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9.某银行有 A 和 B 两个理财经营团队。
2024 年上半年这两个理财团队分别负责经营 12 项理财产品,收益率(单位:%)如下:
A:4.77,3.98,4.88,4.89,2.15,3.85,
3.64,3.21,3.18,2.02,4.11,4.10;
B:3.18,3.84,3.99,3.67,3.40,3.60,
4.10,4.21,4.15,4.44,3.87,3.91。
某同学想要利用四分位数分析 A,B 两个团队的经营水平,下表是他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数表。
两个团队理财产品收益率数据的四分位数
(单位:%)
A 团队理财产品收益率的方差:0.941;
B 团队理财产品收益率的方差:0.112。
请根据以上信息,完成下列问题:
(1)表中 $a=$
(2)从方差看,哪个团队理财产品收益率的稳定性更好?
(3)该同学基于四分位数绘制了团队 A 的箱线图如图所示,获得了团队 A 数据的直观表示,请你根据团队 A 的箱线图在图中
补全团队 B 的箱线图,并根据箱线图对 A,B 两个团队的经营水平从总体经营效益、稳健度方面作出评价。
2024 年上半年这两个理财团队分别负责经营 12 项理财产品,收益率(单位:%)如下:
A:4.77,3.98,4.88,4.89,2.15,3.85,
3.64,3.21,3.18,2.02,4.11,4.10;
B:3.18,3.84,3.99,3.67,3.40,3.60,
4.10,4.21,4.15,4.44,3.87,3.91。
某同学想要利用四分位数分析 A,B 两个团队的经营水平,下表是他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数表。
两个团队理财产品收益率数据的四分位数
(单位:%)
A 团队理财产品收益率的方差:0.941;
B 团队理财产品收益率的方差:0.112。
请根据以上信息,完成下列问题:
(1)表中 $a=$
3.635
, $b=$ 4.125
;(2)从方差看,哪个团队理财产品收益率的稳定性更好?
(3)该同学基于四分位数绘制了团队 A 的箱线图如图所示,获得了团队 A 数据的直观表示,请你根据团队 A 的箱线图在图中
补全团队 B 的箱线图,并根据箱线图对 A,B 两个团队的经营水平从总体经营效益、稳健度方面作出评价。
答案
9.解:(1)B团队负责经营的12项理财产品收益率从小到大排列：
3.18,3.40,3.60,3.67,3.84,3.87,3.91,3.99,4.10,4.15,4.21,4.44，
∴a为前6个数据的中位数,b为后6个数据的中位数，
∴$a=\frac{3.60+3.67}{2}=3.635$,$b=\frac{4.10+4.15}{2}=4.125$。
故答案为3.635,4.125。
(2)因为0.941＞0.112,所以B团队理财产品收益率更稳定。
(3)通过箱线图可知,团队A产品收益率的中位数与团队B的几乎相等,故两个团队的经营效益基本一样。但团队A的产品收益率明显比团队B的收益率的波动大,即团队B的经营水平更稳健,故对于稳健型的投资者,选择团队B的理财产品更合适。
3.18,3.40,3.60,3.67,3.84,3.87,3.91,3.99,4.10,4.15,4.21,4.44，
∴a为前6个数据的中位数,b为后6个数据的中位数，
∴$a=\frac{3.60+3.67}{2}=3.635$,$b=\frac{4.10+4.15}{2}=4.125$。
故答案为3.635,4.125。
(2)因为0.941＞0.112,所以B团队理财产品收益率更稳定。
(3)通过箱线图可知,团队A产品收益率的中位数与团队B的几乎相等,故两个团队的经营效益基本一样。但团队A的产品收益率明显比团队B的收益率的波动大,即团队B的经营水平更稳健,故对于稳健型的投资者,选择团队B的理财产品更合适。
解析
【分析】
（1）求四分位数首先要将数据从小到大排序，12个数据的下四分位数（第25百分位数）位置为$12×25\%=3$，整数位置时取第3和第4个数据的平均值；上四分位数（第75百分位数）位置为$12×75\%=9$，取第9和第10个数据的平均值，据此即可算出a和b的值。（2）方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，数据的稳定性越好，直接比较A、B团队的方差大小即可判断。（3）箱线图由最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值五个关键值绘制，先确定B团队的五个关键值即可补全箱线图；评价时，中位数反映总体经营效益水平，数据波动程度反映稳健度，结合两个统计量的特征分析即可。
