【难度系数】
0.8
5. [2025·烟台中考]2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地，共筑未来”.国家林业和草原局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在 56 350 000 $\mathrm{hm}^2$ 以上.将数据56 350 000用科学记数法表示为
$5.635×10^7$
.答案
5.$5.635×10^7$
解析
【分析】
解决本题首先要回忆科学记数法的定义：科学记数法是将一个数表示为$a×10^n$的形式，其中需满足$1≤|a|＜10$，$n$为正整数。解题时分两步走：第一步先确定$a$的值，把原数的小数点向左移动，直到最高位非零数字的后面，得到的数就是$a$；第二步确定$n$的值，$n$等于原数的整数位数减1，也等于小数点向左移动的位数，最后组合成规范的科学记数法形式即可。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数。
1. 确定$a$的值：将原数56350000的小数点向左移动，直到数字5的后面，得到$a=5.635$，满足$1≤5.635＜10$的要求。
2. 确定$n$的值：原数56350000一共有8位整数，因此$n=8-1=7$，也可通过数小数点向左移动了7位得到$n=7$。
综上，56350000用科学记数法表示为$5.635×10^7$。
【答案】
$5.635×10^7$
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题是科学记数法的基础考察题型，解题核心是准确把握$a$的取值范围和$n$的计算方法，属于考试中常见的基础题型，熟练掌握规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要回忆科学记数法的定义：科学记数法是将一个数表示为$a×10^n$的形式，其中需满足$1≤|a|＜10$，$n$为正整数。解题时分两步走：第一步先确定$a$的值，把原数的小数点向左移动，直到最高位非零数字的后面，得到的数就是$a$；第二步确定$n$的值，$n$等于原数的整数位数减1，也等于小数点向左移动的位数，最后组合成规范的科学记数法形式即可。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数。
1. 确定$a$的值：将原数56350000的小数点向左移动，直到数字5的后面，得到$a=5.635$，满足$1≤5.635＜10$的要求。
2. 确定$n$的值：原数56350000一共有8位整数，因此$n=8-1=7$，也可通过数小数点向左移动了7位得到$n=7$。
综上，56350000用科学记数法表示为$5.635×10^7$。
【答案】
$5.635×10^7$
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题是科学记数法的基础考察题型，解题核心是准确把握$a$的取值范围和$n$的计算方法，属于考试中常见的基础题型，熟练掌握规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
6. 比较下列各组数的大小.（填“＞”“＜”或“=”）
(1)$-3.3$ ______ $-3.14$；
(2)$0$ ______ $|-3|$；
(3)$|-3.1|$ ______ $|2.9|$；
(4)$-\dfrac{8}{21}$ ______ $-\left|-\dfrac{1}{7}\right|$；
(5)$-|-2025|$ ______ $-(-2026)$.
(1)$-3.3$ ______ $-3.14$；
(2)$0$ ______ $|-3|$；
(3)$|-3.1|$ ______ $|2.9|$；
(4)$-\dfrac{8}{21}$ ______ $-\left|-\dfrac{1}{7}\right|$；
(5)$-|-2025|$ ______ $-(-2026)$.
