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例2 已知A,B两地相距100 km,甲、乙两人骑车同时分别从A,B两地出发相向而行,假设他们都保持匀速行驶。如图,直线$l_1,l_2$分别表示甲、乙两人到A地的距离s(单位:km)与骑行时间t(单位:h)之间的关系。
根据图象提供的信息解答下列问题:
(1)甲、乙两人的速度分别是多少?
(2)分别求出甲、乙两人到A地的距离s(单位:km)与骑行时间t(单位:h)之间的表达式。
(3)经过多长时间两人相遇?
[点拨] (1)利用图象上点的坐标即可求出甲、乙的速度。
(2)利用待定系数法即可求出直线$l_1,l_2$的表达式。
(3)利用两函数值相等即可求出相遇的时间。
本题考查一次函数的应用,解决本题的关键是利用待定系数法求一次函数的表达式,并注意利用数形结合思想解决问题。
[解] (1)甲的速度为$30÷2=15(\mathrm{km/h})$,
乙的速度为$(100-60)÷2=20(\mathrm{km/h})$。
(2)设$l_1$的表达式为$s_1=kt$,
则$30=k×2$,
解得$k=15$,故$s_1=15t$。
设$l_2$的表达式为$s_2=at+b$,
将$(0,100),(2,60)$代入,得
$\begin{cases}b=100,\\2a+b=60。\end{cases}$ 解得$a=-20,b=100$,
故$l_2$的表达式为$s_2=-20t+100$。
(3)由$15t=-20t+100$,得$t=\dfrac{20}{7}$,
故经过$\dfrac{20}{7}\ \mathrm{h}$两人相遇。
根据图象提供的信息解答下列问题:
(1)甲、乙两人的速度分别是多少?
(2)分别求出甲、乙两人到A地的距离s(单位:km)与骑行时间t(单位:h)之间的表达式。
(3)经过多长时间两人相遇?
[点拨] (1)利用图象上点的坐标即可求出甲、乙的速度。
(2)利用待定系数法即可求出直线$l_1,l_2$的表达式。
(3)利用两函数值相等即可求出相遇的时间。
本题考查一次函数的应用,解决本题的关键是利用待定系数法求一次函数的表达式,并注意利用数形结合思想解决问题。
[解] (1)甲的速度为$30÷2=15(\mathrm{km/h})$,
乙的速度为$(100-60)÷2=20(\mathrm{km/h})$。
(2)设$l_1$的表达式为$s_1=kt$,
则$30=k×2$,
解得$k=15$,故$s_1=15t$。
设$l_2$的表达式为$s_2=at+b$,
将$(0,100),(2,60)$代入,得
$\begin{cases}b=100,\\2a+b=60。\end{cases}$ 解得$a=-20,b=100$,
故$l_2$的表达式为$s_2=-20t+100$。
(3)由$15t=-20t+100$,得$t=\dfrac{20}{7}$,
故经过$\dfrac{20}{7}\ \mathrm{h}$两人相遇。
答案
解：
(1) 甲的速度为 $30÷2=15(\mathrm{km/h})$，
乙的速度为 $(100-60)÷2=20(\mathrm{km/h})$。
(2) 设直线$l_1$对应的表达式为$s_1=kt$，
把点$(2,30)$代入得 $30=2k$，
解得 $k=15$，
因此甲到A地的距离与骑行时间的表达式为 $s_1=15t$。
设直线$l_2$对应的表达式为$s_2=at+b$，
把点$(0,100)$、$(2,60)$代入得
$\begin{cases}b=100\\2a+b=60\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a=-20\\b=100\end{cases}$，
因此乙到A地的距离与骑行时间的表达式为 $s_2=-20t+100$。
(3) 两人相遇时到A地的距离相等，令$s_1=s_2$，得
$15t=-20t+100$，
解得 $t=\dfrac{20}{7}$。
答：经过$\dfrac{20}{7}\ \mathrm{h}$两人相遇。
(1) 甲的速度为 $30÷2=15(\mathrm{km/h})$，
乙的速度为 $(100-60)÷2=20(\mathrm{km/h})$。
(2) 设直线$l_1$对应的表达式为$s_1=kt$，
把点$(2,30)$代入得 $30=2k$，
解得 $k=15$，
因此甲到A地的距离与骑行时间的表达式为 $s_1=15t$。
设直线$l_2$对应的表达式为$s_2=at+b$，
把点$(0,100)$、$(2,60)$代入得
