1.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，添加一个条件：，可使它成为正方形。

1. ∠BAD=90°(答案不唯一)

【分析】
首先分析已知条件：题目给出四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可先判断出四边形ABCD已经是菱形。接下来回忆正方形的判定规则：有一个角是直角的菱形是正方形、对角线相等的菱形是正方形，因此只需添加符合这两类判定的任意一个条件即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
根据“有一个内角为直角的菱形是正方形”，可添加条件∠BAD=90°；
也可根据“对角线相等的菱形是正方形”添加AC=BD等条件，答案不唯一。
【答案】
∠BAD=90°(答案不唯一)
【知识点】
菱形的判定；正方形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，解题关键是先根据已知条件明确现有图形的类别，再结合对应判定定理补充条件，开放性较强，只要满足判定逻辑均正确。
【难度系数】
0.9

2. 下列说法正确的是 （）

A.有一个角是直角的平行四边形是正方形
B.对角线互相垂直的矩形是正方形
C.有一组邻边相等的平行四边形是正方形
D.各边都相等的四边形是正方形

2. B

【分析】
本题考查正方形的判定，解题时需明确正方形是同时具备矩形、菱形全部特征的特殊平行四边形，判定正方形需要同时满足矩形和菱形的判定条件。解题思路是：回忆平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，逐一分析每个选项，判断其描述对应的是哪种特殊四边形，是否符合正方形的判定要求即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：有一个角是直角的平行四边形是矩形，仅满足矩形的判定，缺少“邻边相等”这一菱形的判定条件，不一定是正方形，故A错误；
B选项：矩形本身满足“四个角为直角、对角线相等”的矩形特征，若对角线互相垂直，就同时满足了菱形的判定条件，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，故B正确；
C选项：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，仅满足菱形的判定，缺少“有一个角为直角”这一矩形的判定条件，不是正方形，故C错误；
D选项：各边都相等的四边形是菱形，缺少“四个角为直角”的条件，不是正方形，故D错误。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的判定、矩形的判定、菱形的判定
【点评】
本题属于基础概念题，核心是区分不同特殊四边形的判定条件，需要理清平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的从属关系，熟记各图形的判定定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8

3. 如图，在$□ ABCD$中，$AC=BD$，请添加一个条件：，可得，出该四边形是正方形。

3. AB=AD(答案不唯一)

【分析】
首先梳理已知条件：①四边形ABCD是平行四边形；②对角线AC=BD。第一步先根据矩形判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，可确定当前四边形已经是矩形。接下来回忆正方形的判定规则：既是矩形又是菱形的四边形为正方形，因此只需要补充一个能让该矩形符合菱形判定的条件即可，比如添加一组邻边相等（如AB=AD）、对角线互相垂直（如AC⊥BD）都可满足要求。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，
根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可得ABCD是矩形。
若添加条件AB=AD，根据“一组邻边相等的矩形是正方形”，可判定四边形ABCD是正方形。
（注：也可添加AC⊥BD等其他合理条件，均符合要求）
【答案】
AB=AD（答案不唯一）
【知识点】
矩形的判定、正方形的判定、平行四边形的性质
【点评】
本题是开放型基础题，考查特殊平行四边形的判定逻辑，解题时需先根据已知条件定位当前四边形的类型，再结合正方形的判定要求补充缺失的条件即可，对学生的定理掌握熟练度有一定要求。
【难度系数】
0.8

4. 如图，D是$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边BC的中点，$DE⊥ AC$，$DF⊥ AB$，垂足分别是E，F，且$BF=CE$. 求证：四边形AEDF为正方形.

4. 证明:$\because DE⊥ AC,DF⊥ AB,\therefore ∠ AFD=∠ AED=∠ A=90°. \therefore$四边形AEDF是矩形.$\because D$是$BC$的中点,$\therefore BD=CD$. 在$\mathrm{Rt}△ BDF$和$\mathrm{Rt}△ CDE$中,$\begin{cases} BD=CD,\\ BF=CE, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ BDF≌\mathrm{Rt}△ CDE(\mathrm{HL}).\therefore DF=DE. \therefore$矩形AEDF为正方形.