答案
6.(1)＜ (2)＜ (3)＞ (4)＜ (5)＜
解析
【分析】
解题需遵循有理数比较大小的基本思路：①先将含有绝对值、多重符号的数化简为最简形式；②再根据规则判断大小：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。每道小题先完成化简步骤，再对应规则判断即可。
【解析】
(1) 两个负数比较大小，先求绝对值：$|-3.3|=3.3$，$|-3.14|=3.14$，因为$3.3＞3.14$，根据“两个负数，绝对值大的反而小”，可得$-3.3 ＜ -3.14$。
(2) 先化简右边：$|-3|=3$，根据“0小于正数”，可得$0 ＜ 3$，即$0 ＜ |-3|$。
(3) 先化简两个绝对值：$|-3.1|=3.1$，$|2.9|=2.9$，因为$3.1＞2.9$，所以$|-3.1| ＞ |2.9|$。
(4) 先化简右边：$-\left|-\dfrac{1}{7}\right|=-\dfrac{1}{7}=-\dfrac{3}{21}$，两个负数比较大小，求绝对值：$\left|-\dfrac{8}{21}\right|=\dfrac{8}{21}$，$\left|-\dfrac{3}{21}\right|=\dfrac{3}{21}$，因为$\dfrac{8}{21}＞\dfrac{3}{21}$，所以$-\dfrac{8}{21} ＜ -\dfrac{3}{21}$，即$-\dfrac{8}{21} ＜ -\left|-\dfrac{1}{7}\right|$。
(5) 先化简两边：左边$-|-2025|=-2025$，右边$-(-2026)=2026$，根据“负数小于正数”，可得$-2025 ＜ 2026$，即$-|-2025| ＜ -(-2026)$。
【答案】
(1)＜ (2)＜ (3)＞ (4)＜ (5)＜
【知识点】
有理数大小比较，绝对值的性质，多重符号化简
【点评】
本题是有理数大小比较的基础题型，核心是先对带特殊符号的数化简再判断，易错点是两个负数比较大小时容易混淆大小关系，熟练掌握比较法则即可准确作答。
【难度系数】
0.8
解题需遵循有理数比较大小的基本思路：①先将含有绝对值、多重符号的数化简为最简形式；②再根据规则判断大小：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。每道小题先完成化简步骤，再对应规则判断即可。
【解析】
(1) 两个负数比较大小，先求绝对值：$|-3.3|=3.3$，$|-3.14|=3.14$，因为$3.3＞3.14$，根据“两个负数，绝对值大的反而小”，可得$-3.3 ＜ -3.14$。
(2) 先化简右边：$|-3|=3$，根据“0小于正数”，可得$0 ＜ 3$，即$0 ＜ |-3|$。
(3) 先化简两个绝对值：$|-3.1|=3.1$，$|2.9|=2.9$，因为$3.1＞2.9$，所以$|-3.1| ＞ |2.9|$。
(4) 先化简右边：$-\left|-\dfrac{1}{7}\right|=-\dfrac{1}{7}=-\dfrac{3}{21}$，两个负数比较大小，求绝对值：$\left|-\dfrac{8}{21}\right|=\dfrac{8}{21}$，$\left|-\dfrac{3}{21}\right|=\dfrac{3}{21}$，因为$\dfrac{8}{21}＞\dfrac{3}{21}$，所以$-\dfrac{8}{21} ＜ -\dfrac{3}{21}$，即$-\dfrac{8}{21} ＜ -\left|-\dfrac{1}{7}\right|$。
(5) 先化简两边：左边$-|-2025|=-2025$，右边$-(-2026)=2026$，根据“负数小于正数”，可得$-2025 ＜ 2026$，即$-|-2025| ＜ -(-2026)$。
【答案】
(1)＜ (2)＜ (3)＞ (4)＜ (5)＜
【知识点】
有理数大小比较，绝对值的性质，多重符号化简
【点评】
本题是有理数大小比较的基础题型，核心是先对带特殊符号的数化简再判断，易错点是两个负数比较大小时容易混淆大小关系，熟练掌握比较法则即可准确作答。
【难度系数】
0.8
7. 计算：
(1)$-2^{3}-3×(-1)^{2025}-9÷(-3);$
(2)$-1^{4}-(-1\ \frac{1}{2})×\frac{2}{3^{2}}+(-6)÷\left|-2\ \frac{2}{5}\right|;$
(3)$-8×(-\frac{1}{2})^{2}+(\frac{3}{4}+\frac{1}{6}-\frac{5}{8})÷(-\frac{1}{24}).$
(1)$-2^{3}-3×(-1)^{2025}-9÷(-3);$
(2)$-1^{4}-(-1\ \frac{1}{2})×\frac{2}{3^{2}}+(-6)÷\left|-2\ \frac{2}{5}\right|;$
(3)$-8×(-\frac{1}{2})^{2}+(\frac{3}{4}+\frac{1}{6}-\frac{5}{8})÷(-\frac{1}{24}).$
答案
7.解:(1)原式$=-8-3×(-1)+9÷3=-2.$
(2)原式$=-1+\frac{3}{2}×\frac{2}{9}+(-6)×\frac{5}{12}=-\frac{19}{6}.$
(3)原式$=-8×\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×(-24)+\frac{1}{6}×(-24)-\frac{5}{8}×(-24)=-2-18-4+15=-9.$
(2)原式$=-1+\frac{3}{2}×\frac{2}{9}+(-6)×\frac{5}{12}=-\frac{19}{6}.$
(3)原式$=-8×\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×(-24)+\frac{1}{6}×(-24)-\frac{5}{8}×(-24)=-2-18-4+15=-9.$
