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4.尺规作图:如图,已知线段a,b。
用直尺画直线l,用圆规在直线l上先截取线段AB=a,再截取线段BC=b(a＞b),则线段AC=
用直尺画直线l,用圆规在直线l上先截取线段AB=a,再截取线段BC=b(a＞b),则线段AC=
$a+b$或$a-b$
(用含a,b的式子表示)。答案
4.$a+b$或$a-b$
解析
【分析】
解题时首先要考虑截取线段BC的位置存在两种情况：一是点C在AB的延长线上，二是点C在线段AB上，结合a＞b的条件两种情况均成立，再分别根据线段和差的规则计算AC的长度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若点C在线段AB的延长线上，此时AC为AB、BC的和，即$AC=AB+BC$，代入$AB=a$，$BC=b$，可得$AC=a+b$；
2. 若点C在线段AB上，此时AC为AB、BC的差，即$AC=AB-BC$，代入$AB=a$，$BC=b$，且已知$a＞b$，可得$AC=a-b$。
因此线段AC的长度有两种可能。
【答案】
$a+b$或$a-b$
【知识点】
线段的和差计算，尺规作线段，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是遗漏其中一种位置情况，解题时要注意线段截取的位置多样性，养成分类讨论的解题意识，加深对线段和差关系的理解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要考虑截取线段BC的位置存在两种情况：一是点C在AB的延长线上，二是点C在线段AB上，结合a＞b的条件两种情况均成立，再分别根据线段和差的规则计算AC的长度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若点C在线段AB的延长线上，此时AC为AB、BC的和，即$AC=AB+BC$，代入$AB=a$，$BC=b$，可得$AC=a+b$；
2. 若点C在线段AB上，此时AC为AB、BC的差，即$AC=AB-BC$，代入$AB=a$，$BC=b$，且已知$a＞b$，可得$AC=a-b$。
因此线段AC的长度有两种可能。
【答案】
$a+b$或$a-b$
【知识点】
线段的和差计算，尺规作线段，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是遗漏其中一种位置情况，解题时要注意线段截取的位置多样性，养成分类讨论的解题意识，加深对线段和差关系的理解。
【难度系数】
0.7
思考 3.怎样判断一个点是不是一条线段的中点？线段的中点有什么性质？
答案
3.点分成的两条线段的长度相等。线段中点把线段分成两条相等的线段。
解析
【分析】
我们可以结合线段中点的定义来思考这两个问题：判断一个点是否为线段中点时，核心看该点是否能将线段分成两条长度相等的线段（隐含前提是该点在线段上）；而线段中点的性质是已知点为中点时可以直接推出的结论，对应定义的正向应用。
【解析】
1. 判断方法：若一个点在某条线段上，且该点将线段分成的两条线段长度相等，那么这个点就是这条线段的中点。
2. 线段中点的性质：当一个点是线段的中点时，它会把这条线段分成两条长度相等的线段。
【答案】
点分成的两条线段的长度相等。线段中点把线段分成两条相等的线段。
【知识点】
线段中点的判定；线段中点的性质
【点评】
本题考查线段中点的基础概念，是后续线段和差计算、几何推理的基础，需要准确理解记忆。
【难度系数】
0.9
我们可以结合线段中点的定义来思考这两个问题：判断一个点是否为线段中点时，核心看该点是否能将线段分成两条长度相等的线段（隐含前提是该点在线段上）；而线段中点的性质是已知点为中点时可以直接推出的结论，对应定义的正向应用。
【解析】
1. 判断方法：若一个点在某条线段上，且该点将线段分成的两条线段长度相等，那么这个点就是这条线段的中点。
2. 线段中点的性质：当一个点是线段的中点时，它会把这条线段分成两条长度相等的线段。
【答案】
点分成的两条线段的长度相等。线段中点把线段分成两条相等的线段。
【知识点】
线段中点的判定；线段中点的性质
【点评】
本题考查线段中点的基础概念，是后续线段和差计算、几何推理的基础，需要准确理解记忆。
【难度系数】
0.9
5.如图,已知点C是线段AB的中点,点D,E分别是AC,BC的中点,下列结论不正确的是(
A.$CD=BD-AC$
B.$CD=\frac{1}{2}AB-BD$
C.$DE=\frac{1}{2}AB$
D.点D,C,E是线段AB的四等分点
B
)。A.$CD=BD-AC$
B.$CD=\frac{1}{2}AB-BD$
C.$DE=\frac{1}{2}AB$
D.点D,C,E是线段AB的四等分点
答案
5.B
解析
【分析】
解题时首先根据线段中点的定义，梳理出图中各条线段之间的等量关系：由C是AB中点可得AC=BC=½AB，再由D、E分别是AC、BC中点，可得AD=DC=CE=EB=¼AB。接下来可以通过线段和差推导，或者设具体数值代入的方法，逐个验证4个选项，找出错误的结论即可。