【解析】
(1) 先将B团队12项理财产品收益率从小到大排列：3.18,3.40,3.60,3.67,3.84,3.87,3.91,3.99,4.10,4.15,4.21,4.44。
下四分位数$a$是前6个数据的中位数，即第3和第4个数据的平均数：$a=\frac{3.60+3.67}{2}=3.635$；
上四分位数$b$是后6个数据的中位数，即第9和第10个数据的平均数：$b=\frac{4.10+4.15}{2}=4.125$。
(2) 方差越小，数据波动越小，稳定性越好。已知A团队方差为0.941，B团队方差为0.112，$0.941＞0.112$，因此B团队理财产品收益率更稳定。
(3) 补全箱线图时，先确定B团队的五个关键值：最小值3.18，下四分位数3.635，中位数$\frac{3.87+3.91}{2}=3.89$，上四分位数4.125，最大值4.44，对应位置绘制即可。
评价：团队A产品收益率的中位数与团队B的几乎相等，说明两个团队的总体经营效益基本一致；团队A的收益率波动明显大于团队B，说明团队B的经营水平更稳健，稳健型投资者更适合选择B团队的理财产品。
【答案】
(1) $\boxed{3.635}$，$\boxed{4.125}$
(2) $\boxed{B}$团队理财产品收益率的稳定性更好
(3) 补全箱线图略；两个团队总体经营效益基本一致，B团队经营更稳健，适合稳健型投资者选择
【知识点】
四分位数计算，方差的意义，箱线图解读
【点评】
本题以实际理财经营数据为载体，考查统计数据分析的核心知识，既要求掌握统计量的计算方法，又要求理解统计量的实际意义，能有效提升学生运用统计知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）求四分位数首先要将数据从小到大排序，12个数据的下四分位数（第25百分位数）位置为$12×25\%=3$，整数位置时取第3和第4个数据的平均值；上四分位数（第75百分位数）位置为$12×75\%=9$，取第9和第10个数据的平均值，据此即可算出a和b的值。（2）方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，数据的稳定性越好，直接比较A、B团队的方差大小即可判断。（3）箱线图由最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值五个关键值绘制，先确定B团队的五个关键值即可补全箱线图；评价时，中位数反映总体经营效益水平，数据波动程度反映稳健度，结合两个统计量的特征分析即可。
【解析】
(1) 先将B团队12项理财产品收益率从小到大排列：3.18,3.40,3.60,3.67,3.84,3.87,3.91,3.99,4.10,4.15,4.21,4.44。
下四分位数$a$是前6个数据的中位数，即第3和第4个数据的平均数：$a=\frac{3.60+3.67}{2}=3.635$；
上四分位数$b$是后6个数据的中位数，即第9和第10个数据的平均数：$b=\frac{4.10+4.15}{2}=4.125$。
(2) 方差越小，数据波动越小，稳定性越好。已知A团队方差为0.941，B团队方差为0.112，$0.941＞0.112$，因此B团队理财产品收益率更稳定。
(3) 补全箱线图时，先确定B团队的五个关键值：最小值3.18，下四分位数3.635，中位数$\frac{3.87+3.91}{2}=3.89$，上四分位数4.125，最大值4.44，对应位置绘制即可。
评价：团队A产品收益率的中位数与团队B的几乎相等，说明两个团队的总体经营效益基本一致；团队A的收益率波动明显大于团队B，说明团队B的经营水平更稳健，稳健型投资者更适合选择B团队的理财产品。
【答案】
(1) $\boxed{3.635}$，$\boxed{4.125}$
(2) $\boxed{B}$团队理财产品收益率的稳定性更好
(3) 补全箱线图略；两个团队总体经营效益基本一致，B团队经营更稳健，适合稳健型投资者选择
【知识点】
四分位数计算，方差的意义，箱线图解读
【点评】
本题以实际理财经营数据为载体，考查统计数据分析的核心知识，既要求掌握统计量的计算方法，又要求理解统计量的实际意义，能有效提升学生运用统计知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
