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例3 如图，A,B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由.
解:
【规律方法】
在平面内求最短距离问题时，往往利用线段的基本事实“两点之间，线段最短”来解决.
解:
【规律方法】
在平面内求最短距离问题时，往往利用线段的基本事实“两点之间，线段最短”来解决.
答案
解:如解图,连接AB,与直线l交于点P,点P即为所求. 理由:两点之间,线段最短.
解析
【分析】要使抽水站到A、B两村的管道最短，需让PA与PB的长度和最小。根据线段的基本事实“两点之间，线段最短”，连接A、B两点，这条线段与河流l的交点就是满足条件的点P，此时PA+PB的长度等于线段AB的长度，是最短的管道总长度。
【解析】解：连接AB，交直线l于点P，点P即为抽水站的位置。理由：两点之间，线段最短，此时PA + PB = AB，为最短的管道长度。
【答案】连接AB，与直线l交于点P，点P即为所求，理由：两点之间，线段最短。
【知识点】两点之间线段最短；最短路径问题
【点评】本题结合实际生活场景，考查线段基本性质的应用，属于基础几何应用题，体现了数学知识在实际问题中的运用。
【难度系数】0.3
【解析】解：连接AB，交直线l于点P，点P即为抽水站的位置。理由：两点之间，线段最短，此时PA + PB = AB，为最短的管道长度。
【答案】连接AB，与直线l交于点P，点P即为所求，理由：两点之间，线段最短。
【知识点】两点之间线段最短；最短路径问题
【点评】本题结合实际生活场景，考查线段基本性质的应用，属于基础几何应用题，体现了数学知识在实际问题中的运用。
【难度系数】0.3
1. 如图,已知线段$a,b$,且$a＞b$.
(1)用圆规和无刻度的直尺作一条线段,使它等于$a+b$；
(2)用圆规和无刻度的直尺作一条线段,使它等于$a-b$.
(1)用圆规和无刻度的直尺作一条线段,使它等于$a+b$；
(2)用圆规和无刻度的直尺作一条线段,使它等于$a-b$.
答案
1. 解:(1)如解图①,作直线AF,在直线AF上作线段AB=a,再在射线BF上作线段BC=b,则线段AC=a+b；
(2)如解图②,作直线AF,在直线AF上作线段AB=a,再在线段AB上作线段BD=b,则线段AD=a-b.
解析
【分析】
要作线段的和与差，需利用尺规作图的基本方法：直尺画直线，圆规量取已知线段长度后在直线上截取。作线段和时，在同一直线上顺次截取两条线段；作线段差时，在较长线段上截取较短线段，剩余部分即为所求差，本题中$a＞b$，故$a-b$为正线段。
【解析】
(1) 作线段$a+b$的步骤：
① 画一条直线$AF$；
② 用圆规量取线段$a$的长度，在直线$AF$上截取线段$AB = a$；
③ 再用圆规量取线段$b$的长度，在射线$BF$上截取线段$BC = b$；
则线段$AC$即为所求的$a+b$。
(2) 作线段$a-b$的步骤：
① 画一条直线$AF$；
② 用圆规量取线段$a$的长度，在直线$AF$上截取线段$AB = a$；
③ 用圆规量取线段$b$的长度，在线段$AB$上截取线段$BD = b$；
则线段$AD$即为所求的$a-b$。
【答案】
(1) 如解图①，作直线$AF$，在直线$AF$上作线段$AB=a$，再在射线$BF$上作线段$BC=b$，则线段$AC=a+b$；
(2) 如解图②，作直线$AF$，在直线$AF$上作线段$AB=a$，再在线段$AB$上作线段$BD=b$，则线段$AD=a-b$。
【知识点】
尺规作图、线段的和差
【点评】
本题是尺规作图的基础题型，考察线段和、差的作图方法，属于几何入门的基本操作，需掌握圆规和无刻度直尺的规范使用，难度较低。
【难度系数】
0.8
要作线段的和与差，需利用尺规作图的基本方法：直尺画直线，圆规量取已知线段长度后在直线上截取。作线段和时，在同一直线上顺次截取两条线段；作线段差时，在较长线段上截取较短线段，剩余部分即为所求差，本题中$a＞b$，故$a-b$为正线段。
【解析】
(1) 作线段$a+b$的步骤：
① 画一条直线$AF$；
② 用圆规量取线段$a$的长度，在直线$AF$上截取线段$AB = a$；
③ 再用圆规量取线段$b$的长度，在射线$BF$上截取线段$BC = b$；
则线段$AC$即为所求的$a+b$。
(2) 作线段$a-b$的步骤：
① 画一条直线$AF$；
② 用圆规量取线段$a$的长度，在直线$AF$上截取线段$AB = a$；
③ 用圆规量取线段$b$的长度，在线段$AB$上截取线段$BD = b$；
则线段$AD$即为所求的$a-b$。
【答案】
(1) 如解图①，作直线$AF$，在直线$AF$上作线段$AB=a$，再在射线$BF$上作线段$BC=b$，则线段$AC=a+b$；
(2) 如解图②，作直线$AF$，在直线$AF$上作线段$AB=a$，再在线段$AB$上作线段$BD=b$，则线段$AD=a-b$。
【知识点】
尺规作图、线段的和差
【点评】
本题是尺规作图的基础题型，考察线段和、差的作图方法，属于几何入门的基本操作，需掌握圆规和无刻度直尺的规范使用，难度较低。
【难度系数】
0.8
2. 如图,已知C为线段AB的中点,D在线段CB上,且$DA=6$,$DB=4$,求$CD$的长度. 
