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变式训练2 | 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，求其内部5个小直角三角形的周长之和。
答案
解:在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,$∠ACB=90°$,
根据勾股定理,得
$AC^2+BC^2=AB^2$,
即 $6^2+8^2=AB^2$。
解得 $AB=10$。
由图形可知,内部小直角三角形的直角边平移后与
$\mathrm{Rt}△ABC$ 的直角边重合,
所以内部5个小直角三角形的周长等于 $\mathrm{Rt}△ABC$
的周长,
所以内部5个小直角三角形的周长为
$AB+AC+BC=10+6+8=24$。
解析
【分析】
本题要求5个小直角三角形的周长之和，我们没有每个小三角形的边长数据，无法分别计算周长再相加。首先观察图形特征：所有小直角三角形的直角边分别与大$Rt△ ABC$的直角边$AC$、$BC$平行，斜边均落在$AB$边上。我们可以运用平移的性质：平移前后线段长度不变，把所有小三角形平行于$AC$的直角边向左平移，它们的总长度刚好等于$AC$；把所有小三角形平行于$BC$的直角边向下平移，它们的总长度刚好等于$BC$；所有小三角形的斜边之和刚好等于$AB$的长度，因此5个小三角形的周长之和等于大$Rt△ ABC$的周长。接下来先用勾股定理求出$AB$的长度，再计算大三角形周长即可得到结果。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，
根据勾股定理，得$AC^2+BC^2=AB^2$，
代入数据得：$6^2+8^2=AB^2$，即$AB^2=100$，
解得$AB=10$（线段长度为正，舍去负值）。
由平移的性质可知：内部小直角三角形的直角边平移后与$\mathrm{Rt}△ABC$的直角边重合，所有小三角形的斜边之和等于$AB$，
因此5个小直角三角形的周长之和等于$\mathrm{Rt}△ABC$的周长，即：
$AB+AC+BC=10+6+8=24$。
【答案】
【知识点】
勾股定理，平移的性质，周长计算
【点评】
本题是平移性质的典型应用题型，核心是运用转化思想，把分散的小三角形边长通过平移转化到大三角形的三边上，不需要单独计算每个小三角形的周长就能快速求解，能很好地考查学生对图形性质的灵活运用能力和转化思维。
【难度系数】
0.7
本题要求5个小直角三角形的周长之和，我们没有每个小三角形的边长数据，无法分别计算周长再相加。首先观察图形特征：所有小直角三角形的直角边分别与大$Rt△ ABC$的直角边$AC$、$BC$平行，斜边均落在$AB$边上。我们可以运用平移的性质：平移前后线段长度不变，把所有小三角形平行于$AC$的直角边向左平移，它们的总长度刚好等于$AC$；把所有小三角形平行于$BC$的直角边向下平移，它们的总长度刚好等于$BC$；所有小三角形的斜边之和刚好等于$AB$的长度，因此5个小三角形的周长之和等于大$Rt△ ABC$的周长。接下来先用勾股定理求出$AB$的长度，再计算大三角形周长即可得到结果。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，
根据勾股定理，得$AC^2+BC^2=AB^2$，
代入数据得：$6^2+8^2=AB^2$，即$AB^2=100$，
解得$AB=10$（线段长度为正，舍去负值）。
由平移的性质可知：内部小直角三角形的直角边平移后与$\mathrm{Rt}△ABC$的直角边重合，所有小三角形的斜边之和等于$AB$，
因此5个小直角三角形的周长之和等于$\mathrm{Rt}△ABC$的周长，即：
$AB+AC+BC=10+6+8=24$。
【答案】
【知识点】
勾股定理，平移的性质，周长计算
【点评】
本题是平移性质的典型应用题型，核心是运用转化思想，把分散的小三角形边长通过平移转化到大三角形的三边上，不需要单独计算每个小三角形的周长就能快速求解，能很好地考查学生对图形性质的灵活运用能力和转化思维。
【难度系数】
0.7
1.已知$ x,y $为正数，且$ |x^2 - 4| + 2|y^2 - 3| = 0 $。如果以$ x,y $为直角边长作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边长为边长的正方形的面积为（
A.5
B.25
C.7
D.15
C
）A.5
B.25
C.7
D.15
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先回忆绝对值的性质：绝对值具有非负性，即任意数的绝对值都≥0。当几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此可先求出$x^2$和$y^2$的值。再结合勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两条直角边的平方和，最后所求正方形的面积等于斜边长的平方，因此无需算出x、y的具体值，直接计算$x^2+y^2$即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 绝对值具有非负性，即$|x^2 - 4|≥0$，$|y^2 - 3|≥0$，
又
∵ $|x^2 - 4| + 2|y^2 - 3| = 0$，
∴ $x^2 - 4 = 0$，$y^2 - 3 = 0$，
解得 $x^2 = 4$，$y^2 = 3$（x、y为正数，符合题意）。
根据勾股定理，该直角三角形的斜边长的平方 = $x^2 + y^2 = 4 + 3 = 7$。
∵ 以斜边长为边长的正方形的面积 = 斜边长的平方，