【解析】
已知点C是线段AB的中点，因此$AC=BC=\frac{1}{2}AB$；
又点D、E分别是AC、BC的中点，因此$AD=DC=\frac{1}{2}AC$，$CE=EB=\frac{1}{2}BC$，可推出$AD=DC=CE=EB=\frac{1}{4}AB$。
逐个分析选项：
选项A：$BD=BC+CD$，又$BC=AC$，代入得$BD=AC+CD$，移项可得$CD=BD-AC$，该结论正确，不符合题意；
选项B：$\frac{1}{2}AB=BC=BD-CD$，移项可得$CD=BD-\frac{1}{2}AB$，显然$CD≠\frac{1}{2}AB-BD$，该结论错误，符合题意；
选项C：$DE=DC+CE=\frac{1}{4}AB+\frac{1}{4}AB=\frac{1}{2}AB$，该结论正确，不符合题意；
选项D：由$AD=DC=CE=EB=\frac{1}{4}AB$，可知点D、C、E将AB分成4段长度相等的线段，因此D、C、E是线段AB的四等分点，该结论正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差运算；线段等分点
【点评】
本题主要考查线段中点、等分点的性质，结合线段的和差运算判断结论是否正确，解题时通过设具体数值代入验证的方法，可以简化推导过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据线段中点的定义，梳理出图中各条线段之间的等量关系：由C是AB中点可得AC=BC=½AB，再由D、E分别是AC、BC中点，可得AD=DC=CE=EB=¼AB。接下来可以通过线段和差推导，或者设具体数值代入的方法，逐个验证4个选项，找出错误的结论即可。
【解析】
已知点C是线段AB的中点，因此$AC=BC=\frac{1}{2}AB$；
又点D、E分别是AC、BC的中点，因此$AD=DC=\frac{1}{2}AC$，$CE=EB=\frac{1}{2}BC$，可推出$AD=DC=CE=EB=\frac{1}{4}AB$。
逐个分析选项：
选项A：$BD=BC+CD$，又$BC=AC$，代入得$BD=AC+CD$，移项可得$CD=BD-AC$，该结论正确，不符合题意；
选项B：$\frac{1}{2}AB=BC=BD-CD$，移项可得$CD=BD-\frac{1}{2}AB$，显然$CD≠\frac{1}{2}AB-BD$，该结论错误，符合题意；
选项C：$DE=DC+CE=\frac{1}{4}AB+\frac{1}{4}AB=\frac{1}{2}AB$，该结论正确，不符合题意；
选项D：由$AD=DC=CE=EB=\frac{1}{4}AB$，可知点D、C、E将AB分成4段长度相等的线段，因此D、C、E是线段AB的四等分点，该结论正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差运算；线段等分点
【点评】
本题主要考查线段中点、等分点的性质，结合线段的和差运算判断结论是否正确，解题时通过设具体数值代入验证的方法，可以简化推导过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
6.如图,点 C,D 是线段 AB 上的两点,若AC=4,CD=5,DB=3,点 P 是线段AB的中点,则 PA=
6
。答案
6.6
解析
【分析】
要求PA的长度，已知P是线段AB的中点，根据线段中点的性质，PA等于AB长度的一半，因此首先需要求出线段AB的总长度。观察图形可知，AB由AC、CD、DB三段首尾相连组成，将三段的长度相加即可得到AB的长，再代入中点公式计算PA即可。
【解析】
首先计算线段AB的总长度：
$AB = AC + CD + DB$
将$AC=4$，$CD=5$，$DB=3$代入得：
$AB = 4 + 5 + 3 = 12$
因为点P是线段AB的中点，根据中点的定义：
$PA = \frac{1}{2}AB$
将$AB=12$代入得：
$PA = \frac{1}{2}×12 = 6$
【答案】
6
【知识点】
线段的和差运算；线段中点的定义
【点评】
本题是基础的线段运算题，解题关键是先求出总线段AB的长度，再结合中点的性质计算对应线段长度，计算难度低，核心是掌握线段和差的计算方法和中点的概念。
【难度系数】
0.8
要求PA的长度，已知P是线段AB的中点，根据线段中点的性质，PA等于AB长度的一半，因此首先需要求出线段AB的总长度。观察图形可知，AB由AC、CD、DB三段首尾相连组成，将三段的长度相加即可得到AB的长，再代入中点公式计算PA即可。
【解析】
首先计算线段AB的总长度：
$AB = AC + CD + DB$
将$AC=4$，$CD=5$，$DB=3$代入得：
$AB = 4 + 5 + 3 = 12$
因为点P是线段AB的中点，根据中点的定义：
$PA = \frac{1}{2}AB$
将$AB=12$代入得：
$PA = \frac{1}{2}×12 = 6$
【答案】
6
【知识点】