第2题图
第2题图答案
2. 解:1.
解析
【分析】
要计算CD的长度，需先求出线段AB的总长度，再利用中点性质得到AC的长度，最后通过线段和差关系计算CD。具体步骤：1. 由DA和DB相加得到AB的总长；2. 根据C是AB中点，算出AC的长度；3. 利用DA=AC+CD的关系，变形求出CD。
【解析】
解：1. 计算线段AB的长度：
因为AB = DA + DB，已知DA=6，DB=4，所以AB=6+4=10。
2. 利用中点性质求AC的长度：
因为C是线段AB的中点，所以AC = AB÷2 = 10÷2 =5。
3. 计算CD的长度：
由线段关系可知DA = AC + CD，因此CD = DA - AC =6 -5=1。
【答案】
1
【知识点】
线段中点、线段和差计算
【点评】
本题考查线段长度的基础计算，核心是利用线段中点的性质和线段和差关系，解题思路清晰，属于基础题型，适合巩固线段相关知识点。
【难度系数】
0.7
要计算CD的长度，需先求出线段AB的总长度，再利用中点性质得到AC的长度，最后通过线段和差关系计算CD。具体步骤：1. 由DA和DB相加得到AB的总长；2. 根据C是AB中点，算出AC的长度；3. 利用DA=AC+CD的关系，变形求出CD。
【解析】
解：1. 计算线段AB的长度：
因为AB = DA + DB，已知DA=6，DB=4，所以AB=6+4=10。
2. 利用中点性质求AC的长度：
因为C是线段AB的中点，所以AC = AB÷2 = 10÷2 =5。
3. 计算CD的长度：
由线段关系可知DA = AC + CD，因此CD = DA - AC =6 -5=1。
【答案】
1
【知识点】
线段中点、线段和差计算
【点评】
本题考查线段长度的基础计算，核心是利用线段中点的性质和线段和差关系，解题思路清晰，属于基础题型，适合巩固线段相关知识点。
【难度系数】
0.7
3. 如图,设A,B,C,D为4个居民小区,现要建一个购物中心,试问应把购物中心建在何处,才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小?请写出应用的数学知识.
答案
3. 解:连接AC,BD. 解图略. 购物中心应建在线段AC和线段BD的交点处.
数学知识:两点之间,线段最短.
数学知识:两点之间,线段最短.
解析
【分析】要解决使4个居民小区到购物中心的距离之和最小的问题，需利用几何中距离最短的性质：两点之间，线段最短。将四个小区分为两组对顶点A与C、B与D，连接这两组对顶点得到线段AC和BD，两条线段的交点到四个小区的距离之和为AC+BD，这是所有可能点中最小的，因为任意其他点到A、C的距离和都大于AC，到B、D的距离和都大于BD，因此交点处距离和最小。
【解析】连接线段AC和线段BD，两条线段的交点即为购物中心的位置。理由：根据“两点之间，线段最短”，对于任意一点P，若P不在AC上，则PA+PC＞AC；若P不在BD上，则PB+PD＞BD。因此，当P为AC与BD的交点时，PA+PC+PB+PD=AC+BD，此时距离之和最小。
【答案】购物中心应建在线段AC和线段BD的交点处。
【知识点】两点之间线段最短，线段的交点
【点评】本题将实际选址问题转化为几何中距离和最小的问题，核心是运用两点之间线段最短的性质，是几何知识在生活中的简单应用，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】连接线段AC和线段BD，两条线段的交点即为购物中心的位置。理由：根据“两点之间，线段最短”，对于任意一点P，若P不在AC上，则PA+PC＞AC；若P不在BD上，则PB+PD＞BD。因此，当P为AC与BD的交点时，PA+PC+PB+PD=AC+BD，此时距离之和最小。
【答案】购物中心应建在线段AC和线段BD的交点处。
【知识点】两点之间线段最短，线段的交点
【点评】本题将实际选址问题转化为几何中距离和最小的问题，核心是运用两点之间线段最短的性质，是几何知识在生活中的简单应用，难度适中。
【难度系数】0.5