$\begin{cases}b=100\\2a+b=60\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a=-20\\b=100\end{cases}$，
因此乙到A地的距离与骑行时间的表达式为 $s_2=-20t+100$。
(3) 两人相遇时到A地的距离相等，令$s_1=s_2$，得
$15t=-20t+100$，
解得 $t=\dfrac{20}{7}$。
答：经过$\dfrac{20}{7}\ \mathrm{h}$两人相遇。
解析
【分析】
解题时可按问题逐步推导：(1)求速度依据公式“速度=路程÷时间”，从图象中提取甲、乙对应时间内行驶的路程即可计算；(2)求函数表达式时，直线$l_1$过原点，属于正比例函数，设为$s_1=kt$，代入图象上的点$(2,30)$即可求出$k$；直线$l_2$是一次函数，设为$s_2=at+b$，代入已知点$(0,100)$和$(2,60)$，解二元一次方程组即可求出$a$、$b$；(3)两人相遇时到A地的距离相等，即$s_1=s_2$，联立两个表达式解方程就能得到相遇时间。
【解析】
(1) 由图象可知，甲2小时骑行的路程为30km，因此甲的速度为 $30÷2=15(\mathrm{km/h})$；
乙从距离A地100km的B地出发，2小时后距离A地60km，说明2小时内乙骑行的路程为$100-60=40\mathrm{km}$，因此乙的速度为 $40÷2=20(\mathrm{km/h})$。
(2) 设直线$l_1$对应的表达式为$s_1=kt$（$k≠0$），
把点$(2,30)$代入得 $30=2k$，
解得 $k=15$，
因此甲到A地的距离与骑行时间的表达式为 $s_1=15t$。
设直线$l_2$对应的表达式为$s_2=at+b$（$a≠0$），
把点$(0,100)$、$(2,60)$代入得
$\begin{cases}b=100\\2a+b=60\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a=-20\\b=100\end{cases}$，
因此乙到A地的距离与骑行时间的表达式为 $s_2=-20t+100$。
(3) 两人相遇时到A地的距离相等，令$s_1=s_2$，得
$15t=-20t+100$，
移项合并得$35t=100$，
解得 $t=\dfrac{20}{7}$。
【答案】
(1) 甲的速度为15km/h，乙的速度为20km/h；
(2) 甲：$s_1=15t$，乙：$s_2=-20t+100$；
(3) 经过$\dfrac{20}{7}\ \mathrm{h}$两人相遇。
【知识点】
速度的计算，待定系数法，一次函数应用
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，需要从图象中提取有效信息，核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，理解相遇时两个函数值相等的关系，能很好地锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
解题时可按问题逐步推导：(1)求速度依据公式“速度=路程÷时间”，从图象中提取甲、乙对应时间内行驶的路程即可计算；(2)求函数表达式时，直线$l_1$过原点，属于正比例函数，设为$s_1=kt$，代入图象上的点$(2,30)$即可求出$k$；直线$l_2$是一次函数，设为$s_2=at+b$，代入已知点$(0,100)$和$(2,60)$，解二元一次方程组即可求出$a$、$b$；(3)两人相遇时到A地的距离相等，即$s_1=s_2$，联立两个表达式解方程就能得到相遇时间。
【解析】
(1) 由图象可知，甲2小时骑行的路程为30km，因此甲的速度为 $30÷2=15(\mathrm{km/h})$；
乙从距离A地100km的B地出发，2小时后距离A地60km，说明2小时内乙骑行的路程为$100-60=40\mathrm{km}$，因此乙的速度为 $40÷2=20(\mathrm{km/h})$。
(2) 设直线$l_1$对应的表达式为$s_1=kt$（$k≠0$），
把点$(2,30)$代入得 $30=2k$，
解得 $k=15$，
因此甲到A地的距离与骑行时间的表达式为 $s_1=15t$。
设直线$l_2$对应的表达式为$s_2=at+b$（$a≠0$），
把点$(0,100)$、$(2,60)$代入得
