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10.如图，分别在正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上截取相等的线段AE，BF，CG，DH，连接EF，FG，GH，HE得四边形EFGH.
(1)求证:四边形EFGH是正方形.
(2)连接EG，若AB=7，BE=3，则EG的长为
(1)求证:四边形EFGH是正方形.
(2)连接EG，若AB=7，BE=3，则EG的长为
$5\sqrt{2}$
.答案
10. 解:(1)证明:$\because$四边形ABCD是正方形,$\therefore AB=BC=CD=DA$,$∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=90°. \because AE=BF=CG=DH$,$\therefore AB-AE=BC-BF=CD-CG=DA-DH$,即$BE=CF=DG=AH$. 在$△ AEH$和$△ BFE$中,$\begin{cases} AE=BF,\\ ∠ A=∠ B,\\ AH=BE, \end{cases}$$\therefore △ AEH≌△ BFE(\mathrm{SAS}). \therefore HE=EF$,$∠ AEH=∠ BFE$. 同理可得,$HE=EF=FG=GH. \therefore$四边形EFGH是菱形. 在$△ BEF$中,$∠ BEF+∠ BFE=90°$,$\because ∠ AEH=∠ BFE$,$\therefore ∠ BEF+∠ AEH=90°. \therefore ∠ HEF=180°-(∠ BEF+∠ AEH)=90°. \therefore$菱形EFGH是正方形.(2)$5\sqrt{2}$
解析
【分析】
(1) 要证四边形EFGH是正方形，可先利用正方形ABCD的性质，结合已知的等长线段，通过SAS证明四个直角三角形全等，先得到四边形EFGH四边相等判定为菱形，再推导其一个内角为90°，即可判定菱形为正方形。
(2) 求EG的长度，可通过作垂线构造直角三角形，结合矩形的性质得到直角边的长度，再用勾股定理计算即可。
【解析】
(1) 证明：
$\because$ 四边形ABCD是正方形，
$\therefore AB=BC=CD=DA$，$∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=90°$，
$\because AE=BF=CG=DH$，
$\therefore AB-AE=BC-BF=CD-CG=DA-DH$，即$BE=CF=DG=AH$。
在$△ AEH$和$△ BFE$中：
$\begin{cases}AE=BF \\∠ A=∠ B \\AH=BE\end{cases}$
$\therefore △ AEH≌△ BFE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore HE=EF$，$∠ AEH=∠ BFE$。
同理可证$△ BFE≌△ CGF≌△ DHG$，
$\therefore HE=EF=FG=GH$，
$\therefore$ 四边形EFGH是菱形。
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$∠ BEF+∠ BFE=90°$，
$\because ∠ AEH=∠ BFE$，
$\therefore ∠ BEF+∠ AEH=90°$，
$\therefore ∠ HEF=180°-(∠ BEF+∠ AEH)=90°$，
$\therefore$ 菱形EFGH是正方形。
(2) 解：过E作$EM⊥ CD$于点M，
$\because$ 四边形ABCD是正方形，
$\therefore$ 四边形EBCM是矩形，
$\therefore EM=BC=AB=7$，$CM=BE=3$，
$\because CG=AE=AB-BE=7-3=4$，
$\therefore GM=CG-CM=4-3=1$，
在$\mathrm{Rt}△ EMG$中，由勾股定理得：
$EG=\sqrt{EM^2+GM^2}=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $5\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是特殊四边形的综合题，第一问是正方形判定的典型考法，需熟练掌握“先证菱形再证直角”的判定思路，第二问结合勾股定理求线段长，整体难度不高，侧重对基础定理的应用考查。
【难度系数】
0.7
(1) 要证四边形EFGH是正方形，可先利用正方形ABCD的性质，结合已知的等长线段，通过SAS证明四个直角三角形全等，先得到四边形EFGH四边相等判定为菱形，再推导其一个内角为90°，即可判定菱形为正方形。
(2) 求EG的长度，可通过作垂线构造直角三角形，结合矩形的性质得到直角边的长度，再用勾股定理计算即可。
【解析】
(1) 证明：
$\because$ 四边形ABCD是正方形，
$\therefore AB=BC=CD=DA$，$∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=90°$，
$\because AE=BF=CG=DH$，
$\therefore AB-AE=BC-BF=CD-CG=DA-DH$，即$BE=CF=DG=AH$。
在$△ AEH$和$△ BFE$中：
$\begin{cases}AE=BF \\∠ A=∠ B \\AH=BE\end{cases}$
$\therefore △ AEH≌△ BFE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore HE=EF$，$∠ AEH=∠ BFE$。
同理可证$△ BFE≌△ CGF≌△ DHG$，
$\therefore HE=EF=FG=GH$，
$\therefore$ 四边形EFGH是菱形。
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$∠ BEF+∠ BFE=90°$，
$\because ∠ AEH=∠ BFE$，
$\therefore ∠ BEF+∠ AEH=90°$，
$\therefore ∠ HEF=180°-(∠ BEF+∠ AEH)=90°$，
$\therefore$ 菱形EFGH是正方形。
(2) 解：过E作$EM⊥ CD$于点M，
$\because$ 四边形ABCD是正方形，
$\therefore$ 四边形EBCM是矩形，
$\therefore EM=BC=AB=7$，$CM=BE=3$，
$\because CG=AE=AB-BE=7-3=4$，
$\therefore GM=CG-CM=4-3=1$，
在$\mathrm{Rt}△ EMG$中，由勾股定理得：
$EG=\sqrt{EM^2+GM^2}=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $5\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是特殊四边形的综合题，第一问是正方形判定的典型考法，需熟练掌握“先证菱形再证直角”的判定思路，第二问结合勾股定理求线段长，整体难度不高，侧重对基础定理的应用考查。