10. 甲、乙两地月平均气温(单位:℃)如下：
(1)利用平均数、方差分析甲、乙两地气温的特点：
①$\bar{x}_甲 = 23, \bar{x}_乙 = \_\_\_\_\_\_$，可以看出：______________________________。
②$s^2_甲 = 26.17, s^2_乙 = 76.67$，可以看出：______________________________。
(2)甲、乙两地气温的四分位数和箱线图如下：
①$a = \_\_\_\_\_\_, b = \_\_\_\_\_\_, c = \_\_\_\_\_\_$；
②根据四分位数、箱线图分析甲、乙两地气温的特点。
(1)利用平均数、方差分析甲、乙两地气温的特点：
①$\bar{x}_甲 = 23, \bar{x}_乙 = \_\_\_\_\_\_$，可以看出：______________________________。
②$s^2_甲 = 26.17, s^2_乙 = 76.67$，可以看出：______________________________。
(2)甲、乙两地气温的四分位数和箱线图如下：
①$a = \_\_\_\_\_\_, b = \_\_\_\_\_\_, c = \_\_\_\_\_\_$；
②根据四分位数、箱线图分析甲、乙两地气温的特点。
答案
10.解:(1)①$\bar{x}_乙=\frac{1}{12}(7+12+24+26+29+30+32+27+25+22+10+8)=21$,
∵$\bar{x}_甲=23$,
∴$\bar{x}_甲＞\bar{x}_乙$,
∴甲地平均气温高于乙地平均气温。
故答案为21,甲地平均气温高于乙地平均气温。
②
∵$s_甲^2=26.17$,$s_乙^2=76.67$,
∴$s_甲^2＜s_乙^2$,
∴甲地的平均气温更稳定一些(或甲地平均气温明显比乙地的波动小)。
故答案为甲地的平均气温更稳定一些(或甲地平均气温明显比乙地的波动小)。
(2)①把甲地的气温从小到大排列:前一半数据为15,16,17,17,23,24,后一半数据为25,26,27,28,28,30,
∴$a=\frac{17+17}{2}=17$,$c=\frac{27+28}{2}=27.5$。
把乙地的气温从小到大排列:7,8,10,12,22,24,25,26,27,29,30,32,
∴$b=\frac{24+25}{2}=24.5$。
故答案为17,24.5,27.5;
②根据箱线图和四分位数可知甲地平均气温的中位数和乙地相同,但甲地平均气温明显比乙地的波动小(或甲地的平均气温更稳定一些)。
∵$\bar{x}_甲=23$,
∴$\bar{x}_甲＞\bar{x}_乙$,
∴甲地平均气温高于乙地平均气温。
故答案为21,甲地平均气温高于乙地平均气温。
②
∵$s_甲^2=26.17$,$s_乙^2=76.67$,
∴$s_甲^2＜s_乙^2$,
∴甲地的平均气温更稳定一些(或甲地平均气温明显比乙地的波动小)。
故答案为甲地的平均气温更稳定一些(或甲地平均气温明显比乙地的波动小)。
(2)①把甲地的气温从小到大排列:前一半数据为15,16,17,17,23,24,后一半数据为25,26,27,28,28,30,
∴$a=\frac{17+17}{2}=17$,$c=\frac{27+28}{2}=27.5$。
把乙地的气温从小到大排列:7,8,10,12,22,24,25,26,27,29,30,32,
∴$b=\frac{24+25}{2}=24.5$。
故答案为17,24.5,27.5;
②根据箱线图和四分位数可知甲地平均气温的中位数和乙地相同,但甲地平均气温明显比乙地的波动小(或甲地的平均气温更稳定一些)。
解析
【分析】
解题时可按以下思路逐步推导：1. 计算乙地平均气温时，回忆平均数公式：所有数据之和除以数据总个数，算出结果后和甲地平均气温比较大小，即可得出两地平均气温的高低关系；2. 分析方差的意义：方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，数据波动越小、越稳定，比较甲乙两地方差大小就能判断气温的稳定性；3. 计算四分位数时，先把两地气温数据从小到大排序，12个数据的下四分位数是排序后第3、4个数据的平均数，中位数是第6、7个数据的平均数，上四分位数是第9、10个数据的平均数，按此规则计算即可；4. 最后结合四分位数、箱线图反映的数据集中趋势和离散程度，总结两地气温特点。
【解析】
(1) ① 根据平均数计算公式，乙地的平均气温为：
