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6. 如图，拱桥的拱肋（$\overset{\frown}{AB}$）可以近似看作半径为25 m的圆弧，拱肋与路面（弦AB）之间用九根钢索相连，钢索均垂直路面，路面AB的长为40 m. 若这九根钢索将路面十等分，求最长钢索CD的长度.
答案
6. 解 如图，设圆心为O，连接OB. 因为$CD⊥AB$，所以$BC=\frac{1}{2}AB=20$ m. 设$CD=x$，则$OC=25-x$. 由勾股定理得$OC^2+BC^2=OB^2$. 所以$(25-x)^2+20^2=25^2$. 解得$x=10$. 所以最长钢索CD的长度为10 m.
解析
【分析】
要计算最长钢索CD的长度，首先明确圆弧上到弦AB距离最大的点是弧AB的中点D，因此CD是最长的钢索，且CD垂直平分AB，满足垂径定理的应用条件。我们可以先设圆弧的圆心为O，连接半径OB构造直角三角形，设CD长度为x，用含x的式子表示出OC的长度，再结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为O，连接OB。
因为CD垂直路面AB，根据垂径定理可知CD平分AB，因此$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20$ m。
设$CD=x$ m，已知圆弧半径为25 m，故$OD=OB=25$ m，可得$OC=OD-CD=25-x$。
在$Rt△ OCB$中，由勾股定理得$OC^2+BC^2=OB^2$，代入数值：
$(25-x)^2+20^2=25^2$
计算得$(25-x)^2=625-400=225$，结合线段长度为正，得$25-x=15$，解得$x=10$。
【答案】
最长钢索CD的长度为10 m。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合拱桥的实际场景考查圆的相关计算，解题关键是合理作辅助线将实际问题转化为几何计算问题，通过垂径定理得到线段的等量关系，再结合勾股定理列方程求解，能有效锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.75
要计算最长钢索CD的长度，首先明确圆弧上到弦AB距离最大的点是弧AB的中点D，因此CD是最长的钢索，且CD垂直平分AB，满足垂径定理的应用条件。我们可以先设圆弧的圆心为O，连接半径OB构造直角三角形，设CD长度为x，用含x的式子表示出OC的长度，再结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为O，连接OB。
因为CD垂直路面AB，根据垂径定理可知CD平分AB，因此$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20$ m。
设$CD=x$ m，已知圆弧半径为25 m，故$OD=OB=25$ m，可得$OC=OD-CD=25-x$。
在$Rt△ OCB$中，由勾股定理得$OC^2+BC^2=OB^2$，代入数值：
$(25-x)^2+20^2=25^2$
计算得$(25-x)^2=625-400=225$，结合线段长度为正，得$25-x=15$，解得$x=10$。
【答案】
最长钢索CD的长度为10 m。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合拱桥的实际场景考查圆的相关计算，解题关键是合理作辅助线将实际问题转化为几何计算问题，通过垂径定理得到线段的等量关系，再结合勾股定理列方程求解，能有效锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.75
7. 如图，半径为5的$\odot A$与y轴交于点$B(0,2)$，$C(0,10)$，则点A的横坐标为 （
A.$-3$
B.$3$
C.$4$
D.$6$
7题图 8题图
B
）A.$-3$
B.$3$
C.$4$
D.$6$
7题图 8题图
答案
7. B
解析
【分析】
遇到圆中弦的相关计算问题，优先考虑垂径定理。本题中弦BC在y轴上，我们可以过圆心A作BC的垂线，垂足即为BC的中点，先计算出弦长BC的一半，再结合圆的半径，利用勾股定理求出圆心到弦BC的水平距离，该距离就是点A到y轴的距离，结合图形位置即可得到点A的横坐标。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，连接AB。
根据垂径定理，AD过圆心且AD⊥BC，因此D是BC的中点。
已知B(0,2)，C(0,10)，则BC的长度为10-2=8，故BD=½BC=4，点D的坐标为(0, (2+10)/2)即(0,6)。
∵AB是⊙A的半径，
∴AB=5。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD=√(AB² - BD²)=√(5² - 4²)=√9=3。
