20. 如图，$∠ BAD = ∠ CAE = 90°$，$AB=AD$，$AE=AC$，$AF ⊥ CF$，垂足为$F$。
（1）若$AC=10$，求四边形$ABCD$的面积；
（2）求证：$CE=2AF$。

20.（1）解 因为$∠ BAD=∠ CAE=90°$，所以$∠ BAC+∠ CAD=∠ EAD+∠ CAD$.
所以$∠ BAC=∠ EAD$.
在$△ ABC$ 和$△ ADE$ 中，
$\begin{cases} AB=AD,\\ ∠ BAC=∠ DAE,\\ AC=AE, \end{cases}$
所以$△ ABC≌△ ADE$（SAS）.
所以$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=S_{△ ADE}+S_{△ ACD}=S_{△ ACE}=\frac{1}{2}×10^2=50$.
（2）证明 由题意知$△ ACE$是等腰直角三角形，所以$∠ ACE=∠ E=45°$.
由（1）知$△ ABC≌△ ADE$，
得$∠ ACB=∠ E=45°$.
所以$∠ ACB=∠ ACE$.
所以CA平分$∠ ECF$.
如图，过点A作$AG⊥ CE$，垂足为点G.
因为CA平分$∠ ECF$，$AF⊥ CB$，
所以$AF=AG$.
在$\mathrm{Rt}△ ACG$ 和$\mathrm{Rt}△ AEG$ 中，
$\begin{cases} AC=AE,\\ AG=AG, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ ACG≌\mathrm{Rt}△ AEG$（HL）.
所以$∠ CAG=∠ EAG$.
所以$∠ CAG=∠ EAG=∠ ACE=∠ E=45°$.
所以$△ ACG≌△ EAG$.
所以$CG=AG=EG$. 所以$CE=2AG$.
所以$CE=2AF$.

21. 如图①，$OA=OB$，$OC=OD$，$∠ AOB=∠ COD$，连接$AC$和$BD$相交于点$E$，连接$OE$.
（1）求证：$AC=BD$；
（2）求证：$EO$平分$∠ AED$；
（3）当$∠ AOB=60°$时，如图②，点$F$为$BD$上一点，$DF=CE$，连接$OF$，$OF=BE$，$AC$交$OB$于点$G$，求证：$EG$平分$∠ OEB$.

21. 证明（1）因为$∠ AOB=∠ COD$，
所以$∠ AOB+∠ BOC=∠ COD+∠ BOC$.
即$∠ AOC=∠ BOD$.
在$△ AOC$ 和$△ BOD$ 中，
$\begin{cases} OA=OB,\\ ∠ AOC=∠ BOD,\\ OC=OD, \end{cases}$
所以$△ AOC≌△ BOD$（SAS）.
所以$AC=BD$.
（2）过点O作$OM⊥ AC$于点M，$ON⊥ BD$于点N，如图所示.
由（1）知$△ AOC≌△ BOD$，$AC=BD$，
所以$S_{△ AOC}=S_{△ BOD}$，
即$\frac{1}{2}AC· OM=\frac{1}{2}BD· ON$，
所以$OM=ON$.
因为$OM⊥ AC$，$ON⊥ BD$，
所以EO平分$∠ AED$.
（3）因为$△ AOC≌△ BOD$，
所以$∠ OCE=∠ ODF$.
在$△ OCE$ 和$△ ODF$ 中，
$\begin{cases} OC=OD,\\ ∠ OCE=∠ ODF,\\ CE=DF, \end{cases}$
所以$△ OCE≌△ ODF$（SAS）.
所以$OE=OF$.
因为$OF=BE$，所以$OE=BE$.
在$△ OAG$ 中，$∠ AOB=60°$，
所以$∠ OAC+∠ AGO=180°-∠ AOB=120°$.
因为$∠ OAC=∠ OBD$，
$∠ AGO=∠ BGE$，
所以$∠ OBD+∠ BGE=120°$.
在$△ BEG$ 中，$∠ BEG=180°-(∠ OBD+∠ BGE)=60°$，
所以$∠ AED=180°-∠ BEG=120°$.
由（2）可知EO平分$∠ AED$.
所以$∠ OEG=\frac{1}{2}∠ AED=60°$.
所以$∠ BEG=∠ OEG=60°$.
所以EG平分$∠ OEB$.