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7.线段的中点及等分点
(1)如图①,点M把线段AB分成相等的两段AM与BM,点M叫作线段AB的
(2)如图②,AM=MN=NB,点M,N分别是线段AB的
(3)如图③,AM=MN=NP=PB,点M,N,P分别是线段AB的
(1)如图①,点M把线段AB分成相等的两段AM与BM,点M叫作线段AB的
中点
.(2)如图②,AM=MN=NB,点M,N分别是线段AB的
三等分
点.(3)如图③,AM=MN=NP=PB,点M,N,P分别是线段AB的
四等分
点.答案
7. (1) 中点 (2) 三等分 (3) 四等分
解析
【分析】
解题时需结合线段中点、等分点的定义思考：首先明确，若点将线段分为长度相等的2段，该点就是线段的中点；若若干个点将线段分为长度相等的n段，这些点就是线段的n等分点。接下来对应每一问的分段情况判断即可：第(1)问线段被分成2等份，对应中点定义；第(2)问线段被分成3等份，对应三等分点；第(3)问线段被分成4等份，对应四等分点。
【解析】
(1) 根据线段中点的定义：把一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点。点M把AB分成相等的AM与BM，因此点M是线段AB的中点。
(2) 由AM=MN=NB可知，线段AB被平均分成3段长度相等的线段，因此点M、N是线段AB的三等分点。
(3) 由AM=MN=NP=PB可知，线段AB被平均分成4段长度相等的线段，因此点M、N、P是线段AB的四等分点。
【答案】
(1) 中点 (2) 三等分 (3) 四等分
【知识点】
1. 线段中点的定义
2. 线段等分点的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对线段中点、等分点定义的识记与理解，掌握相关定义即可快速解题，是后续学习线段和差计算的基础。
【难度系数】
0.9
解题时需结合线段中点、等分点的定义思考：首先明确，若点将线段分为长度相等的2段，该点就是线段的中点；若若干个点将线段分为长度相等的n段，这些点就是线段的n等分点。接下来对应每一问的分段情况判断即可：第(1)问线段被分成2等份，对应中点定义；第(2)问线段被分成3等份，对应三等分点；第(3)问线段被分成4等份，对应四等分点。
【解析】
(1) 根据线段中点的定义：把一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点。点M把AB分成相等的AM与BM，因此点M是线段AB的中点。
(2) 由AM=MN=NB可知，线段AB被平均分成3段长度相等的线段，因此点M、N是线段AB的三等分点。
(3) 由AM=MN=NP=PB可知，线段AB被平均分成4段长度相等的线段，因此点M、N、P是线段AB的四等分点。
【答案】
(1) 中点 (2) 三等分 (3) 四等分
【知识点】
1. 线段中点的定义
2. 线段等分点的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对线段中点、等分点定义的识记与理解，掌握相关定义即可快速解题，是后续学习线段和差计算的基础。
【难度系数】
0.9
例1 如图,已知线段a,b,c(b＞c).
例1题图
求作:线段AD,使AD=a+b−c.
【思路分析】
思考1:作射线AE,先在射线AE上截取线段AB=a,再在射线BE上截取线段BC=b,即可得AC=
思考2:在线段AC上截取CD=c,则AD=
解:
例1题图
求作:线段AD,使AD=a+b−c.
【思路分析】
思考1:作射线AE,先在射线AE上截取线段AB=a,再在射线BE上截取线段BC=b,即可得AC=
$a+b$
.思考2:在线段AC上截取CD=c,则AD=
$a+b-c$
.解:
答案
思考1: $a+b$
思考2: $a+b-c$
解:如解图线段AD即为所求.
解析
【分析】
要作出长度为$a+b-c$的线段，本质是利用线段的和差关系作图，可分为“先作和、再作差”两步完成：首先以射线为基准顺次截取长度为$a$、$b$的线段，拼接得到总长为$a+b$的线段；再在该长线段上从端点向内截取长度为$c$的线段，剩余部分的长度就是$a+b-c$，即为所求线段。
【解析】
思考1：顺次截取$AB=a$、$BC=b$时，线段$AC$是$AB$与$BC$的和，因此$AC=a+b$。
思考2：在线段$AC$上截取$CD=c$后，线段$AD$是$AC$与$CD$的差，因此$AD=AC-CD=a+b-c$。
完整作图步骤：
1. 作射线$AE$；
2. 在射线$AE$上顺次截取$AB=a$，$BC=b$，可得$AC=a+b$；
3. 在线段$AC$上截取$CD=c$（点$D$在点$C$与点$B$之间），所得线段$AD$即为所求。
【答案】
思考1: $a+b$
思考2: $a+b-c$
解:如解图线段AD即为所求.
