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11.计算：$\sqrt{54} - \sqrt{27} + \sqrt{3} + 8\sqrt{\frac{1}{2}}.$
答案
11.解:$\sqrt{54} - \sqrt{27} + \sqrt{3} + 8\sqrt{\frac{1}{2}} =3\sqrt{6}-3\sqrt{3}+\sqrt{3}+8×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{6}-3\sqrt{3}+\sqrt{3}+4\sqrt{2}=3\sqrt{6}-2\sqrt{3}+4\sqrt{2}.$
解析
【分析】
这是二次根式的加减运算题，解题遵循“先化简，再合并”的思路。第一步要将算式中每个二次根式化为最简二次根式：对于被开方数是整数的，拆成平方数和非平方数的乘积，将平方数开方移到根号外；对于被开方数是分数的，通过分母有理化化为最简形式。第二步找出化简后被开方数相同的同类二次根式，将它们的系数相加减、被开方数保持不变，非同类二次根式直接保留即可。
【解析】
解：先将各二次根式化为最简形式：
$\sqrt{54}=\sqrt{9×6}=3\sqrt{6}$
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$
$8\sqrt{\frac{1}{2}}=8×\frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$
代入原式计算：
$\sqrt{54} - \sqrt{27} + \sqrt{3} + 8\sqrt{\frac{1}{2}}$
$=3\sqrt{6}-3\sqrt{3}+\sqrt{3}+4\sqrt{2}$
合并同类二次根式$-3\sqrt{3}+\sqrt{3}=-2\sqrt{3}$，可得最终结果。
【答案】
$3\sqrt{6}-2\sqrt{3}+4\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简、分母有理化、二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式加减的常规题型，核心考查二次根式的化简能力和同类二次根式的合并规则，计算时需注意根式化简的准确性，尤其是分数形式二次根式的分母有理化步骤，避免系数计算错误。
【难度系数】
0.8
这是二次根式的加减运算题，解题遵循“先化简，再合并”的思路。第一步要将算式中每个二次根式化为最简二次根式：对于被开方数是整数的，拆成平方数和非平方数的乘积，将平方数开方移到根号外；对于被开方数是分数的，通过分母有理化化为最简形式。第二步找出化简后被开方数相同的同类二次根式，将它们的系数相加减、被开方数保持不变，非同类二次根式直接保留即可。
【解析】
解：先将各二次根式化为最简形式：
$\sqrt{54}=\sqrt{9×6}=3\sqrt{6}$
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$
$8\sqrt{\frac{1}{2}}=8×\frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$
代入原式计算：
$\sqrt{54} - \sqrt{27} + \sqrt{3} + 8\sqrt{\frac{1}{2}}$
$=3\sqrt{6}-3\sqrt{3}+\sqrt{3}+4\sqrt{2}$
合并同类二次根式$-3\sqrt{3}+\sqrt{3}=-2\sqrt{3}$，可得最终结果。
【答案】
$3\sqrt{6}-2\sqrt{3}+4\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简、分母有理化、二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式加减的常规题型，核心考查二次根式的化简能力和同类二次根式的合并规则，计算时需注意根式化简的准确性，尤其是分数形式二次根式的分母有理化步骤，避免系数计算错误。
【难度系数】
0.8
12.已知$△ ABC$的三边$a,b,c$满足$|a-\sqrt{7}|+\sqrt{b-5}+(c-4\sqrt{2})^2=0$，试判断$△ ABC$的形状.
答案
12.解:$\because a,b,c$满足$|a-\sqrt{7}|+\sqrt{b-5}+(c-4\sqrt{2})^2=0$,
$\therefore |a-\sqrt{7}|=0,\sqrt{b-5}=0,(c-4\sqrt{2})^2=0$,解得$a=\sqrt{7},b=5,c=4\sqrt{2}$.
又$a^2+b^2=(\sqrt{7})^2+5^2=32=(4\sqrt{2})^2=c^2$,$\therefore△ ABC$是直角三角形.
$\therefore |a-\sqrt{7}|=0,\sqrt{b-5}=0,(c-4\sqrt{2})^2=0$,解得$a=\sqrt{7},b=5,c=4\sqrt{2}$.
又$a^2+b^2=(\sqrt{7})^2+5^2=32=(4\sqrt{2})^2=c^2$,$\therefore△ ABC$是直角三角形.
