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1. $□ ABCD$的周长为40 cm，$△ ABC$的周长为25 cm，则AC的长为()
A.5 cm
B.6 cm
C.15 cm
D.16 cm
A.5 cm
B.6 cm
C.15 cm
D.16 cm
答案
A
解析
【分析】
本题考查平行四边形性质的基础应用，解题思路如下：首先根据平行四边形对边相等的性质，结合平行四边形的周长可算出相邻两边AB与BC的长度之和；再利用三角形ABC的周长公式，用三角形周长减去AB和BC的和，即可求出对角线AC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AD=BC（平行四边形对边相等）
∵平行四边形ABCD的周长为40 cm
∴AB+BC+CD+DA=40 cm，即2(AB+BC)=40 cm
计算得AB+BC=20 cm
又
∵△ABC的周长为25 cm
∴AB+BC+AC=25 cm
将AB+BC=20 cm代入上式：20+AC=25
解得AC=5 cm
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，三角形周长计算
【点评】
本题属于平行四边形性质的基础考查题，解题核心是灵活运用平行四边形对边相等的性质建立边长关系，计算难度低，掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查平行四边形性质的基础应用，解题思路如下：首先根据平行四边形对边相等的性质，结合平行四边形的周长可算出相邻两边AB与BC的长度之和；再利用三角形ABC的周长公式，用三角形周长减去AB和BC的和，即可求出对角线AC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AD=BC（平行四边形对边相等）
∵平行四边形ABCD的周长为40 cm
∴AB+BC+CD+DA=40 cm，即2(AB+BC)=40 cm
计算得AB+BC=20 cm
又
∵△ABC的周长为25 cm
∴AB+BC+AC=25 cm
将AB+BC=20 cm代入上式：20+AC=25
解得AC=5 cm
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，三角形周长计算
【点评】
本题属于平行四边形性质的基础考查题，解题核心是灵活运用平行四边形对边相等的性质建立边长关系，计算难度低，掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2.如果一个平行四边形有一组对角互补,那么这个平行四边形的四个角一定都是()
A.直角
B.钝角
C.锐角
D.不确定
A.直角
B.钝角
C.锐角
D.不确定
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形关于角的性质：①平行四边形的两组对角分别相等；②平行四边形的邻角互补。结合题目给出的“一组对角互补”的条件，先推导这组对角的度数，再通过邻角互补的性质推导剩下两个角的度数，就能得出结论。
【解析】
设该平行四边形为ABCD，根据平行四边形的性质可知：
1. 平行四边形对角相等，即$∠ A=∠ C$，$∠ B=∠ D$；
2. 平行四边形邻角互补，即$∠ A+∠ B=180°$。
已知该平行四边形有一组对角互补，不妨设$∠ A+∠ C=180°$，结合$∠ A=∠ C$，可得：
$2∠ A=180°$，解得$∠ A=∠ C=90°$。
再根据邻角互补的性质，$∠ A+∠ B=180°$，代入$∠ A=90°$，得$∠ B=90°$，又因为$∠ B=∠ D$，所以$∠ D=90°$。
因此该平行四边形的四个角都是直角。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；补角的定义
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题目，需要结合已知条件进行简单的逻辑推导，熟练掌握平行四边形角的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平行四边形关于角的性质：①平行四边形的两组对角分别相等；②平行四边形的邻角互补。结合题目给出的“一组对角互补”的条件，先推导这组对角的度数，再通过邻角互补的性质推导剩下两个角的度数，就能得出结论。
【解析】
设该平行四边形为ABCD，根据平行四边形的性质可知：
1. 平行四边形对角相等，即$∠ A=∠ C$，$∠ B=∠ D$；
2. 平行四边形邻角互补，即$∠ A+∠ B=180°$。
已知该平行四边形有一组对角互补，不妨设$∠ A+∠ C=180°$，结合$∠ A=∠ C$，可得：
$2∠ A=180°$，解得$∠ A=∠ C=90°$。
再根据邻角互补的性质，$∠ A+∠ B=180°$，代入$∠ A=90°$，得$∠ B=90°$，又因为$∠ B=∠ D$，所以$∠ D=90°$。
因此该平行四边形的四个角都是直角。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；补角的定义
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题目，需要结合已知条件进行简单的逻辑推导，熟练掌握平行四边形角的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 下列条件中,能判定一个四边形是平行四边形的条件是()
A.两条对角线互相垂直
B.两条对角线互相垂直且相等
C.两条对角线相等且交角为$60°$
D.两条对角线互相平分
A.两条对角线互相垂直
B.两条对角线互相垂直且相等
C.两条对角线相等且交角为$60°$
D.两条对角线互相平分
答案
D
解析
【分析】
本题考查平行四边形的判定，解题思路是先回忆平行四边形与对角线相关的判定定理，再逐一分析每个选项，结合反例排除不符合要求的选项，最终选出正确答案。首先明确：平行四边形的对角线相关判定为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，其余选项可通过举非平行四边形的反例来验证错误。
【解析】
我们根据平行四边形的判定定理逐一分析选项：
A. 两条对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，例如筝形的对角线互相垂直，但它不是平行四边形，故A错误；
B. 两条对角线互相垂直且相等但不平分时，对应的四边形不是平行四边形，因此该条件不能判定平行四边形，故B错误；
C. 两条对角线相等且交角为60°的四边形可能是等腰梯形，等腰梯形不是平行四边形，故C错误；
D. 根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，该条件可以判定，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，需要熟练掌握平行四边形的各类判定定理，同时要注意区分平行四边形和其他特殊四边形的对角线性质，避免混淆概念导致出错。
【难度系数】
0.85