$\begin{cases}b=100\\2a+b=60\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a=-20\\b=100\end{cases}$，
因此乙到A地的距离与骑行时间的表达式为 $s_2=-20t+100$。
(3) 两人相遇时到A地的距离相等，令$s_1=s_2$，得
$15t=-20t+100$，
移项合并得$35t=100$，
解得 $t=\dfrac{20}{7}$。
【答案】
(1) 甲的速度为15km/h，乙的速度为20km/h；
(2) 甲：$s_1=15t$，乙：$s_2=-20t+100$；
(3) 经过$\dfrac{20}{7}\ \mathrm{h}$两人相遇。
【知识点】
速度的计算，待定系数法，一次函数应用
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，需要从图象中提取有效信息，核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，理解相遇时两个函数值相等的关系，能很好地锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
| 变式训练2 | 如图，一次函数的图象过点A(0,3)，与正比例函数y=2x的图象相交于点B(1,m)，求m的值以及一次函数的表达式。
答案
把$x=1$代入$y=2x$，
解得$y=2$，即$m=2$，
故点 B 的坐标是$(1,2)$。
设一次函数的表达式为$y=kx+b$。
因为一次函数的图象经过$(1,2),(0,3)$两点，
所以$\begin{cases}b=3,\\k+b=2。\end{cases}$
解得$k=-1,b=3$。
所以一次函数的表达式是$y=-x+3$。
解得$y=2$，即$m=2$，
故点 B 的坐标是$(1,2)$。
设一次函数的表达式为$y=kx+b$。
因为一次函数的图象经过$(1,2),(0,3)$两点，
所以$\begin{cases}b=3,\\k+b=2。\end{cases}$
解得$k=-1,b=3$。
所以一次函数的表达式是$y=-x+3$。
解析
【分析】
解题分两步进行：第一步求m的值，点B在正比例函数y=2x的图象上，根据函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式，将点B的横坐标代入正比例函数，即可求出m的值，得到点B的完整坐标。第二步求一次函数的表达式，一次函数的一般形式为y=kx+b（k≠0），已知该一次函数过A(0,3)和点B两个点，将两点坐标代入一般式得到关于k、b的方程组，解方程组求出参数值即可得到一次函数表达式。
【解析】
1. 求m的值：
∵ 点B(1,m)在正比例函数$y=2x$的图象上，
∴ 将$x=1$代入$y=2x$，得$m=2×1=2$，
∴ 点B的坐标为$(1,2)$。
2. 求一次函数的表达式：
设该一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），
∵ 一次函数图象经过点$A(0,3)$和点$B(1,2)$，
∴ 将两点坐标代入表达式，得：
$\begin{cases} b=3 \\ k+b=2 \end{cases}$
把$b=3$代入$k+b=2$，解得$k=-1$，
∴ 该一次函数的表达式为$y=-x+3$。
【答案】
$m=2$，一次函数的表达式为$y=-x+3$
【知识点】
1. 正比例函数点坐标特征
2. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数章节的基础常考题型，核心考察正比例函数的性质和待定系数法的应用，熟练掌握待定系数法的求解步骤是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.85
解题分两步进行：第一步求m的值，点B在正比例函数y=2x的图象上，根据函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式，将点B的横坐标代入正比例函数，即可求出m的值，得到点B的完整坐标。第二步求一次函数的表达式，一次函数的一般形式为y=kx+b（k≠0），已知该一次函数过A(0,3)和点B两个点，将两点坐标代入一般式得到关于k、b的方程组，解方程组求出参数值即可得到一次函数表达式。
【解析】
1. 求m的值：
∵ 点B(1,m)在正比例函数$y=2x$的图象上，
∴ 将$x=1$代入$y=2x$，得$m=2×1=2$，
∴ 点B的坐标为$(1,2)$。
2. 求一次函数的表达式：
