6. (★★)随着科技的迅猛发展,智能机器人逐步融入人们的日常生活中.如图,这是某酒店的智能送餐机器人,其最快移动速度v(单位:m/s)是总质量m(单位:kg)的反比例函数.已知此款智能送餐机器人载重前的总质量m = 20 kg,此时它的最快移动速度v = 1.5 m/s.当其载重后总质量m = 30 kg时,它的最快移动速度v是【 】

A.1 m/s
B.1.5 m/s
C.2 m/s
D.3 m/s

A

【分析】本题中最快移动速度v与总质量m成反比例关系，解题时先设出反比例函数解析式，代入已知的m和v的值求出比例系数k，再将载重后的总质量代入解析式求出对应速度，即可选出答案。
【解析】因为v是m的反比例函数，所以设反比例函数解析式为$ v = \frac{k}{m} $（k为常数，k≠0）。将$ m=20 $、$ v=1.5 $代入解析式，得$ 1.5 = \frac{k}{20} $，解得$ k = 1.5×20 = 30 $，因此解析式为$ v = \frac{30}{m} $。当$ m=30 $时，$ v = \frac{30}{30} = 1 $（m/s），故答案为A。
【答案】A
【知识点】反比例函数的应用
【点评】本题是反比例函数在实际场景的基础应用，核心是建立反比例函数模型并求解，计算过程简单，属于基础题型。
【难度系数】0.7

7. (★★)图①是一盏可调节亮度的台灯.图②呈现的是通过该台灯的电流$I$(单位:A)随其电阻$R$(单位:$\Omega$)变化的反比例函数图象,该图象经过点$P(1\ 100,0.2)$.下列说法正确的是 【 】


A.当$I＜0.2$时,$R＜1\ 100$
B.$I$关于$R$的函数解析式是$I=\frac{210}{R}(R＞0)$
C.当$R＞1\ 100$时,$I＞0.2$
D.当$1\ 100＜R＜10\ 000$时,$I$的取值范围是$0.022＜I＜0.2$

D

【分析】
首先，根据题意可知电流$I$与电阻$R$成反比例关系，因此设反比例函数解析式为$I = \frac{k}{R}$（$k≠0$，$R＞0$）；接着将点$P(1100,0.2)$代入解析式求出$k$的值，得到函数的具体表达式；再结合反比例函数的性质（当$k＞0$时，在$R＞0$的范围内，$I$随$R$的增大而减小），逐一分析每个选项的正确性，从而得出答案。
【解析】
因为$I$是$R$的反比例函数，设其解析式为$I = \frac{k}{R}$（$k≠0$，$R＞0$）。
将点$P(1100,0.2)$代入解析式，得：
$0.2 = \frac{k}{1100}$，
解得$k = 0.2×1100 = 220$，
因此$I$关于$R$的函数解析式为$I = \frac{220}{R}$（$R＞0$）。
对各选项分析如下：
选项A：因为$k=220＞0$，在$R＞0$时，$I$随$R$的增大而减小，所以当$I＜0.2$时，$R＞1100$，而非$R＜1100$，A错误；
选项B：由上述计算可知函数解析式为$I = \frac{220}{R}$，不是$I = \frac{210}{R}$，B错误；
选项C：当$R＞1100$时，根据$I$随$R$增大而减小，可得$I＜0.2$，而非$I＞0.2$，C错误；
选项D：当$R=1100$时，$I=0.2$；当$R=10000$时，$I = \frac{220}{10000} = 0.022$。因为$I$随$R$增大而减小，所以当$1100＜R＜10000$时，$I$的取值范围是$0.022＜I＜0.2$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的性质
【点评】
本题结合实际场景考查反比例函数的应用，核心是用待定系数法求解析式，再利用反比例函数的单调性判断选项，需掌握反比例函数的基本性质，属于中等难度的函数应用题。
【难度系数】
0.6

8. (★★)如图,某工程队承接了一项开挖水渠的工程,所需时间y(单位:天)是每天完成的工程量x(单位:米/天)的反比例函数,其图象经过点(20,50).
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)当每天完成25米时,求该工程队完成工程所需的时间.
(3)若完成工程的时间小于50天,则该工程队每天完成的工程量x的取值范围是.