本题考查平行四边形的判定，解题思路是先回忆平行四边形与对角线相关的判定定理，再逐一分析每个选项，结合反例排除不符合要求的选项，最终选出正确答案。首先明确：平行四边形的对角线相关判定为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，其余选项可通过举非平行四边形的反例来验证错误。
【解析】
我们根据平行四边形的判定定理逐一分析选项：
A. 两条对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，例如筝形的对角线互相垂直，但它不是平行四边形，故A错误；
B. 两条对角线互相垂直且相等但不平分时，对应的四边形不是平行四边形，因此该条件不能判定平行四边形，故B错误；
C. 两条对角线相等且交角为60°的四边形可能是等腰梯形，等腰梯形不是平行四边形，故C错误；
D. 根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，该条件可以判定，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，需要熟练掌握平行四边形的各类判定定理，同时要注意区分平行四边形和其他特殊四边形的对角线性质，避免混淆概念导致出错。
【难度系数】
0.85
4. 如图所示，在$□ ABCD$中，$AE ⊥ BC$于点$E$，$AF ⊥ DC$交$DC$的延长线于点$F$，且$∠ EAF = 60°$，则$∠ B$等于()
A.$60°$
B.$50°$
C.$70°$
D.$65°$
A.$60°$
B.$50°$
C.$70°$
D.$65°$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：①四边形ABCD是平行四边形，可得对边平行、对角相等；②有两组垂直关系，可得90°角；③已知∠EAF=60°。第一步，利用平行四边形AD//BC的性质，结合AE⊥BC，可推出AE⊥AD，得到∠EAD=90°；第二步，用∠EAD减去∠EAF的度数，求出∠DAF=30°；第三步，在Rt△AFD中，利用直角三角形两锐角互余求出∠D的度数；第四步，根据平行四边形对角相等，得到∠B=∠D，即可得出答案。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，∠B=∠D
∵AE⊥BC
∴AE⊥AD，即∠EAD=90°
∵∠EAF=60°
∴∠DAF = ∠EAD - ∠EAF = 90° - 60° = 30°
又
∵AF⊥DC
∴∠F=90°，在Rt△AFD中，∠D + ∠DAF = 90°
∴∠D = 90° - 30° = 60°
∴∠B = ∠D = 60°
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题是四边形基础题，核心是结合平行四边形的性质和直角三角形的角度关系推导未知角，解题的关键是利用平行线的性质将已知垂直关系转化得到∠EAD为直角，理清角度之间的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件入手：①四边形ABCD是平行四边形，可得对边平行、对角相等；②有两组垂直关系，可得90°角；③已知∠EAF=60°。第一步，利用平行四边形AD//BC的性质，结合AE⊥BC，可推出AE⊥AD，得到∠EAD=90°；第二步，用∠EAD减去∠EAF的度数，求出∠DAF=30°；第三步，在Rt△AFD中，利用直角三角形两锐角互余求出∠D的度数；第四步，根据平行四边形对角相等，得到∠B=∠D，即可得出答案。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，∠B=∠D
∵AE⊥BC
∴AE⊥AD，即∠EAD=90°
∵∠EAF=60°
∴∠DAF = ∠EAD - ∠EAF = 90° - 60° = 30°
又
∵AF⊥DC
∴∠F=90°，在Rt△AFD中，∠D + ∠DAF = 90°
∴∠D = 90° - 30° = 60°
∴∠B = ∠D = 60°
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题是四边形基础题，核心是结合平行四边形的性质和直角三角形的角度关系推导未知角，解题的关键是利用平行线的性质将已知垂直关系转化得到∠EAD为直角，理清角度之间的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图所示，$□ ABCD$ 的对角线相交于点 $O$，且 $AB = 5$，$△ OCD$ 的周长为 23，则 $□ ABCD$ 的两条对角线长度之和是()
A.18
B.28
C.36
D.46
A.18
B.28
C.36
D.46
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的性质：一是对边相等，二是对角线互相平分。首先利用对边相等得到CD的长度，再结合△OCD的周长求出OC与OD的和，最后根据对角线互相平分的性质，将两条对角线的和转化为2倍的(OC+OD)，代入计算即可得到结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ CD=AB=5，OC=$\frac{1}{2}$AC，OD=$\frac{1}{2}$BD（平行四边形对边相等，对角线互相平分）。
已知△OCD的周长为23，即OC + OD + CD = 23，
将CD=5代入得：OC + OD = 23 - 5 = 18。
则平行四边形两条对角线之和为：
AC + BD = 2OC + 2OD = 2(OC + OD) = 2×18 = 36。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题，解题的核心是熟练掌握平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，通过性质将所求对角线和与已知三角形周长建立关联即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平行四边形的性质：一是对边相等，二是对角线互相平分。首先利用对边相等得到CD的长度，再结合△OCD的周长求出OC与OD的和，最后根据对角线互相平分的性质，将两条对角线的和转化为2倍的(OC+OD)，代入计算即可得到结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ CD=AB=5，OC=$\frac{1}{2}$AC，OD=$\frac{1}{2}$BD（平行四边形对边相等，对角线互相平分）。
已知△OCD的周长为23，即OC + OD + CD = 23，
将CD=5代入得：OC + OD = 23 - 5 = 18。
则平行四边形两条对角线之和为：
AC + BD = 2OC + 2OD = 2(OC + OD) = 2×18 = 36。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题，解题的核心是熟练掌握平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，通过性质将所求对角线和与已知三角形周长建立关联即可快速求解。
【难度系数】
0.7