【分析】
要证明四边形AEDF为正方形，可按“先证矩形，再证邻边相等”的思路推导：首先由Rt△ABC的∠A为直角，结合DE⊥AC、DF⊥AB的条件，可推出四边形AEDF有三个内角为直角，先判定它是矩形；再利用D是BC中点得到BD=CD，结合已知BF=CE，通过HL定理证明Rt△BDF和Rt△CDE全等，得到邻边DF=DE，即可证明矩形AEDF是正方形。
【解析】
证明:$\because DE⊥ AC,DF⊥ AB,\therefore ∠ AFD=∠ AED=∠ A=90°. \therefore$四边形AEDF是矩形.
$\because D$是$BC$的中点,$\therefore BD=CD$.
在$\mathrm{Rt}△ BDF$和$\mathrm{Rt}△ CDE$中,
$\begin{cases} BD=CD,\\ BF=CE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDF≌\mathrm{Rt}△ CDE(\mathrm{HL}).$
$\therefore DF=DE.$
$\therefore$矩形AEDF为正方形.
【答案】
证明:$\because DE⊥ AC,DF⊥ AB,\therefore ∠ AFD=∠ AED=∠ A=90°. \therefore$四边形AEDF是矩形.$\because D$是$BC$的中点,$\therefore BD=CD$. 在$\mathrm{Rt}△ BDF$和$\mathrm{Rt}△ CDE$中,$\begin{cases} BD=CD,\\ BF=CE, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ BDF≌\mathrm{Rt}△ CDE(\mathrm{HL}).\therefore DF=DE. \therefore$矩形AEDF为正方形.
【知识点】
矩形的判定；直角三角形全等判定；正方形的判定
【点评】
本题是特殊平行四边形判定的常规题型，解题关键是理清正方形的判定逻辑，先通过直角条件判定矩形，再借助三角形全等得到邻边相等的条件，熟练掌握特殊四边形的判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件中的一个，能使菱形ABCD成为正方形的是 （）

A.$∠ ABC=90°$
B.$AC=AD$
C.$BD=AB$
D.$OD=AC$

5. A

【分析】首先明确菱形和正方形的关系：正方形是特殊的菱形，要使菱形成为正方形，只需满足“有一个内角为直角”或“对角线相等”其中一个条件即可。解题时先回忆菱形的性质，再逐个判断选项是否满足上述两个判定条件，用排除法选出正确答案。
【解析】解：菱形的性质为四条边相等，对角线互相垂直平分，要使菱形ABCD成为正方形，需满足有一个内角是直角或对角线相等。
A选项：若∠ABC=90°，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，可判定菱形ABCD是正方形，符合要求；
B选项：若AC=AD，由菱形性质得AD=CD，因此AC=AD=CD，△ACD是等边三角形，∠ADC=60°，无直角也不满足对角线相等，不能判定为正方形，不符合；
C选项：若BD=AB，由菱形性质得AB=AD，因此BD=AB=AD，△ABD是等边三角形，∠BAD=60°，不能判定为正方形，不符合；
D选项：若OD=AC，由菱形性质得OD=½BD，因此BD=2AC，仅说明对角线的倍数关系，不满足对角线相等，不能判定为正方形，不符合。
【答案】A
【知识点】菱形的性质；正方形的判定
【点评】本题考查菱形与正方形的判定联系，解题的关键是熟练掌握菱形判定为正方形的两个核心条件，结合性质对选项逐一验证即可快速得出结论。
【难度系数】0.8

6.如图，把一个矩形纸片对折两次，然后剪下一个角.为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的锐角的度数应为.

6. $45°$

【分析】
解题时首先明确折叠操作的性质：矩形对折两次后，两条折痕互相垂直，沿直线剪下一个角，展开后得到的四边形四条边相等，属于菱形。要使菱形变为正方形，根据正方形的判定定理，需要菱形有一个内角为90°。由于对折两次的缘故，展开后菱形的内角等于剪刀与折痕所成锐角的2倍，据此即可计算出该锐角的度数。
【解析】
1. 矩形对折两次后剪下一个角，展开得到的四边形四条边长度相等，因此该四边形是菱形；
2. 根据正方形的判定条件：有一个内角是直角的菱形是正方形，因此需要该菱形的一个内角为90°；
3. 设剪刀与折痕所成的锐角为α，由于折叠两次，菱形的上述内角大小为2α，列等式：
$2α=90°$
解得$α=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
正方形的判定；折叠的性质；菱形的判定
【点评】
本题结合动手操作场景考查特殊四边形的判定，需要将折叠的实际操作转化为几何性质，理清剪得的图形首先为菱形，再结合正方形的判定条件求解，能有效锻炼空间想象能力和几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

7. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA. 求证:四边形AECF是正方形.

7. 证明:$\because$四边形ABCD是菱形,$\therefore AC⊥ BD,OA=OC,OB=OD. \because BE=DF,\therefore OB-BE=OD-DF$,即$OE=OF. \therefore$四边形AECF为平行四边形. 又$\because AC⊥ BD,\therefore$平行四边形AECF是菱形.$\because OE=OA=OF,\therefore OE=OF=OA=OC$,即$EF=AC. \therefore$菱形AECF是正方形.