∴ 正方形的面积为7。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的非负性，勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题是基础综合题，解题时可以灵活处理，不需要求出x、y的具体数值，直接利用$x^2$和$y^2$的值计算即可，能简化运算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆绝对值的性质：绝对值具有非负性，即任意数的绝对值都≥0。当几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此可先求出$x^2$和$y^2$的值。再结合勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两条直角边的平方和，最后所求正方形的面积等于斜边长的平方，因此无需算出x、y的具体值，直接计算$x^2+y^2$即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 绝对值具有非负性，即$|x^2 - 4|≥0$，$|y^2 - 3|≥0$，
又
∵ $|x^2 - 4| + 2|y^2 - 3| = 0$，
∴ $x^2 - 4 = 0$，$y^2 - 3 = 0$，
解得 $x^2 = 4$，$y^2 = 3$（x、y为正数，符合题意）。
根据勾股定理，该直角三角形的斜边长的平方 = $x^2 + y^2 = 4 + 3 = 7$。
∵ 以斜边长为边长的正方形的面积 = 斜边长的平方，
∴ 正方形的面积为7。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的非负性，勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题是基础综合题，解题时可以灵活处理，不需要求出x、y的具体数值，直接利用$x^2$和$y^2$的值计算即可，能简化运算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
2.已知$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A,∠ B,∠ C$的对边分别为$a,b,c$。若$a+b=14\ \mathrm{cm},c=10\ \mathrm{cm}$，则$\mathrm{Rt}△ ABC$的面积是（$\quad$）
A.$24\ \mathrm{cm}^2$
B.$36\ \mathrm{cm}^2$
C.$48\ \mathrm{cm}^2$
D.$60\ \mathrm{cm}^2$
A.$24\ \mathrm{cm}^2$
B.$36\ \mathrm{cm}^2$
C.$48\ \mathrm{cm}^2$
D.$60\ \mathrm{cm}^2$
答案
2.A
解析
【分析】
要求Rt△ABC的面积，已知直角三角形面积公式为$\frac{1}{2}ab$，所以只需算出$ab$的值即可。题目给出$a+b=14\mathrm{cm}$和斜边$c=10\mathrm{cm}$，首先结合直角三角形的勾股定理得到$a^2+b^2$的值，再利用完全平方公式将$a+b$的平方展开，通过整体代换就能求出$ab$的值，进而算出面积。
【解析】
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠C=90°$，$c=10\mathrm{cm}$
根据勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2 = 10^2 = 100$
又已知$a + b = 14\mathrm{cm}$，将等式两边同时平方得：
$(a + b)^2 = 14^2$
展开完全平方公式得：$a^2 + 2ab + b^2 = 196$
将$a^2 + b^2 = 100$代入上式得：
$100 + 2ab = 196$
解得：$2ab = 96$，即$ab = 48$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABC$的面积$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}×48 = 24\mathrm{cm}^2$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；直角三角形面积计算
【点评】
本题无需分别求出a、b的具体数值，通过勾股定理和完全平方公式结合整体代换的思想即可快速求出面积，是直角三角形运算类的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
要求Rt△ABC的面积，已知直角三角形面积公式为$\frac{1}{2}ab$，所以只需算出$ab$的值即可。题目给出$a+b=14\mathrm{cm}$和斜边$c=10\mathrm{cm}$，首先结合直角三角形的勾股定理得到$a^2+b^2$的值，再利用完全平方公式将$a+b$的平方展开，通过整体代换就能求出$ab$的值，进而算出面积。
【解析】
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠C=90°$，$c=10\mathrm{cm}$
根据勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2 = 10^2 = 100$
又已知$a + b = 14\mathrm{cm}$，将等式两边同时平方得：
$(a + b)^2 = 14^2$
展开完全平方公式得：$a^2 + 2ab + b^2 = 196$
将$a^2 + b^2 = 100$代入上式得：
$100 + 2ab = 196$