∵BC在y轴上，AD⊥BC，
∴AD平行于x轴，点A到y轴的距离为AD的长3，结合图形可知点A在y轴右侧，故点A的横坐标为3。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，坐标与图形性质
【点评】
本题是垂径定理应用的典型题型，解题关键是通过作弦的垂线构造直角三角形，将圆的半径、弦长的一半、弦心距三者关联起来计算，难度不大，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
遇到圆中弦的相关计算问题，优先考虑垂径定理。本题中弦BC在y轴上，我们可以过圆心A作BC的垂线，垂足即为BC的中点，先计算出弦长BC的一半，再结合圆的半径，利用勾股定理求出圆心到弦BC的水平距离，该距离就是点A到y轴的距离，结合图形位置即可得到点A的横坐标。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，连接AB。
根据垂径定理，AD过圆心且AD⊥BC，因此D是BC的中点。
已知B(0,2)，C(0,10)，则BC的长度为10-2=8，故BD=½BC=4，点D的坐标为(0, (2+10)/2)即(0,6)。
∵AB是⊙A的半径，
∴AB=5。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD=√(AB² - BD²)=√(5² - 4²)=√9=3。
∵BC在y轴上，AD⊥BC，
∴AD平行于x轴，点A到y轴的距离为AD的长3，结合图形可知点A在y轴右侧，故点A的横坐标为3。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，坐标与图形性质
【点评】
本题是垂径定理应用的典型题型，解题关键是通过作弦的垂线构造直角三角形，将圆的半径、弦长的一半、弦心距三者关联起来计算，难度不大，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
8. 在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，直径MN为100 cm，油面宽AB为60 cm. 若再注入一些油后，油面宽变为80 cm，则油面上升（
A.70 cm
B.10 cm或70 cm
C.10 cm
D.5 cm或35 cm
B
）A.70 cm
B.10 cm或70 cm
C.10 cm
D.5 cm或35 cm
答案
8. B
解析
【分析】
本题是垂径定理在实际场景中的应用，解题思路如下：第一步，先根据截面直径确定圆的半径；第二步，利用垂径定理，分别求出油面宽为60cm、80cm时对应的弦到圆心的垂直距离（弦心距）；第三步，分两种情况讨论新油面和原油面相对圆心的位置，分别计算油面上升的高度，避免漏解。
【解析】
圆柱形油槽的截面为圆，已知直径$MN=100\mathrm{cm}$，因此圆的半径$r=50\mathrm{cm}$。
1. 求原油面的弦心距：
过圆心$O$作原油面$AB$的垂线，垂足为$C$，连接$OA$。根据垂径定理，$AC=\frac{AB}{2}=\frac{60}{2}=30\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{50^2-30^2}=40\mathrm{cm}$，即原油面到圆心的距离为$40\mathrm{cm}$。
2. 求新油面的弦心距：
设新油面为$A'B'$，过$O$作$A'B'$的垂线，垂足为$C'$，连接$OA'$。根据垂径定理，$A'C'=\frac{A'B'}{2}=\frac{80}{2}=40\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OA'C'$中，由勾股定理得：
$OC'=\sqrt{OA'^2-A'C'^2}=\sqrt{50^2-40^2}=30\mathrm{cm}$，即新油面到圆心的距离为$30\mathrm{cm}$。
3. 分情况计算上升高度：
① 若新油面和原油面在圆心同侧：上升高度$h=OC-OC'=40-30=10\mathrm{cm}$；
② 若新油面和原油面在圆心异侧：上升高度$h=OC+OC'=40+30=70\mathrm{cm}$。
因此油面上升$10\mathrm{cm}$或$70\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题是垂径定理的典型应用题，解题核心是将弦长问题转化为直角三角形的边长计算，易错点是容易忽略油面超过圆心的情况，导致漏解。
【难度系数】
0.6
本题是垂径定理在实际场景中的应用，解题思路如下：第一步，先根据截面直径确定圆的半径；第二步，利用垂径定理，分别求出油面宽为60cm、80cm时对应的弦到圆心的垂直距离（弦心距）；第三步，分两种情况讨论新油面和原油面相对圆心的位置，分别计算油面上升的高度，避免漏解。
【解析】