【知识点】
作线段等于已知线段，线段的和差运算
【点评】
本题是线段和差作图的基础题，核心是掌握“顺次截取作线段和、反向截取作线段差”的作图方法，作图时要注意作差时截取的方向，避免截错位置导致长度错误。
【难度系数】
0.8
要作出长度为$a+b-c$的线段，本质是利用线段的和差关系作图，可分为“先作和、再作差”两步完成：首先以射线为基准顺次截取长度为$a$、$b$的线段，拼接得到总长为$a+b$的线段；再在该长线段上从端点向内截取长度为$c$的线段，剩余部分的长度就是$a+b-c$，即为所求线段。
【解析】
思考1：顺次截取$AB=a$、$BC=b$时，线段$AC$是$AB$与$BC$的和，因此$AC=a+b$。
思考2：在线段$AC$上截取$CD=c$后，线段$AD$是$AC$与$CD$的差，因此$AD=AC-CD=a+b-c$。
完整作图步骤：
1. 作射线$AE$；
2. 在射线$AE$上顺次截取$AB=a$，$BC=b$，可得$AC=a+b$；
3. 在线段$AC$上截取$CD=c$（点$D$在点$C$与点$B$之间），所得线段$AD$即为所求。
【答案】
思考1: $a+b$
思考2: $a+b-c$
解:如解图线段AD即为所求.
【知识点】
作线段等于已知线段，线段的和差运算
【点评】
本题是线段和差作图的基础题，核心是掌握“顺次截取作线段和、反向截取作线段差”的作图方法，作图时要注意作差时截取的方向，避免截错位置导致长度错误。
【难度系数】
0.8
例2 如图，C是线段AB上一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点.
(1)若$AM=1$，$BC=4$，求$MN$的长度；
(2)若$AB=6$，求$MN$的长度.
例2题图
解:
(1)若$AM=1$，$BC=4$，求$MN$的长度；
(2)若$AB=6$，求$MN$的长度.
例2题图
解:
答案
(1) 3；(2) 3.
解析
【分析】
解题时先明确线段中点的性质：线段中点将线段分为长度相等的两段，每段长度是原线段的$\frac{1}{2}$。
对于(1)问，要求MN的长度，观察图形可知MN由MC和CN两段组成，因此只需先根据中点性质分别求出MC、CN的长度，再求和即可。
对于(2)问，没有给出AC、BC的具体长度，可先利用中点性质将MC、CN分别用AC、BC表示，再将MN转化为AC与BC之和的一半，而AC+BC就是AB，代入AB的长度即可求出结果。
【解析】
(1)
∵ 点M是AC的中点，$AM=1$
∴ $MC = AM = 1$
∵ 点N是BC的中点，$BC=4$
∴ $CN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×4 = 2$
∴ $MN = MC + CN = 1 + 2 = 3$
(2)
∵ 点M是AC的中点，
∴ $MC = \frac{1}{2}AC$
∵ 点N是BC的中点，
∴ $CN = \frac{1}{2}BC$
∴ $MN = MC + CN = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AC + BC)$
又
∵ $AC + BC = AB$，$AB=6$
∴ $MN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×6 = 3$
【答案】
(1) 3；(2) 3
【知识点】
线段中点的性质，线段的和差运算
【点评】
本题是线段运算的典型基础题，解题关键是结合图形将待求线段拆分为可通过已知条件转化的线段之和，其中第二问的结论可作为规律记忆：线段上任一点分线段所得两段的中点间距等于原线段长的一半。
【难度系数】
0.8
解题时先明确线段中点的性质：线段中点将线段分为长度相等的两段，每段长度是原线段的$\frac{1}{2}$。
对于(1)问，要求MN的长度，观察图形可知MN由MC和CN两段组成，因此只需先根据中点性质分别求出MC、CN的长度，再求和即可。
对于(2)问，没有给出AC、BC的具体长度，可先利用中点性质将MC、CN分别用AC、BC表示，再将MN转化为AC与BC之和的一半，而AC+BC就是AB，代入AB的长度即可求出结果。
【解析】
(1)
∵ 点M是AC的中点，$AM=1$
∴ $MC = AM = 1$
∵ 点N是BC的中点，$BC=4$
∴ $CN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×4 = 2$
∴ $MN = MC + CN = 1 + 2 = 3$
(2)
∵ 点M是AC的中点，
∴ $MC = \frac{1}{2}AC$
∵ 点N是BC的中点，
∴ $CN = \frac{1}{2}BC$
∴ $MN = MC + CN = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AC + BC)$
又
∵ $AC + BC = AB$，$AB=6$
∴ $MN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×6 = 3$
【答案】
(1) 3；(2) 3
【知识点】
线段中点的性质，线段的和差运算
【点评】
本题是线段运算的典型基础题，解题关键是结合图形将待求线段拆分为可通过已知条件转化的线段之和，其中第二问的结论可作为规律记忆：线段上任一点分线段所得两段的中点间距等于原线段长的一半。
【难度系数】
0.8