线段的和差运算；线段中点的定义
【点评】
本题是基础的线段运算题，解题关键是先求出总线段AB的长度，再结合中点的性质计算对应线段长度，计算难度低，核心是掌握线段和差的计算方法和中点的概念。
【难度系数】
0.8
1.如图,用圆规比较两条线段AB和$A'B'$的长短,正确的结论是(
A.$A'B'＞AB$
B.$A'B'=AB$
C.$A'B'＜AB$
D.没有刻度尺,无法确定
C
)。A.$A'B'＞AB$
B.$A'B'=AB$
C.$A'B'＜AB$
D.没有刻度尺,无法确定
答案
1.C
解析
【分析】
比较两条线段的长短可使用圆规配合叠合法判断：首先将圆规两脚对齐第一条线段AB的两个端点，固定圆规的张开角度，此时圆规两脚间距等于AB的长度；再将圆规的一个脚对齐A'B'的左端点A'，观察另一个脚的落点：若落点刚好和B'重合，说明两条线段长度相等；若落点在线段A'B'的外侧（B'的右边），说明A'B'比AB短；若落点在线段A'B'的内部，说明A'B'比AB长。本题观察圆规的落点即可得出结论。
【解析】
使用圆规比较线段长短采用叠合法：
1. 将圆规的两个脚尖分别与线段AB的端点A、B重合，固定圆规的张角，此时圆规两脚的距离等于线段AB的长度；
2. 保持圆规张角不变，将一个脚尖与线段A'B'的端点A'重合，观察另一个脚尖的位置，发现该脚尖落在线段A'B'上B'点的右侧，说明A'B'的长度小于AB的长度，即$A'B'＜AB$。
因此本题选C。
【答案】C
【知识点】线段长短比较；叠合法
【点评】本题考查线段比较的基础方法，掌握叠合法的操作规则和判断逻辑即可快速解题，无需借助刻度尺也能完成线段长短的比较。
【难度系数】0.9
比较两条线段的长短可使用圆规配合叠合法判断：首先将圆规两脚对齐第一条线段AB的两个端点，固定圆规的张开角度，此时圆规两脚间距等于AB的长度；再将圆规的一个脚对齐A'B'的左端点A'，观察另一个脚的落点：若落点刚好和B'重合，说明两条线段长度相等；若落点在线段A'B'的外侧（B'的右边），说明A'B'比AB短；若落点在线段A'B'的内部，说明A'B'比AB长。本题观察圆规的落点即可得出结论。
【解析】
使用圆规比较线段长短采用叠合法：
1. 将圆规的两个脚尖分别与线段AB的端点A、B重合，固定圆规的张角，此时圆规两脚的距离等于线段AB的长度；
2. 保持圆规张角不变，将一个脚尖与线段A'B'的端点A'重合，观察另一个脚尖的位置，发现该脚尖落在线段A'B'上B'点的右侧，说明A'B'的长度小于AB的长度，即$A'B'＜AB$。
因此本题选C。
【答案】C
【知识点】线段长短比较；叠合法
【点评】本题考查线段比较的基础方法，掌握叠合法的操作规则和判断逻辑即可快速解题，无需借助刻度尺也能完成线段长短的比较。
【难度系数】0.9
2.如图，点C，D是线段AB上的两点，且点D是线段AC的中点。若AB＝10 cm，BC＝4 cm，则线段AD的长为（
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.6 cm
B
）。A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.6 cm
答案
2.B
解析
【分析】
要求线段AD的长，已知D是AC的中点，可知AD的长度是AC长度的一半，因此只需先求出AC的长度即可。观察线段图可知，线段AB由AC和BC组成，因此AC的长度等于AB的长度减去BC的长度，代入已知数值计算出AC后，再除以2就能得到AD的长度。
【解析】
第一步：计算线段AC的长度
∵ 点C在线段AB上，
∴ AC = AB - BC，
已知AB=10cm，BC=4cm，代入得：
AC = 10 - 4 = 6（cm）。
第二步：根据中点性质计算AD的长度
∵ 点D是线段AC的中点，
∴ AD = $\frac{1}{2}$AC，
将AC=6cm代入得：
AD = $\frac{1}{2}$×6 = 3（cm）。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
线段的和差运算；线段中点的定义
【点评】
本题是线段运算的基础题型，解题的关键是理清各线段之间的数量关系，先求出中间线段AC的长度，再结合中点的性质即可求出目标线段的长度，整体解题思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8
要求线段AD的长，已知D是AC的中点，可知AD的长度是AC长度的一半，因此只需先求出AC的长度即可。观察线段图可知，线段AB由AC和BC组成，因此AC的长度等于AB的长度减去BC的长度，代入已知数值计算出AC后，再除以2就能得到AD的长度。
【解析】
第一步：计算线段AC的长度
∵ 点C在线段AB上，
∴ AC = AB - BC，
已知AB=10cm，BC=4cm，代入得：
AC = 10 - 4 = 6（cm）。
第二步：根据中点性质计算AD的长度
∵ 点D是线段AC的中点，
∴ AD = $\frac{1}{2}$AC，
将AC=6cm代入得：