设该一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），
∵ 一次函数图象经过点$A(0,3)$和点$B(1,2)$，
∴ 将两点坐标代入表达式，得：
$\begin{cases} b=3 \\ k+b=2 \end{cases}$
把$b=3$代入$k+b=2$，解得$k=-1$，
∴ 该一次函数的表达式为$y=-x+3$。
【答案】
$m=2$，一次函数的表达式为$y=-x+3$
【知识点】
1. 正比例函数点坐标特征
2. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数章节的基础常考题型，核心考察正比例函数的性质和待定系数法的应用，熟练掌握待定系数法的求解步骤是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.85
1.已知一个正比例函数的图象过点$(2,-1)$，则它的表达式为(
A.$y=-2x$
B.$y=2x$
C.$y=-\dfrac{1}{2}x$
D.$y=\dfrac{1}{2}x$
C
)A.$y=-2x$
B.$y=2x$
C.$y=-\dfrac{1}{2}x$
D.$y=\dfrac{1}{2}x$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先回忆正比例函数的通用表达形式，所有正比例函数都可以写成$y=kx$（$k$是不为0的常数）的形式，要确定这个函数的表达式，只需要求出未知系数$k$的值即可。已知函数图象经过点$(2,-1)$，意思是当$x=2$时，对应的函数值$y=-1$，把这组$x$、$y$的值代入一般式中，就可以得到关于$k$的一元一次方程，解方程求出$k$后就能得到函数的具体表达式，再匹配选项即可。
【解析】
解：设该正比例函数的表达式为$y=kx\ (k≠0)$，
因为函数图象过点$(2,-1)$，将$x=2$，$y=-1$代入表达式得：
$-1=2k$，
解得$k=-\dfrac{1}{2}$，
因此该正比例函数的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数定义；待定系数法求解析式
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用待定系数法求解正比例函数的表达式，熟练掌握正比例函数的一般形式是解题的前提。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆正比例函数的通用表达形式，所有正比例函数都可以写成$y=kx$（$k$是不为0的常数）的形式，要确定这个函数的表达式，只需要求出未知系数$k$的值即可。已知函数图象经过点$(2,-1)$，意思是当$x=2$时，对应的函数值$y=-1$，把这组$x$、$y$的值代入一般式中，就可以得到关于$k$的一元一次方程，解方程求出$k$后就能得到函数的具体表达式，再匹配选项即可。
【解析】
解：设该正比例函数的表达式为$y=kx\ (k≠0)$，
因为函数图象过点$(2,-1)$，将$x=2$，$y=-1$代入表达式得：
$-1=2k$，
解得$k=-\dfrac{1}{2}$，
因此该正比例函数的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数定义；待定系数法求解析式
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用待定系数法求解正比例函数的表达式，熟练掌握正比例函数的一般形式是解题的前提。
【难度系数】
0.8
2.已知$y-3$与$x$成正比例，且$x=2$时，$y=7$，则$y$与$x$的函数关系式为（
A.$y=2x+3$
B.$y=3x-3$
C.$y-3=2x+3$
D.$y=2x-3$
A
）A.$y=2x+3$
B.$y=3x-3$
C.$y-3=2x+3$
D.$y=2x-3$
答案
2.A
解析
【分析】
遇到两个量成正比例的问题，首先根据正比例的定义设出对应关系式，再将已知的x、y取值代入关系式求出未知系数，最后整理得到y与x的函数关系式，匹配选项即可。具体思考步骤：①根据“y-3与x成正比例”，设y-3=kx（k为常数，k≠0）；②把x=2，y=7代入所设式子求出k的值；③将k代回式子整理为y关于x的表达式，对应选项得到答案。
【解析】
解：
∵ y-3与x成正比例
∴ 可设$ y - 3 = kx $（$ k $为常数，且$ k ≠ 0 $）
将$ x=2 $，$ y=7 $代入上式，得：
$ 7 - 3 = 2k $