解得：$2ab = 96$，即$ab = 48$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABC$的面积$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}×48 = 24\mathrm{cm}^2$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；直角三角形面积计算
【点评】
本题无需分别求出a、b的具体数值，通过勾股定理和完全平方公式结合整体代换的思想即可快速求出面积，是直角三角形运算类的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=10$，$BD$是$AC$边上的高，$DC = 2$，则$BD$等于(
A.4
B.6
C.8
D.10
B
)A.4
B.6
C.8
D.10
答案
3.B
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：已知AC的总长和DC的长度，可先求出AD的长度；再根据BD是AC边上的高，可知△ABD是直角三角形，最后利用勾股定理即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵AC=10，DC=2，
∴AD = AC - DC = 10 - 2 = 8，
∵BD是AC边上的高，
∴∠ADB=90°，△ABD为直角三角形，
在Rt△ABD中，AB=10，AD=8，根据勾股定理可得：
$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；三角形高的定义
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题的关键是先确定直角三角形，再结合已知条件求出直角三角形的两条已知边长，代入勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：已知AC的总长和DC的长度，可先求出AD的长度；再根据BD是AC边上的高，可知△ABD是直角三角形，最后利用勾股定理即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵AC=10，DC=2，
∴AD = AC - DC = 10 - 2 = 8，
∵BD是AC边上的高，
∴∠ADB=90°，△ABD为直角三角形，
在Rt△ABD中，AB=10，AD=8，根据勾股定理可得：
$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；三角形高的定义
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题的关键是先确定直角三角形，再结合已知条件求出直角三角形的两条已知边长，代入勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.8
4.斜边长为17 cm、一条直角边长为8 cm的直角三角形的面积是
$60\ \mathrm{cm}^2$
。答案
4.$60\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
要求直角三角形的面积，需先明确直角三角形面积公式为“面积=1/2×一条直角边×另一条直角边”。题目已知一条直角边和斜边长，因此首先需要利用勾股定理求出另一条未知的直角边长，再代入面积公式计算即可。
【解析】
设该直角三角形的另一条直角边长为x cm。
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$x^2 + 8^2 = 17^2$
计算得：$x^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$
因为边长为正数，所以$x = \sqrt{225} = 15$
再代入直角三角形面积公式：
$S = \frac{1}{2}×8×15 = 60\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$60\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是先借助勾股定理求出缺失的直角边长，再代入面积公式计算，熟练掌握基础公式即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要求直角三角形的面积，需先明确直角三角形面积公式为“面积=1/2×一条直角边×另一条直角边”。题目已知一条直角边和斜边长，因此首先需要利用勾股定理求出另一条未知的直角边长，再代入面积公式计算即可。
【解析】
设该直角三角形的另一条直角边长为x cm。
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$x^2 + 8^2 = 17^2$
计算得：$x^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$
因为边长为正数，所以$x = \sqrt{225} = 15$
再代入直角三角形面积公式：
$S = \frac{1}{2}×8×15 = 60\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$60\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是先借助勾股定理求出缺失的直角边长，再代入面积公式计算，熟练掌握基础公式即可快速解题。
【难度系数】
0.9
5.在直角三角形ABC中，已知斜边AB=2，则$AB^2+BC^2+CA^2=$
8
。答案
5.8
解析
【分析】
题目给出的是直角三角形，且已知斜边AB的长度，首先我们可以联想到直角三角形特有的勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，也就是$BC^2+CA^2=AB^2$。要求$AB^2+BC^2+CA^2$的和，我们可以把$BC^2+CA^2$整体替换成$AB^2$，将原式转化为仅含$AB^2$的式子，再代入AB=2的条件就能算出结果。