$\bar{x}_乙=\frac{1}{12}(7+12+24+26+29+30+32+27+25+22+10+8)=21$
已知$\bar{x}_甲=23$，可得$\bar{x}_甲＞\bar{x}_乙$，因此甲地平均气温高于乙地平均气温。
② 已知$s^2_甲 = 26.17, s^2_乙 = 76.67$，可得$s^2_甲＜s^2_乙$，根据方差越小数据波动越小的性质，可知甲地的平均气温更稳定，波动比乙地小。
(2) ① 将甲地气温从小到大排列，前一半数据为15,16,17,17,23,24，后一半数据为25,26,27,28,28,30：
下四分位数$a$是前一半数据的中位数，即$a=\frac{17+17}{2}=17$；
上四分位数$c$是后一半数据的中位数，即$c=\frac{27+28}{2}=27.5$；
将乙地气温从小到大排列为7,8,10,12,22,24,25,26,27,29,30,32，中位数$b$是第6、7个数据的平均数，即$b=\frac{24+25}{2}=24.5$。
② 结合四分位数和箱线图可知，甲乙两地气温的中位数相同，甲地气温的四分位距更小，说明甲地平均气温波动更小，更稳定。
【答案】
(1) ①$\boxed{21}$，甲地平均气温高于乙地平均气温；②甲地的平均气温更稳定一些(或甲地平均气温明显比乙地的波动小)
(2) ①$\boxed{17}$，$\boxed{24.5}$，$\boxed{27.5}$；②甲乙两地气温的中位数相同，甲地平均气温的波动比乙地小，气温更稳定
【知识点】
平均数的计算、方差的意义、四分位数的计算
【点评】
本题是数据分析的基础应用题，考查了常见统计量的计算与实际意义，要求学生熟练掌握平均数、方差、四分位数的计算方法，能结合统计量的特征分析数据的集中趋势和离散程度，是统计知识在实际生活中的典型应用。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路逐步推导：1. 计算乙地平均气温时，回忆平均数公式：所有数据之和除以数据总个数，算出结果后和甲地平均气温比较大小，即可得出两地平均气温的高低关系；2. 分析方差的意义：方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，数据波动越小、越稳定，比较甲乙两地方差大小就能判断气温的稳定性；3. 计算四分位数时，先把两地气温数据从小到大排序，12个数据的下四分位数是排序后第3、4个数据的平均数，中位数是第6、7个数据的平均数，上四分位数是第9、10个数据的平均数，按此规则计算即可；4. 最后结合四分位数、箱线图反映的数据集中趋势和离散程度，总结两地气温特点。
【解析】
(1) ① 根据平均数计算公式，乙地的平均气温为：
$\bar{x}_乙=\frac{1}{12}(7+12+24+26+29+30+32+27+25+22+10+8)=21$
已知$\bar{x}_甲=23$，可得$\bar{x}_甲＞\bar{x}_乙$，因此甲地平均气温高于乙地平均气温。
② 已知$s^2_甲 = 26.17, s^2_乙 = 76.67$，可得$s^2_甲＜s^2_乙$，根据方差越小数据波动越小的性质，可知甲地的平均气温更稳定，波动比乙地小。
(2) ① 将甲地气温从小到大排列，前一半数据为15,16,17,17,23,24，后一半数据为25,26,27,28,28,30：
下四分位数$a$是前一半数据的中位数，即$a=\frac{17+17}{2}=17$；
上四分位数$c$是后一半数据的中位数，即$c=\frac{27+28}{2}=27.5$；
将乙地气温从小到大排列为7,8,10,12,22,24,25,26,27,29,30,32，中位数$b$是第6、7个数据的平均数，即$b=\frac{24+25}{2}=24.5$。
② 结合四分位数和箱线图可知，甲乙两地气温的中位数相同，甲地气温的四分位距更小，说明甲地平均气温波动更小，更稳定。
【答案】
(1) ①$\boxed{21}$，甲地平均气温高于乙地平均气温；②甲地的平均气温更稳定一些(或甲地平均气温明显比乙地的波动小)
(2) ①$\boxed{17}$，$\boxed{24.5}$，$\boxed{27.5}$；②甲乙两地气温的中位数相同，甲地平均气温的波动比乙地小，气温更稳定
【知识点】
平均数的计算、方差的意义、四分位数的计算
【点评】
本题是数据分析的基础应用题，考查了常见统计量的计算与实际意义，要求学生熟练掌握平均数、方差、四分位数的计算方法，能结合统计量的特征分析数据的集中趋势和离散程度，是统计知识在实际生活中的典型应用。
【难度系数】
0.7