AD = $\frac{1}{2}$×6 = 3（cm）。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
线段的和差运算；线段中点的定义
【点评】
本题是线段运算的基础题型，解题的关键是理清各线段之间的数量关系，先求出中间线段AC的长度，再结合中点的性质即可求出目标线段的长度，整体解题思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8
3. 在线段AB上取一点C，使$AC=\frac{1}{3}AB$，再在线段AB的延长线上取一点D，使$DB=\frac{1}{4}AD$，则线段BC的长度是线段DC长度的（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{2}$
B
）。A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{2}$
答案
3.B
解析
【分析】
本题是求两条线段的长度比值，题目仅给出线段间的比例关系，无具体长度，我们可以用设特殊值的方法简化计算：首先设AB的长度为3和4的公倍数，避免计算出现分数；再明确各点的位置顺序为A→C→B→D，结合题干给出的比例关系依次算出AC、BC、BD的长度，进而求出DC的长度，最后计算BC和DC的比值即可。
【解析】
设线段AB的长度为12（3和4的最小公倍数，方便计算）：
1. 计算BC的长度：
已知$AC=\frac{1}{3}AB$，则$AC=\frac{1}{3}×12=4$
因为点C在线段AB上，所以$BC=AB-AC=12-4=8$
2. 计算BD的长度：
D在AB的延长线上，因此$AD=AB+BD$
结合$DB=\frac{1}{4}AD$，代入$AD=12+BD$得：
$BD=\frac{1}{4}×(12+BD)$
两边同乘4得：$4BD=12+BD$
移项计算得：$3BD=12$，即$BD=4$
3. 计算DC的长度：
点C在B左侧，D在B右侧，因此$DC=BC+BD=8+4=12$
4. 求比值：
$\frac{BC}{DC}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$
【答案】
B
【知识点】
1. 线段的和差计算 2. 比例线段应用
【点评】
本题是线段运算的典型基础题，采用设特殊值的方法可大幅降低计算难度，解题核心是先明确各点的相对位置，再根据线段比例关系逐步推导各段长度，计算时注意区分线段和差的方向，避免混淆延长线和线段内部的位置关系。
【难度系数】
0.7
本题是求两条线段的长度比值，题目仅给出线段间的比例关系，无具体长度，我们可以用设特殊值的方法简化计算：首先设AB的长度为3和4的公倍数，避免计算出现分数；再明确各点的位置顺序为A→C→B→D，结合题干给出的比例关系依次算出AC、BC、BD的长度，进而求出DC的长度，最后计算BC和DC的比值即可。
【解析】
设线段AB的长度为12（3和4的最小公倍数，方便计算）：
1. 计算BC的长度：
已知$AC=\frac{1}{3}AB$，则$AC=\frac{1}{3}×12=4$
因为点C在线段AB上，所以$BC=AB-AC=12-4=8$
2. 计算BD的长度：
D在AB的延长线上，因此$AD=AB+BD$
结合$DB=\frac{1}{4}AD$，代入$AD=12+BD$得：
$BD=\frac{1}{4}×(12+BD)$
两边同乘4得：$4BD=12+BD$
移项计算得：$3BD=12$，即$BD=4$
3. 计算DC的长度：
点C在B左侧，D在B右侧，因此$DC=BC+BD=8+4=12$
4. 求比值：
$\frac{BC}{DC}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$
【答案】
B
【知识点】
1. 线段的和差计算 2. 比例线段应用
【点评】
本题是线段运算的典型基础题，采用设特殊值的方法可大幅降低计算难度，解题核心是先明确各点的相对位置，再根据线段比例关系逐步推导各段长度，计算时注意区分线段和差的方向，避免混淆延长线和线段内部的位置关系。
【难度系数】
0.7
4.如图,点 M 是线段 AB 的中点,点 N 是线段 BC 的中点。
(1)若$AB=5\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm}$,则$MN=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$;
(2)若$AB=5\ \mathrm{cm},NC=2\ \mathrm{cm}$,则$AC=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$;
(3)若$AM=5\ \mathrm{cm},NC=2\ \mathrm{cm}$,则$AN=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。
(1)若$AB=5\ \mathrm{cm},BC=4\ \mathrm{cm}$,则$MN=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$;