$\boldsymbol{x＞20}$（单位：米/天）

【分析】
本题是反比例函数在实际工程问题中的应用，解题思路如下：
1. 第(1)问：已知y是x的反比例函数，先设反比例函数的一般形式，再利用图像上的点(20,50)代入求出比例系数k，从而得到函数解析式；
2. 第(2)问：将x=25代入已求得的函数解析式，计算对应的y值，即完成工程的时间；
3. 第(3)问：根据“时间小于50天”得到不等式，结合反比例函数在x＞0时的增减性（y随x增大而减小），求解不等式得到x的取值范围。
【解析】
(1) 设y关于x的函数解析式为 $ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0, x＞0 $），
因为函数图象经过点(20,50)，将 $ x=20, y=50 $ 代入解析式得：
$ 50 = \frac{k}{20} $，
解得 $ k = 50 × 20 = 1000 $，
因此y关于x的函数解析式为 $ \boldsymbol{y = \frac{1000}{x} (x＞0)} $。
(2) 当每天完成工程量 $ x=25 $ 米/天时，将 $ x=25 $ 代入 $ y = \frac{1000}{x} $ 得：
$ y = \frac{1000}{25} = 40 $，
即该工程队完成工程所需的时间为40天。
(3) 由题意，完成工程的时间 $ y ＜ 50 $，即 $ \frac{1000}{x} ＜ 50 $，
因为 $ x＞0 $，两边同时乘以x，不等号方向不变，得：
$ 1000 ＜ 50x $，
解得 $ x ＞ 20 $，
因此x的取值范围是 $ \boldsymbol{x＞20} $（单位：米/天）。
【答案】
$ x＞20 $（单位：米/天）
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的解析式，反比例函数的性质
【点评】
本题结合工程问题考查反比例函数的应用，核心是利用待定系数法求反比例函数解析式，再结合函数性质解决实际问题，需注意自变量的取值范围，属于中等难度的应用题。
【难度系数】
0.5

9. (★)在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体,当改变容器的体积时,气体的密度也会随之改变,密度$\rho$(单位:$\mathrm{kg/m}^3$)是体积$V$(单位:$\mathrm{m}^3$)的反比例函数,它的图象如图所示,当$V=10\ \mathrm{m}^3$时,气体的密度是【】


A.$1\ \mathrm{kg/m}^3$
B.$2\ \mathrm{kg/m}^3$
C.$5\ \mathrm{kg/m}^3$
D.$10\ \mathrm{kg/m}^3$

A

【分析】
首先，根据题目中“密度ρ是体积V的反比例函数”，设反比例函数的解析式为$\rho=\frac{k}{V}$（k为常数，k≠0）；然后从图像中找到已知点（$V=5\ \mathrm{m}^3$，$\rho=2\ \mathrm{kg/m}^3$），代入解析式求出常数k，得到完整的反比例函数解析式；最后将$V=10\ \mathrm{m}^3$代入解析式，计算出对应的ρ值，即可选出答案。
【解析】
解：因为ρ是V的反比例函数，所以设$\rho=\frac{k}{V}$（k≠0，k为常数）。
由图像可知，当$V=5\ \mathrm{m}^3$时，$\rho=2\ \mathrm{kg/m}^3$，将其代入解析式得：
$2=\frac{k}{5}$，解得$k=2×5=10$。
因此，反比例函数的解析式为$\rho=\frac{10}{V}$。
当$V=10\ \mathrm{m}^3$时，代入解析式得：$\rho=\frac{10}{10}=1\ \mathrm{kg/m}^3$。
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数应用、密度与体积的关系
【点评】
本题考查反比例函数在实际问题中的应用，解题关键是利用图像上的已知点确定反比例函数的解析式，再代入计算，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.7