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生活中的拼图艺术
如图(1)所示,在生活中,用地砖铺地、瓷砖贴墙,都要求砖与砖尽量严丝合缝,不留空隙,把地面或墙面全部覆盖.从数学的角度看,这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,或者说是用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙,不重叠地铺成一片,这就是平面图形的镶嵌,又称为平面图形的密铺.镶嵌平面的图形有很多,值得我们研究的问题也有很多.让我们一起来开展实践探究活动吧!
图(1)
【活动一】观察生活中镶嵌的图案
用你的慧眼观察生活中平面图形的镶嵌,可以拍照也可以手绘记录这些美丽的镶嵌图案.
【活动二】只用一种多边形进行镶嵌
通过之前的学习,我们了解了泰勒斯发现三角形内角和定理的方法,如图(2)所示,把六个形状、大小完全相同的正三角形不重叠摆放,彼此之间不留空隙,并把平面的一部分完全覆盖.如图(3)所示,在生活中把四个形状、大小完全相同的正方形按照相同的方法拼接,同样把平面的一部分完全覆盖,所以正三角形或正方形能镶嵌成一个平面图案.
图(2) 图(3) 图(4)
(1)剪一些图(4)中的正五边形、正六边形,分别用它们进行镶嵌,你能得到怎样的结论呢?完成操作后,请填写在表中.
(2)剪出一些形状、大小完全相同的任意三角形、四边形,分别拼拼看,它们能否镶嵌成一个平面图案?如果可以,在表中贴出你的作品.
(3)通过以上活动,我们发现了镶嵌的一个“奥秘”:拼接在同一个点的各个角的和恰好等于
(4)校园休闲角里的一段小路是用型号相同的有三个内角相等的五边形地砖拼铺而成的,如图(5)所示是其中的一部分图案,你能说出这个五边形地砖各内角的度数吗?
图(5)
如图(1)所示,在生活中,用地砖铺地、瓷砖贴墙,都要求砖与砖尽量严丝合缝,不留空隙,把地面或墙面全部覆盖.从数学的角度看,这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,或者说是用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙,不重叠地铺成一片,这就是平面图形的镶嵌,又称为平面图形的密铺.镶嵌平面的图形有很多,值得我们研究的问题也有很多.让我们一起来开展实践探究活动吧!
图(1)
【活动一】观察生活中镶嵌的图案
用你的慧眼观察生活中平面图形的镶嵌,可以拍照也可以手绘记录这些美丽的镶嵌图案.
【活动二】只用一种多边形进行镶嵌
通过之前的学习,我们了解了泰勒斯发现三角形内角和定理的方法,如图(2)所示,把六个形状、大小完全相同的正三角形不重叠摆放,彼此之间不留空隙,并把平面的一部分完全覆盖.如图(3)所示,在生活中把四个形状、大小完全相同的正方形按照相同的方法拼接,同样把平面的一部分完全覆盖,所以正三角形或正方形能镶嵌成一个平面图案.
图(2) 图(3) 图(4)
(1)剪一些图(4)中的正五边形、正六边形,分别用它们进行镶嵌,你能得到怎样的结论呢?完成操作后,请填写在表中.
(2)剪出一些形状、大小完全相同的任意三角形、四边形,分别拼拼看,它们能否镶嵌成一个平面图案?如果可以,在表中贴出你的作品.
(3)通过以上活动,我们发现了镶嵌的一个“奥秘”:拼接在同一个点的各个角的和恰好等于
360
°.(4)校园休闲角里的一段小路是用型号相同的有三个内角相等的五边形地砖拼铺而成的,如图(5)所示是其中的一部分图案,你能说出这个五边形地砖各内角的度数吗?
图(5)
答案
(1) 正六边形可以进行平面镶嵌，作品如图
所示；正五边形的内角为108°,360°÷108°的结果不是整数,不可以进行平面镶嵌。(2) 能镶嵌成一个平面图案，作品如图
所示。(3) 360
(4) 如图
所示：由拼铺成的小路,得∠BCM+∠FCM+∠FCD+∠BCD=360°,∠BCM=∠FCM=∠FCD=∠BCD,
∴∠BCM=∠FCM=∠FCD=∠BCD=∠BDE=90°.
∵五边形有三个内角相等,
∴∠ABC=∠BAE=∠AED=[(5-2)×180°-90°×2]÷3=120°.
∴这个五边形地砖各内角的度数分别为90°,90°,120°,120°,120°.