【解析】
解：
∵$△ ABC$是直角三角形，AB为斜边
∴根据勾股定理可得：$BC^2 + CA^2 = AB^2$
∴$AB^2 + BC^2 + CA^2 = AB^2 + (BC^2 + CA^2) = AB^2 + AB^2 = 2AB^2$
又
∵$AB=2$
∴原式$=2×2^2=2×4=8$
【答案】
8
【知识点】
勾股定理，整体代入求值
【点评】
本题是基础类计算题，核心考查勾股定理的直接应用，解题关键是利用勾股定理对所求式子进行变形转化，通过整体代入的思路简化计算，避免单独求解两条直角边的长度，降低计算量。
【难度系数】
0.8
题目给出的是直角三角形，且已知斜边AB的长度，首先我们可以联想到直角三角形特有的勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，也就是$BC^2+CA^2=AB^2$。要求$AB^2+BC^2+CA^2$的和，我们可以把$BC^2+CA^2$整体替换成$AB^2$，将原式转化为仅含$AB^2$的式子，再代入AB=2的条件就能算出结果。
【解析】
解：
∵$△ ABC$是直角三角形，AB为斜边
∴根据勾股定理可得：$BC^2 + CA^2 = AB^2$
∴$AB^2 + BC^2 + CA^2 = AB^2 + (BC^2 + CA^2) = AB^2 + AB^2 = 2AB^2$
又
∵$AB=2$
∴原式$=2×2^2=2×4=8$
【答案】
8
【知识点】
勾股定理，整体代入求值
【点评】
本题是基础类计算题，核心考查勾股定理的直接应用，解题关键是利用勾股定理对所求式子进行变形转化，通过整体代入的思路简化计算，避免单独求解两条直角边的长度，降低计算量。
【难度系数】
0.8
6.如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，设其面积分别为S₁，S₂，S₃。若S₂=16，S₃=9，则AB的长为
5
。答案
6.5
解析
【分析】
首先观察图形可知△ABC为直角三角形，∠C是直角，向外作的三个正方形的面积分别等于直角三角形对应三边的平方。解题时先将已知的S₂、S₃转化为对应直角边的平方，再结合勾股定理求出斜边AB的平方，最后计算算术平方根即可得到AB的长度。
【解析】
解：
∵正方形的面积等于边长的平方，
∴$S_2=AC^2=16$，$S_3=BC^2=9$，$S_1=AB^2$。
∵△ABC是直角三角形，且∠C=90°，根据勾股定理可得：
$AB^2=AC^2+BC^2$
代入数值计算：
$AB^2=16+9=25$
又
∵AB为线段长度，是正数，
∴$AB=\sqrt{25}=5$
【答案】
5
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，将正方形面积与直角三角形三边关系结合考查，解题核心是建立正方形面积和直角三角形边长平方的对应关系，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知△ABC为直角三角形，∠C是直角，向外作的三个正方形的面积分别等于直角三角形对应三边的平方。解题时先将已知的S₂、S₃转化为对应直角边的平方，再结合勾股定理求出斜边AB的平方，最后计算算术平方根即可得到AB的长度。
【解析】
解：
∵正方形的面积等于边长的平方，
∴$S_2=AC^2=16$，$S_3=BC^2=9$，$S_1=AB^2$。
∵△ABC是直角三角形，且∠C=90°，根据勾股定理可得：
$AB^2=AC^2+BC^2$
代入数值计算：
$AB^2=16+9=25$
又
∵AB为线段长度，是正数，
∴$AB=\sqrt{25}=5$
【答案】
5
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，将正方形面积与直角三角形三边关系结合考查，解题核心是建立正方形面积和直角三角形边长平方的对应关系，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
7. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B = 90°$，$AB = 2$，$BC= 4$，则正方形$ADEC$ 的面积是
20
。答案
7.20
解析
【分析】
要求正方形ADEC的面积，首先需确定其边长，由图可知正方形的边长为Rt△ABC的斜边AC。正方形面积等于边长的平方，即等于$AC^2$，因此只需计算$AC^2$即可。已知△ABC是直角三角形，∠B=90°，两条直角边AB、BC的长度已知，可直接用勾股定理求出$AC^2$，得到正方形的面积。
【解析】
在Rt△ABC中，∠B=90°，根据勾股定理：
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
将AB=2，BC=4代入上式，得：
$AC^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$
因为正方形ADEC的边长为AC，所以正方形ADEC的面积为$AC^2=20$。
【答案】
20
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，解题的核心是找到正方形边长和直角三角形斜边的对应关系，可直接利用斜边平方得到正方形面积，无需计算斜边的具体长度，简化了计算过程。
【难度系数】
0.8
要求正方形ADEC的面积，首先需确定其边长，由图可知正方形的边长为Rt△ABC的斜边AC。正方形面积等于边长的平方，即等于$AC^2$，因此只需计算$AC^2$即可。已知△ABC是直角三角形，∠B=90°，两条直角边AB、BC的长度已知，可直接用勾股定理求出$AC^2$，得到正方形的面积。
【解析】
在Rt△ABC中，∠B=90°，根据勾股定理：
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