解析
【分析】
本题可分两步思考求解：第一步，首先明确绝对值、算术平方根、平方的结果都是非负数，根据“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的性质，可分别求出a、b、c三边的长度；第二步，判断三角形形状时，可利用勾股定理的逆定理，计算较短两条边的平方和，与最长边的平方对比，若二者相等则三角形为直角三角形。
【解析】
解：$\because |a-\sqrt{7}|$、$\sqrt{b-5}$、$(c-4\sqrt{2})^2$都是非负数，且三者的和为0，
$\therefore |a-\sqrt{7}|=0,\sqrt{b-5}=0,(c-4\sqrt{2})^2=0$，
解得$a=\sqrt{7},b=5,c=4\sqrt{2}$。
计算边长的平方关系：
$a^2+b^2=(\sqrt{7})^2+5^2=7+25=32$，
$c^2=(4\sqrt{2})^2=16×2=32$，
$\therefore a^2+b^2=c^2$，
因此$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
$△ ABC$是直角三角形
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理；二次根式的运算
【点评】
本题是代数与几何结合的基础常考题，解题核心是先通过非负数的性质求出三角形三边长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形形状，整体考查内容较为基础。
【难度系数】
0.8
本题可分两步思考求解：第一步，首先明确绝对值、算术平方根、平方的结果都是非负数，根据“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的性质，可分别求出a、b、c三边的长度；第二步，判断三角形形状时，可利用勾股定理的逆定理，计算较短两条边的平方和，与最长边的平方对比，若二者相等则三角形为直角三角形。
【解析】
解：$\because |a-\sqrt{7}|$、$\sqrt{b-5}$、$(c-4\sqrt{2})^2$都是非负数，且三者的和为0，
$\therefore |a-\sqrt{7}|=0,\sqrt{b-5}=0,(c-4\sqrt{2})^2=0$，
解得$a=\sqrt{7},b=5,c=4\sqrt{2}$。
计算边长的平方关系：
$a^2+b^2=(\sqrt{7})^2+5^2=7+25=32$，
$c^2=(4\sqrt{2})^2=16×2=32$，
$\therefore a^2+b^2=c^2$，
因此$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
$△ ABC$是直角三角形
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理；二次根式的运算
【点评】
本题是代数与几何结合的基础常考题，解题核心是先通过非负数的性质求出三角形三边长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形形状，整体考查内容较为基础。
【难度系数】
0.8
13.如图所示,在四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC,点E,F分别在边BC,AD上,AF=CE,EF与对角线BD交于点O.求证:O是BD的中点.
答案
13.证明:如图所示,连接FB,DE.
$\because AB=DC,AD=BC$,$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形.
$\therefore AD// BC$.
又$AF=CE$,$\therefore FD=AD-AF=BC-CE=BE$.
$\therefore FD// BE$且$FD=BE$.$\therefore$四边形$BFDE$是平行四边形.
$\therefore BO=OD$,即$O$是$BD$的中点.
解析
【分析】
要证明O是BD的中点，即证BO=OD，可通过证明四边形BFDE是平行四边形，利用平行四边形对角线互相平分的性质得到结论。首先由已知AB=DC、AD=BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD是平行四边形，得到AD//BC且AD=BC；再结合AF=CE，可推导出FD=BE，且FD与BE平行，即可判定四边形BFDE是平行四边形，最终得到BO=OD的结论。
【解析】
证明：连接FB，DE。
∵ AB=DC，AD=BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
∴ AD//BC。
又
∵ AF=CE，
∴ FD = AD - AF = BC - CE = BE。
∴ FD//BE且FD=BE，
∴ 四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∴ BO=OD，即O是BD的中点。
【答案】
13.证明:如图所示,连接FB,DE.
$\because AB=DC,AD=BC$,$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形.
$\therefore AD// BC$.
又$AF=CE$,$\therefore FD=AD-AF=BC-CE=BE$.
$\therefore FD// BE$且$FD=BE$.$\therefore$四边形$BFDE$是平行四边形.
$\therefore BO=OD$,即$O$是$BD$的中点.
【知识点】
平行四边形判定、平行四边形性质、对角线平分性质
【点评】
本题属于平行四边形相关的基础证明题，主要考察平行四边形判定定理和性质定理的综合运用，解题的关键是先推导出四边形ABCD是平行四边形，再进一步得到四边形BFDE为平行四边形即可得证，有助于学生掌握平行四边形相关定理的应用逻辑。
【难度系数】
0.7
要证明O是BD的中点，即证BO=OD，可通过证明四边形BFDE是平行四边形，利用平行四边形对角线互相平分的性质得到结论。首先由已知AB=DC、AD=BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD是平行四边形，得到AD//BC且AD=BC；再结合AF=CE，可推导出FD=BE，且FD与BE平行，即可判定四边形BFDE是平行四边形，最终得到BO=OD的结论。
【解析】
证明：连接FB，DE。
∵ AB=DC，AD=BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
∴ AD//BC。
又
∵ AF=CE，
∴ FD = AD - AF = BC - CE = BE。
∴ FD//BE且FD=BE，
∴ 四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∴ BO=OD，即O是BD的中点。
【答案】
13.证明:如图所示,连接FB,DE.
$\because AB=DC,AD=BC$,$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形.
$\therefore AD// BC$.
又$AF=CE$,$\therefore FD=AD-AF=BC-CE=BE$.
$\therefore FD// BE$且$FD=BE$.$\therefore$四边形$BFDE$是平行四边形.
$\therefore BO=OD$,即$O$是$BD$的中点.
【知识点】
平行四边形判定、平行四边形性质、对角线平分性质
【点评】
本题属于平行四边形相关的基础证明题，主要考察平行四边形判定定理和性质定理的综合运用，解题的关键是先推导出四边形ABCD是平行四边形，再进一步得到四边形BFDE为平行四边形即可得证，有助于学生掌握平行四边形相关定理的应用逻辑。
【难度系数】
0.7