(2)若$AB=5\ \mathrm{cm},NC=2\ \mathrm{cm}$,则$AC=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$;
(3)若$AM=5\ \mathrm{cm},NC=2\ \mathrm{cm}$,则$AN=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。
答案
4.(1)4.5 (2)9 (3)12
解析
【分析】
首先根据图形确定点的排列顺序为A、M、B、N、C，解题核心是运用线段中点的性质：中点将线段分为两条长度相等的线段，每条线段长度为原线段的$\frac{1}{2}$，再结合线段的和差关系分别计算各问：(1)MN由MB和BN两段组成，分别用中点性质求出MB、BN的长度，相加即可得到MN的长度；(2)先由N是BC中点，由NC的长度求出BC的长度，再根据$AC=AB+BC$计算总长度；(3)先由M是AB中点，由AM的长度求出AB的长度，再由N是BC中点得到$BN=NC$，最后根据$AN=AB+BN$计算即可。
【解析】
(1)
∵点M是AB的中点，$AB=5\ \mathrm{cm}$
∴$MB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×5=2.5\ \mathrm{cm}$
∵点N是BC的中点，$BC=4\ \mathrm{cm}$
∴$BN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$
∴$MN=MB+BN=2.5+2=4.5\ \mathrm{cm}$
(2)
∵点N是BC的中点，$NC=2\ \mathrm{cm}$
∴$BC=2NC=2×2=4\ \mathrm{cm}$
又
∵$AB=5\ \mathrm{cm}$
∴$AC=AB+BC=5+4=9\ \mathrm{cm}$
(3)
∵点M是AB的中点，$AM=5\ \mathrm{cm}$
∴$AB=2AM=2×5=10\ \mathrm{cm}$
∵点N是BC的中点，$NC=2\ \mathrm{cm}$
∴$BN=NC=2\ \mathrm{cm}$
∴$AN=AB+BN=10+2=12\ \mathrm{cm}$
【答案】
(1)$4.5$；(2)$9$；(3)$12$
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差运算
【点评】
本题是线段运算的基础题型，重点考查对线段中点性质的理解和线段和差的计算能力，解题时结合图形理清各线段的位置关系是关键，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
首先根据图形确定点的排列顺序为A、M、B、N、C，解题核心是运用线段中点的性质：中点将线段分为两条长度相等的线段，每条线段长度为原线段的$\frac{1}{2}$，再结合线段的和差关系分别计算各问：(1)MN由MB和BN两段组成，分别用中点性质求出MB、BN的长度，相加即可得到MN的长度；(2)先由N是BC中点，由NC的长度求出BC的长度，再根据$AC=AB+BC$计算总长度；(3)先由M是AB中点，由AM的长度求出AB的长度，再由N是BC中点得到$BN=NC$，最后根据$AN=AB+BN$计算即可。
【解析】
(1)
∵点M是AB的中点，$AB=5\ \mathrm{cm}$
∴$MB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×5=2.5\ \mathrm{cm}$
∵点N是BC的中点，$BC=4\ \mathrm{cm}$
∴$BN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$
∴$MN=MB+BN=2.5+2=4.5\ \mathrm{cm}$
(2)
∵点N是BC的中点，$NC=2\ \mathrm{cm}$
∴$BC=2NC=2×2=4\ \mathrm{cm}$
又
∵$AB=5\ \mathrm{cm}$
∴$AC=AB+BC=5+4=9\ \mathrm{cm}$
(3)
∵点M是AB的中点，$AM=5\ \mathrm{cm}$
∴$AB=2AM=2×5=10\ \mathrm{cm}$
∵点N是BC的中点，$NC=2\ \mathrm{cm}$
∴$BN=NC=2\ \mathrm{cm}$
∴$AN=AB+BN=10+2=12\ \mathrm{cm}$
【答案】
(1)$4.5$；(2)$9$；(3)$12$
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差运算
【点评】
本题是线段运算的基础题型，重点考查对线段中点性质的理解和线段和差的计算能力，解题时结合图形理清各线段的位置关系是关键，掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