解析
【分析】
解决平面镶嵌类问题的核心是抓住镶嵌的本质特征：拼接在公共顶点处的所有内角之和恰好等于周角360°。①判断正多边形能否单独镶嵌时，先利用正多边形内角公式算出内角度数，再验证360°是否能被该内角度数整除，能整除即可镶嵌，反之不行；②判断任意三角形、四边形能否镶嵌时，可利用三角形内角和为180°、四边形内角和为360°的性质，验证公共顶点处的角度和能否凑成360°；③第(4)问先观察拼接图案公共顶点处的等角数量，算出相等内角的度数，再结合五边形内角和公式即可求出剩余内角的度数。
【解析】
(1) 正n边形内角公式为$\frac{(n-2)×180°}{n}$：
正六边形内角为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，$360°÷120°=3$，3个正六边形在公共顶点拼接恰好凑成360°，可进行平面镶嵌；
正五边形内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，$360°÷108°$结果不是整数，无法在公共顶点凑出360°，因此不能进行平面镶嵌。
(2) 任意三角形内角和为180°，将6个相同三角形的不同内角拼接在同一点，可得$2×180°=360°$，满足镶嵌要求；任意四边形内角和为360°，将4个相同四边形的不同内角拼接在同一点，恰好为360°，因此二者都可以镶嵌成平面图案。
(3) 镶嵌要求拼接时不留空隙、不重叠，因此拼接在同一个点的各个角的和恰好等于周角，即360°。
(4) 观察拼接图案，公共顶点处有4个相等的角拼接，和为360°，因此每个角的度数为$360°÷4=90°$，即五边形有2个内角为90°。
五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，已知五边形有3个内角相等，因此这3个角的度数为$(540° - 90°×2)÷3=120°$。
【答案】
(1) 正六边形可以进行平面镶嵌，作品如图所示；正五边形的内角为108°,360°÷108°的结果不是整数,不可以进行平面镶嵌。
(2) 能镶嵌成一个平面图案，作品如图所示。
(3) 360
(4) 如图所示：
由拼铺成的小路,得∠BCM+∠FCM+∠FCD+∠BCD=360°,∠BCM=∠FCM=∠FCD=∠BCD,
∴∠BCM=∠FCM=∠FCD=∠BCD=∠BDE=90°.
∵五边形有三个内角相等,
∴∠ABC=∠BAE=∠AED=[(5-2)×180°-90°×2]÷3=120°.
∴这个五边形地砖各内角的度数分别为90°,90°,120°,120°,120°.
【知识点】
1.平面图形的镶嵌 2.多边形内角和计算 3.周角的性质
【点评】
本题结合生活中铺地砖的实际场景探究平面镶嵌的规律，既考查了多边形内角和的基础知识点，又引导学生通过动手操作、观察推理解决问题，充分体现了数学知识在生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
解决平面镶嵌类问题的核心是抓住镶嵌的本质特征：拼接在公共顶点处的所有内角之和恰好等于周角360°。①判断正多边形能否单独镶嵌时，先利用正多边形内角公式算出内角度数，再验证360°是否能被该内角度数整除，能整除即可镶嵌，反之不行；②判断任意三角形、四边形能否镶嵌时，可利用三角形内角和为180°、四边形内角和为360°的性质，验证公共顶点处的角度和能否凑成360°；③第(4)问先观察拼接图案公共顶点处的等角数量，算出相等内角的度数，再结合五边形内角和公式即可求出剩余内角的度数。
【解析】
(1) 正n边形内角公式为$\frac{(n-2)×180°}{n}$：
正六边形内角为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，$360°÷120°=3$，3个正六边形在公共顶点拼接恰好凑成360°，可进行平面镶嵌；
正五边形内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，$360°÷108°$结果不是整数，无法在公共顶点凑出360°，因此不能进行平面镶嵌。
(2) 任意三角形内角和为180°，将6个相同三角形的不同内角拼接在同一点，可得$2×180°=360°$，满足镶嵌要求；任意四边形内角和为360°，将4个相同四边形的不同内角拼接在同一点，恰好为360°，因此二者都可以镶嵌成平面图案。
(3) 镶嵌要求拼接时不留空隙、不重叠，因此拼接在同一个点的各个角的和恰好等于周角，即360°。
(4) 观察拼接图案，公共顶点处有4个相等的角拼接，和为360°，因此每个角的度数为$360°÷4=90°$，即五边形有2个内角为90°。
五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，已知五边形有3个内角相等，因此这3个角的度数为$(540° - 90°×2)÷3=120°$。
【答案】
(1) 正六边形可以进行平面镶嵌，作品如图
所示；正五边形的内角为108°,360°÷108°的结果不是整数,不可以进行平面镶嵌。(2) 能镶嵌成一个平面图案，作品如图
所示。(3) 360
(4) 如图
所示：由拼铺成的小路,得∠BCM+∠FCM+∠FCD+∠BCD=360°,∠BCM=∠FCM=∠FCD=∠BCD,
∴∠BCM=∠FCM=∠FCD=∠BCD=∠BDE=90°.
∵五边形有三个内角相等,
∴∠ABC=∠BAE=∠AED=[(5-2)×180°-90°×2]÷3=120°.
∴这个五边形地砖各内角的度数分别为90°,90°,120°,120°,120°.
【知识点】
1.平面图形的镶嵌 2.多边形内角和计算 3.周角的性质
【点评】
本题结合生活中铺地砖的实际场景探究平面镶嵌的规律，既考查了多边形内角和的基础知识点，又引导学生通过动手操作、观察推理解决问题，充分体现了数学知识在生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