【分析】
要证明四边形AECF是正方形，可按照“先证平行四边形，再证菱形，最后证正方形”的递进思路推导：首先利用菱形ABCD的对角线性质，结合已知BE=DF推出四边形AECF的对角线互相平分，判定它是平行四边形；再利用菱形对角线互相垂直的性质，得到平行四边形AECF的对角线互相垂直，判定它是菱形；最后结合OE=OA的条件推出菱形的对角线相等，即可判定它是正方形。
【解析】
证明:$\because$四边形ABCD是菱形,$\therefore AC⊥ BD,OA=OC,OB=OD.$
$\because BE=DF,\therefore OB-BE=OD-DF$,即$OE=OF.$
$\therefore$四边形AECF为平行四边形.
又$\because AC⊥ BD,\therefore$平行四边形AECF是菱形.
$\because OE=OA=OF,\therefore OE=OF=OA=OC$,即$EF=AC.$
$\therefore$菱形AECF是正方形.
【答案】
证明:$\because$四边形ABCD是菱形,$\therefore AC⊥ BD,OA=OC,OB=OD. \because BE=DF,\therefore OB-BE=OD-DF$,即$OE=OF. \therefore$四边形AECF为平行四边形. 又$\because AC⊥ BD,\therefore$平行四边形AECF是菱形.$\because OE=OA=OF,\therefore OE=OF=OA=OC$,即$EF=AC. \therefore$菱形AECF是正方形.
【知识点】
菱形的性质、平行四边形的判定、正方形的判定
【点评】
本题属于特殊四边形判定的基础题型，解题关键是理清平行四边形、菱形、正方形之间的递进判定逻辑，结合已知图形的隐含性质逐步推导，难度不高。
【难度系数】
0.7

8.现有下列四个条件:①$∠ ABC=90°$;②$AB=BC$;③$AC=BD$;④$AC⊥ BD$.从中选择两个作为补充条件,使平行四边形$ABCD$成为正方形,下列四种情况,你认为错误的是()

A.①②
B.①③
C.②③
D.③④

8. B

【分析】
要解决这道题，首先需明确：正方形既是特殊的矩形（邻边相等/对角线垂直的矩形），也是特殊的菱形（有一个直角/对角线相等的菱形）。已知四边形ABCD是平行四边形，我们只需判断每个选项的两个补充条件，能否让平行四边形同时满足矩形和菱形的特征即可，最终选出无法判定为正方形的选项。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，逐个分析选项：
A. 补充①$∠ ABC=90°$，得平行四边形ABCD是矩形；再补充②$AB=BC$，邻边相等的矩形是正方形，可判定为正方形，不符合题意。
B. 补充①$∠ ABC=90°$，得平行四边形ABCD是矩形，矩形本身的对角线就相等，因此补充③$AC=BD$是矩形的固有性质，无法进一步判定为正方形，符合题意。
C. 补充②$AB=BC$，得平行四边形ABCD是菱形；再补充③$AC=BD$，对角线相等的菱形是正方形，可判定为正方形，不符合题意。
D. 补充③$AC=BD$，得平行四边形ABCD是矩形；再补充④$AC⊥ BD$，对角线垂直的矩形是正方形，可判定为正方形，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
正方形的判定、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质
【点评】
本题核心考查特殊平行四边形的转化逻辑，需熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的判定关联，区分各特殊四边形的特有性质，避免混淆共性与特性。
【难度系数】
0.7

9.如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别是边BM,CM的中点.当AB:AD=时,四边形MENF是正方形.

9. $1:2$

【分析】
要使四边形MENF是正方形，需先确定它的基础形状：首先根据中点条件，利用三角形中位线定理可证MENF是平行四边形，再结合矩形性质可证它是菱形；菱形要成为正方形，只需满足有一个内角是直角，据此反推矩形AB和AD的边长关系即可。
【解析】
1. 证明四边形MENF是平行四边形：
∵ E、N分别是BM、BC的中点，
∴ EN是△BCM的中位线，
∴ EN//CM，EN=$\frac{1}{2}$CM。
同理，F、N分别是CM、BC的中点，
∴ FN//BM，FN=$\frac{1}{2}$BM。
∴ 四边形MENF是平行四边形。
2. 证明平行四边形MENF是菱形：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB=CD，∠A=∠D=90°，
∵ M是AD中点，
∴ AM=DM，
∴ △ABM≌△DCM（SAS），
∴ BM=CM，
∴ EN=FN=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{1}{2}$CM，
∴ 平行四边形MENF是菱形。
3. 推导菱形MENF为正方形时的边长比：
要使菱形MENF是正方形，需∠BMC=90°，
∵ BM=CM，
∴ △BMC是等腰直角三角形，∠MBC=45°，
∵ ∠ABC=90°，
∴ ∠ABM=45°，
∴ △ABM是等腰直角三角形，AB=AM，
∵ M是AD中点，
∴ AM=$\frac{1}{2}$AD，
∴ AB=$\frac{1}{2}$AD，即AB:AD=1:2。
【答案】
$1:2$
【知识点】
正方形的判定；三角形中位线定理；矩形的性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的性质与判定，解题时可采用逆向思维，从正方形的判定条件出发逐步反推边长关系，有助于提升对特殊四边形特征的综合运用能力。
【难度系数】
0.6