即$ 2k = 4 $，解得$ k=2 $
将$ k=2 $代入$ y - 3 = kx $，得：
$ y - 3 = 2x $
整理得$ y = 2x + 3 $
因此答案选A
【答案】
A
【知识点】
1. 正比例的意义
2. 待定系数法求函数关系式
【点评】
本题重点考查对正比例关系的理解以及待定系数法的基本应用，解题的核心是正确根据正比例关系设出表达式，再代入已知条件求解系数，属于基础类题型，掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.8
遇到两个量成正比例的问题，首先根据正比例的定义设出对应关系式，再将已知的x、y取值代入关系式求出未知系数，最后整理得到y与x的函数关系式，匹配选项即可。具体思考步骤：①根据“y-3与x成正比例”，设y-3=kx（k为常数，k≠0）；②把x=2，y=7代入所设式子求出k的值；③将k代回式子整理为y关于x的表达式，对应选项得到答案。
【解析】
解：
∵ y-3与x成正比例
∴ 可设$ y - 3 = kx $（$ k $为常数，且$ k ≠ 0 $）
将$ x=2 $，$ y=7 $代入上式，得：
$ 7 - 3 = 2k $
即$ 2k = 4 $，解得$ k=2 $
将$ k=2 $代入$ y - 3 = kx $，得：
$ y - 3 = 2x $
整理得$ y = 2x + 3 $
因此答案选A
【答案】
A
【知识点】
1. 正比例的意义
2. 待定系数法求函数关系式
【点评】
本题重点考查对正比例关系的理解以及待定系数法的基本应用，解题的核心是正确根据正比例关系设出表达式，再代入已知条件求解系数，属于基础类题型，掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.8
3.已知一次函数$y=kx+b$在平面直角坐标系中的图象如图所示，则(
A.$k=-2,b=-1$
B.$k=-\dfrac{1}{2},b=-1$
C.$k=-1,b=-2$
D.$k=-1,b=-\dfrac{1}{2}$
B
)A.$k=-2,b=-1$
B.$k=-\dfrac{1}{2},b=-1$
C.$k=-1,b=-2$
D.$k=-1,b=-\dfrac{1}{2}$
答案
3.B
解析
【分析】
要确定一次函数$y=kx+b$的系数$k$和$b$，首先观察图像提取函数经过的点的坐标：该一次函数与$x$轴交于点$(-2,0)$，与$y$轴交于点$(0,-1)$。接下来使用待定系数法，把两个点的坐标分别代入解析式，得到关于$k$、$b$的方程，依次求解即可得到系数的值，再匹配对应选项。
【解析】
解：由图像可知，一次函数$y=kx+b$经过点$(-2,0)$和$(0,-1)$。
① 把点$(0,-1)$代入$y=kx+b$，得：
$0× k + b = -1$，解得$b=-1$；
② 把$b=-1$和点$(-2,0)$代入$y=kx+b$，得：
$-2k -1 = 0$
移项得$-2k=1$，解得$k=-\dfrac{1}{2}$。
综上，$k=-\dfrac{1}{2}$，$b=-1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的图像性质
【点评】
本题属于一次函数基础题，解题关键是从图像中读取函数与坐标轴的交点坐标，再结合待定系数法求解未知系数，掌握一次函数与坐标轴交点的特征可简化计算步骤。
【难度系数】
0.8
要确定一次函数$y=kx+b$的系数$k$和$b$，首先观察图像提取函数经过的点的坐标：该一次函数与$x$轴交于点$(-2,0)$，与$y$轴交于点$(0,-1)$。接下来使用待定系数法，把两个点的坐标分别代入解析式，得到关于$k$、$b$的方程，依次求解即可得到系数的值，再匹配对应选项。
【解析】
解：由图像可知，一次函数$y=kx+b$经过点$(-2,0)$和$(0,-1)$。
① 把点$(0,-1)$代入$y=kx+b$，得：
$0× k + b = -1$，解得$b=-1$；
② 把$b=-1$和点$(-2,0)$代入$y=kx+b$，得：
$-2k -1 = 0$
移项得$-2k=1$，解得$k=-\dfrac{1}{2}$。
综上，$k=-\dfrac{1}{2}$，$b=-1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的图像性质
【点评】
本题属于一次函数基础题，解题关键是从图像中读取函数与坐标轴的交点坐标，再结合待定系数法求解未知系数，掌握一次函数与坐标轴交点的特征可简化计算步骤。
【难度系数】
0.8