将AB=2，BC=4代入上式，得：
$AC^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$
因为正方形ADEC的边长为AC，所以正方形ADEC的面积为$AC^2=20$。
【答案】
20
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，解题的核心是找到正方形边长和直角三角形斜边的对应关系，可直接利用斜边平方得到正方形面积，无需计算斜边的具体长度，简化了计算过程。
【难度系数】
0.8
8.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,AD是底边BC上的高,AB=5 cm,BC=6 cm。求：
(1)AD的长；
(2)△ABC的面积。
(1)AD的长；
(2)△ABC的面积。
答案
8. 解:(1)因为 AD 是等腰$△ABC$ 底边 BC 上的高，
$BC=6\ \mathrm{cm}$，
所以$∠ADB=90°,BD=CD=3\ \mathrm{cm}$。
在 $\mathrm{Rt}△ADB$ 中，
根据勾股定理得 $AD^2=AB^2-BD^2=5^2-3^2=4^2$，
所以 $AD=4\ \mathrm{cm}$。
(2)$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}×6×4=12(\mathrm{cm}^2)$。
$BC=6\ \mathrm{cm}$，
所以$∠ADB=90°,BD=CD=3\ \mathrm{cm}$。
在 $\mathrm{Rt}△ADB$ 中，
根据勾股定理得 $AD^2=AB^2-BD^2=5^2-3^2=4^2$，
所以 $AD=4\ \mathrm{cm}$。
(2)$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}×6×4=12(\mathrm{cm}^2)$。
解析
【分析】
解题思路如下：
(1)求AD的长时，首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，底边上的高同时是底边上的中线，可先求出BD的长度；此时△ADB是直角三角形，已知斜边AB和直角边BD的长度，代入勾股定理即可求出直角边AD的长度。
(2)求△ABC的面积时，已知底边BC的长度，第一问已经求出底边上的高AD的长度，直接代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
(1) 因为AD是等腰$△ ABC$底边BC上的高，$BC=6\ \mathrm{cm}$，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得$∠ ADB=90°$，$BD=CD=\frac{1}{2}BC=3\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，根据勾股定理得：
$AD^2=AB^2-BD^2=5^2-3^2=25-9=16=4^2$，
边长为正数，因此$AD=4\ \mathrm{cm}$。
(2) 根据三角形面积公式，可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}×6×4=12(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) $AD=4\ \mathrm{cm}$
(2) $△ ABC$的面积为$12\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是等腰三角形与勾股定理结合的基础题型，解题核心是熟练运用等腰三角形三线合一的性质得到直角三角形的边长条件，再结合勾股定理和面积公式求解，掌握基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.85
解题思路如下：
(1)求AD的长时，首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，底边上的高同时是底边上的中线，可先求出BD的长度；此时△ADB是直角三角形，已知斜边AB和直角边BD的长度，代入勾股定理即可求出直角边AD的长度。
(2)求△ABC的面积时，已知底边BC的长度，第一问已经求出底边上的高AD的长度，直接代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
(1) 因为AD是等腰$△ ABC$底边BC上的高，$BC=6\ \mathrm{cm}$，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得$∠ ADB=90°$，$BD=CD=\frac{1}{2}BC=3\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，根据勾股定理得：
$AD^2=AB^2-BD^2=5^2-3^2=25-9=16=4^2$，
边长为正数，因此$AD=4\ \mathrm{cm}$。
(2) 根据三角形面积公式，可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}×6×4=12(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) $AD=4\ \mathrm{cm}$
(2) $△ ABC$的面积为$12\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是等腰三角形与勾股定理结合的基础题型，解题核心是熟练运用等腰三角形三线合一的性质得到直角三角形的边长条件，再结合勾股定理和面积公式求解，掌握基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.85