圆柱形油槽的截面为圆，已知直径$MN=100\mathrm{cm}$，因此圆的半径$r=50\mathrm{cm}$。
1. 求原油面的弦心距：
过圆心$O$作原油面$AB$的垂线，垂足为$C$，连接$OA$。根据垂径定理，$AC=\frac{AB}{2}=\frac{60}{2}=30\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{50^2-30^2}=40\mathrm{cm}$，即原油面到圆心的距离为$40\mathrm{cm}$。
2. 求新油面的弦心距：
设新油面为$A'B'$，过$O$作$A'B'$的垂线，垂足为$C'$，连接$OA'$。根据垂径定理，$A'C'=\frac{A'B'}{2}=\frac{80}{2}=40\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OA'C'$中，由勾股定理得：
$OC'=\sqrt{OA'^2-A'C'^2}=\sqrt{50^2-40^2}=30\mathrm{cm}$，即新油面到圆心的距离为$30\mathrm{cm}$。
3. 分情况计算上升高度：
① 若新油面和原油面在圆心同侧：上升高度$h=OC-OC'=40-30=10\mathrm{cm}$；
② 若新油面和原油面在圆心异侧：上升高度$h=OC+OC'=40+30=70\mathrm{cm}$。
因此油面上升$10\mathrm{cm}$或$70\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题是垂径定理的典型应用题，解题核心是将弦长问题转化为直角三角形的边长计算，易错点是容易忽略油面超过圆心的情况，导致漏解。
【难度系数】
0.6
9. 如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$于点E. 若$AB=8$，$CD=6$，则$OE=$
$\sqrt{7}$
.答案
9. $\sqrt{7}$
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件：直径AB垂直于弦CD，可优先联想到垂径定理，先求出弦CD的一半长度；再连接半径OC构造直角三角形，根据直径长度求出圆的半径，最后在直角三角形中利用勾股定理即可计算出OE的长度。
【解析】
连接OC，
∵ AB是$\odot O$的直径，$AB=8$，
∴ 半径$OC=\frac{1}{2}AB=4$，
∵ $CD ⊥ AB$，AB为$\odot O$的直径，由垂径定理可得：
$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×6=3$，
在$Rt△ OCE$中，根据勾股定理：
$OE=\sqrt{OC^2 - CE^2}=\sqrt{4^2 - 3^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础计算题，核心是结合垂径定理与勾股定理求解线段长度，解题关键是连接半径构造直角三角形，掌握基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件：直径AB垂直于弦CD，可优先联想到垂径定理，先求出弦CD的一半长度；再连接半径OC构造直角三角形，根据直径长度求出圆的半径，最后在直角三角形中利用勾股定理即可计算出OE的长度。
【解析】
连接OC，
∵ AB是$\odot O$的直径，$AB=8$，
∴ 半径$OC=\frac{1}{2}AB=4$，
∵ $CD ⊥ AB$，AB为$\odot O$的直径，由垂径定理可得：
$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×6=3$，
在$Rt△ OCE$中，根据勾股定理：
$OE=\sqrt{OC^2 - CE^2}=\sqrt{4^2 - 3^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础计算题，核心是结合垂径定理与勾股定理求解线段长度，解题关键是连接半径构造直角三角形，掌握基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
10. 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形横截面的半径，水平放置的破裂管道有水部分的横截面如图所示.
（1）请你补全这个输水管道的圆形横截面（保留作图痕迹）；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB为16 cm，水面最深处的高度为5 cm，求这个圆形横截面的半径.
（1）请你补全这个输水管道的圆形横截面（保留作图痕迹）；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB为16 cm，水面最深处的高度为5 cm，求这个圆形横截面的半径.