解析
【分析】
这三道题是有理数混合运算类题目，解题需遵循固定运算顺序：首先计算乘方，其次计算乘除，最后计算加减；同级运算从左到右依次计算，有括号/绝对值时先计算括号/绝对值内的内容。解题时要注意乘方的符号规则：负数的奇次幂为负、偶次幂为正，形如$-a^n$的运算需先算$a^n$再添加负号；第三题可将除法转化为乘法后使用乘法分配律简化计算，降低出错概率。每道题按优先级分步计算即可。
【解析】
(1) 先计算乘方：$-2^3=-8$，$(-1)^{2025}=-1$，再计算乘除：$3×(-1)=-3$，$9÷(-3)=-3$，最后计算加减：
$\begin{aligned}原式&=-8-3×(-1)+9÷3\\&=-8+3+3\\&=-2\end{aligned}$
(2) 先计算乘方和绝对值：$-1^4=-1$，$3^2=9$，$\left|-2\frac{2}{5}\right|=\frac{12}{5}$，再将除法转为乘法并计算乘除：$\frac{3}{2}×\frac{2}{9}=\frac{1}{3}$，$(-6)×\frac{5}{12}=-\frac{5}{2}$，最后计算加减：
$\begin{aligned}原式&=-1+\frac{3}{2}×\frac{2}{9}+(-6)×\frac{5}{12}\\&=-1+\frac{1}{3}-\frac{5}{2}\\&=-\frac{6}{6}+\frac{2}{6}-\frac{15}{6}\\&=-\frac{19}{6}\end{aligned}$
(3) 先计算乘方：$(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，再将除法转为乘法，用乘法分配律展开计算：$(\frac{3}{4}+\frac{1}{6}-\frac{5}{8})×(-24)=-18-4+15$，最后计算加减：
$\begin{aligned}原式&=-8×\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×(-24)+\frac{1}{6}×(-24)-\frac{5}{8}×(-24)\\&=-2-18-4+15\\&=-9\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{19}{6}}$；(3) $\boldsymbol{-9}$
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，乘法分配律
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，重点考查运算顺序的掌握和符号处理能力，合理运用运算律可大幅简化计算过程，计算时需注意区分$-a^n$和$(-a)^n$的运算差异，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
这三道题是有理数混合运算类题目，解题需遵循固定运算顺序：首先计算乘方，其次计算乘除，最后计算加减；同级运算从左到右依次计算，有括号/绝对值时先计算括号/绝对值内的内容。解题时要注意乘方的符号规则：负数的奇次幂为负、偶次幂为正，形如$-a^n$的运算需先算$a^n$再添加负号；第三题可将除法转化为乘法后使用乘法分配律简化计算，降低出错概率。每道题按优先级分步计算即可。
【解析】
(1) 先计算乘方：$-2^3=-8$，$(-1)^{2025}=-1$，再计算乘除：$3×(-1)=-3$，$9÷(-3)=-3$，最后计算加减：
$\begin{aligned}原式&=-8-3×(-1)+9÷3\\&=-8+3+3\\&=-2\end{aligned}$
(2) 先计算乘方和绝对值：$-1^4=-1$，$3^2=9$，$\left|-2\frac{2}{5}\right|=\frac{12}{5}$，再将除法转为乘法并计算乘除：$\frac{3}{2}×\frac{2}{9}=\frac{1}{3}$，$(-6)×\frac{5}{12}=-\frac{5}{2}$，最后计算加减：
$\begin{aligned}原式&=-1+\frac{3}{2}×\frac{2}{9}+(-6)×\frac{5}{12}\\&=-1+\frac{1}{3}-\frac{5}{2}\\&=-\frac{6}{6}+\frac{2}{6}-\frac{15}{6}\\&=-\frac{19}{6}\end{aligned}$
(3) 先计算乘方：$(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，再将除法转为乘法，用乘法分配律展开计算：$(\frac{3}{4}+\frac{1}{6}-\frac{5}{8})×(-24)=-18-4+15$，最后计算加减：
$\begin{aligned}原式&=-8×\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×(-24)+\frac{1}{6}×(-24)-\frac{5}{8}×(-24)\\&=-2-18-4+15\\&=-9\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{19}{6}}$；(3) $\boldsymbol{-9}$
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，乘法分配律
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，重点考查运算顺序的掌握和符号处理能力，合理运用运算律可大幅简化计算过程，计算时需注意区分$-a^n$和$(-a)^n$的运算差异，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
