9.如图，Rt△ABC的直角边长分别为6,8,分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积。

9. 解:在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中,根据勾股定理得
$AB^2=AC^2+BC^2=6^2+8^2$，
解得 $AB=10$。
以 AC 为直径的半圆的面积为
$\frac{1}{2}×π×(6÷2)^2=\frac{9}{2}π=4.5π$，
以 BC 为直径的半圆的面积为
$\frac{1}{2}×π×(8÷2)^2=8π$，
以 AB 为直径的半圆的面积为
$\frac{1}{2}×π×(10÷2)^2=12.5π$，
三角形 ABC 的面积为$\frac{1}{2}×6×8=24$，
故阴影部分的面积为 $24+4.5π+8π-12.5π=24$。

【分析】
要求阴影部分的不规则图形面积，可采用割补法转化为规则图形的面积和差计算：观察图形可知，阴影部分面积等于直角三角形面积加上两个以直角边为直径的小半圆面积，再减去以斜边为直径的大半圆面积。解题时先通过勾股定理求出斜边AB的长度，再分别计算各规则图形的面积，最后代入和差公式计算即可，计算中π相关项会相互抵消，可简化运算。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100$，解得$AB=10$。
分别计算各规则图形面积：
1. 以AC为直径的半圆面积：$\frac{1}{2}×π×(6÷2)^2=4.5π$
2. 以BC为直径的半圆面积：$\frac{1}{2}×π×(8÷2)^2=8π$
3. 以AB为直径的半圆面积：$\frac{1}{2}×π×(10÷2)^2=12.5π$
4. $\mathrm{Rt}△ABC$的面积：$\frac{1}{2}×6×8=24$
阴影部分面积为：$24+4.5π+8π-12.5π=24$
【答案】
24
【知识点】
勾股定理；半圆面积计算；割补法求面积
【点评】
本题是不规则阴影面积计算的经典题型，核心是将未知的阴影面积转化为已知规则图形的面积和差，结合勾股定理可发现两个小半圆面积之和等于大半圆面积，直接抵消π类项就能快速得出结果，无需复杂的图形分割。
【难度系数】
0.7

10.如图,将长为8 cm 的橡皮筋放置在x轴上,固定两端A和B,然后把中点C向上拉升3 cm至D点,则橡皮筋被拉长了多少厘米?

课后反思

10. 解:由题意知 $DC=3\ \mathrm{cm}$。
因为 $AB=8\ \mathrm{cm}$,点 C 是 AB 的中点，
所以 $AC=4\ \mathrm{cm}$。
在 $\mathrm{Rt}△ACD$ 中,根据勾股定理得
$AD^2=AC^2+DC^2=4^2+3^2=5^2$，
所以 $AD=5\ \mathrm{cm}$。
同理,$BD=5\ \mathrm{cm}$。
所以 $AD+DB-AB=5\ \mathrm{cm}+5\ \mathrm{cm}-8\ \mathrm{cm}=2\ \mathrm{cm}$，
故橡皮筋被拉长了 $2\ \mathrm{cm}$。

【分析】要求橡皮筋被拉长的长度，本质是求拉升后橡皮筋的总长度与原长度的差值。原橡皮筋长度AB为8cm，拉升后总长度为AD与BD的和，因此只需算出AD、BD的长度即可解题。首先根据AB的长度和C是AB中点，可求出AC的长度；由于C是垂直向上拉升到D点，因此△ACD是直角三角形，可利用勾股定理求出AD的长度，同理BD与AD长度相等，最后计算AD+BD减AB的差值，就是拉长的长度。
【解析】
解：由题意得 $DC ⊥ AB$，$DC=3\ \mathrm{cm}$。
因为 $AB=8\ \mathrm{cm}$，点C是AB的中点，
所以 $AC=BC=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$。
在 $\mathrm{Rt}△ACD$ 中，根据勾股定理：
$AD^2=AC^2+DC^2=4^2+3^2=25$，
因为边长为正数，所以 $AD=5\ \mathrm{cm}$。
同理可得 $BD=5\ \mathrm{cm}$。
则橡皮筋被拉长的长度为：$AD+BD-AB=5+5-8=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
2 cm
【知识点】
线段中点的定义，勾股定理的应用
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的基础应用题，解题关键是结合题意识别出直角三角形，利用线段中点的性质得到直角边的长度，再用勾股定理求出斜边长度，最后计算差值即可，注意不要混淆拉升后总长度和拉长的长度。
【难度系数】
0.8