答案
10. 解 （1）如图，先作弦AB的垂直平分线；在$\overset{\frown}{AB}$上任取一点C，连接AC，作弦AC的垂直平分线，以两直线交点为圆心O，OA长为半径作圆即为所求图形.
（2）如图，过点O作$OE⊥AB$于点D，交$\overset{\frown}{AB}$于点E，连接OB.
因为$OE⊥AB$，
所以$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$（cm）.
由题意知$ED=5$ cm.
设$\odot O$半径为x cm，则$OD=(x-5)$ cm.
在$\mathrm{Rt}△ BOD$中，
由勾股定理得$OD^2+BD^2=OB^2$.
所以$(x-5)^2+8^2=x^2$. 解得$x=8.9$.
即这个圆形横截面的半径为8.9 cm.
解析
【分析】
（1）补全圆形横截面的核心是确定圆心和半径：根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，以及“弦的垂直平分线经过圆心，且线上任意点到弦两端点的距离相等”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，再以圆心到A点的距离为半径画圆即可补全图形。
（2）求解半径属于垂径定理的典型应用：首先利用垂径定理得到AB的一半长度，再设半径为未知数，将直角三角形BOD的三边用含未知数的式子表示，最后通过勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）作图步骤：①在$\overset{\frown}{AB}$上任意取一点C，连接AC；②分别作弦AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点记为O；③以O为圆心，OA的长度为半径作圆，即为所求的输水管道圆形横截面，保留作图痕迹即可。
（2）过点O作$OE⊥AB$于点D，交$\overset{\frown}{AB}$于点E，连接OB。
因为$OE⊥AB$，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，
所以$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$（cm）。
由题意得水面最深处高度$ED=5$ cm。
设$\odot O$的半径为$x$ cm，则$OD=OE-ED=(x-5)$ cm，$OB=x$ cm。
在$\mathrm{Rt}△ BOD$中，根据勾股定理$OD^2+BD^2=OB^2$，
代入得：$(x-5)^2+8^2=x^2$，
展开化简：$x^2-10x+25+64=x^2$，即$10x=89$，
解得$x=8.9$。
【答案】
（1）补全图形如图所示
（2）这个圆形横截面的半径为8.9 cm。
【知识点】
确定圆的条件，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题结合生活实际场景，既考查了尺规作图的基本操作能力，又考查了垂径定理与勾股定理的综合应用，是圆章节的常见典型题型，掌握利用垂径定理构造直角三角形求解圆相关线段的方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）补全圆形横截面的核心是确定圆心和半径：根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，以及“弦的垂直平分线经过圆心，且线上任意点到弦两端点的距离相等”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，再以圆心到A点的距离为半径画圆即可补全图形。
（2）求解半径属于垂径定理的典型应用：首先利用垂径定理得到AB的一半长度，再设半径为未知数，将直角三角形BOD的三边用含未知数的式子表示，最后通过勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）作图步骤：①在$\overset{\frown}{AB}$上任意取一点C，连接AC；②分别作弦AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点记为O；③以O为圆心，OA的长度为半径作圆，即为所求的输水管道圆形横截面，保留作图痕迹即可。
（2）过点O作$OE⊥AB$于点D，交$\overset{\frown}{AB}$于点E，连接OB。
因为$OE⊥AB$，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，
所以$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$（cm）。
由题意得水面最深处高度$ED=5$ cm。
设$\odot O$的半径为$x$ cm，则$OD=OE-ED=(x-5)$ cm，$OB=x$ cm。
在$\mathrm{Rt}△ BOD$中，根据勾股定理$OD^2+BD^2=OB^2$，
代入得：$(x-5)^2+8^2=x^2$，
展开化简：$x^2-10x+25+64=x^2$，即$10x=89$，
解得$x=8.9$。
【答案】
（1）补全图形如图所示
（2）这个圆形横截面的半径为8.9 cm。
【知识点】
确定圆的条件，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题结合生活实际场景，既考查了尺规作图的基本操作能力，又考查了垂径定理与勾股定理的综合应用，是圆章节的常见典型题型，掌握利用垂径定理构造直角三角形求解圆相关线段的方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