【难度系数】
0.7
11.如图,已知四边形ABCD为正方形,$AB=3\sqrt{2}$,E为对角线AC上一点,连接DE,过点E作$EF ⊥ DE$,交BC的延长线于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.下列结论:①矩形DEFG是正方形;②$CE=CF$;③$AE=CG$;④$CE+CG=6$.其中正确的有 (
A.①②③④
B.①③④
C.①③
D.②④
B
)A.①②③④
B.①③④
C.①③
D.②④
答案
11. B
解析
【分析】
本题是正方形性质与判定、全等三角形结合的综合题，解题思路如下：1. 要判断矩形DEFG是否为正方形，只需证邻边DE=EF，可通过作辅助线构造全等三角形证明；2. 判断CE和CF是否相等，可分析对应角是否恒相等，可知该结论不恒成立；3. 判断AE=CG，可通过证明△ADE和△CDG全等推导；4. 结合③的结论，将CE+CG转化为正方形对角线AC的长度，计算即可验证。
【解析】
逐个分析结论：
①证明矩形DEFG是正方形：
过E作EN⊥CD于N，EM⊥BC于M，
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴AC平分∠BCD，
∴EM=EN，∠MEN=90°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠DEN + ∠NEF = ∠FEM + ∠NEF = 90°，即∠DEN=∠FEM，
在△DEN和△FEM中：
$\{\begin{array}{l}∠ DNE=∠ FME=90°\\ EN=EM\\ ∠ DEN=∠ FEM\end{array} $
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴DE=EF，
∵邻边相等的矩形是正方形，
∴矩形DEFG是正方形，①正确。
②判断CE=CF：
若CE=CF，则∠CEF=∠CFE，
∵∠ECF=180°-∠ACB=135°，
∴∠CEF=22.5°，但E是AC上任意一点，∠CEF度数不固定，故CE=CF不恒成立，②错误。
③证明AE=CG：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=DG，∠EDG=90°，
∴∠ADC - ∠EDC = ∠EDG - ∠EDC，即∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中：
$\{\begin{array}{l}AD=CD\\ ∠ ADE=∠ CDG\\ DE=DG\end{array} $
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG，③正确。
④证明CE+CG=6：
由③得CG=AE，
∴CE+CG=CE+AE=AC，
正方形ABCD边长$AB=3\sqrt{2}$，对角线$AC=\sqrt{2}AB=\sqrt{2}×3\sqrt{2}=6$，
∴CE+CG=6，④正确。
综上，正确结论为①③④。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，正方形对角线计算
【点评】
本题重点考查正方形相关性质和全等三角形的应用，解题关键是合理构造全等三角形，利用转化思想将线段和转化为正方形对角线长度，易错点是误判结论②恒成立。
【难度系数】
0.65
本题是正方形性质与判定、全等三角形结合的综合题，解题思路如下：1. 要判断矩形DEFG是否为正方形，只需证邻边DE=EF，可通过作辅助线构造全等三角形证明；2. 判断CE和CF是否相等，可分析对应角是否恒相等，可知该结论不恒成立；3. 判断AE=CG，可通过证明△ADE和△CDG全等推导；4. 结合③的结论，将CE+CG转化为正方形对角线AC的长度，计算即可验证。
【解析】
逐个分析结论：
①证明矩形DEFG是正方形：
过E作EN⊥CD于N，EM⊥BC于M，
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴AC平分∠BCD，
∴EM=EN，∠MEN=90°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠DEN + ∠NEF = ∠FEM + ∠NEF = 90°，即∠DEN=∠FEM，
在△DEN和△FEM中：
$\{\begin{array}{l}∠ DNE=∠ FME=90°\\ EN=EM\\ ∠ DEN=∠ FEM\end{array} $
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴DE=EF，
∵邻边相等的矩形是正方形，
∴矩形DEFG是正方形，①正确。
②判断CE=CF：
若CE=CF，则∠CEF=∠CFE，
∵∠ECF=180°-∠ACB=135°，
∴∠CEF=22.5°，但E是AC上任意一点，∠CEF度数不固定，故CE=CF不恒成立，②错误。
③证明AE=CG：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=DG，∠EDG=90°，
∴∠ADC - ∠EDC = ∠EDG - ∠EDC，即∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中：
$\{\begin{array}{l}AD=CD\\ ∠ ADE=∠ CDG\\ DE=DG\end{array} $
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG，③正确。
④证明CE+CG=6：
由③得CG=AE，
∴CE+CG=CE+AE=AC，
正方形ABCD边长$AB=3\sqrt{2}$，对角线$AC=\sqrt{2}AB=\sqrt{2}×3\sqrt{2}=6$，
∴CE+CG=6，④正确。
综上，正确结论为①③④。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，正方形对角线计算
【点评】
本题重点考查正方形相关性质和全等三角形的应用，解题关键是合理构造全等三角形，利用转化思想将线段和转化为正方形对角线长度，易错点是误判结论②恒成立。
【难度系数】
0.65
回归教材
微专题3 中点四边形
我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫作中点四边形，任意一个四边形的中点四边形均为平行四边形。
【教材基本图形】如图，E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点。
【基本方法】连接AC，BD，构造三角形的中位线。
【基本结论】四边形EFGH是平行四边形，特别地，
①当AC=BD时，四边形EFGH是
②当AC⊥BD时，四边形EFGH是
③当AC=BD，AC⊥BD时，四边形EFGH是
微专题3 中点四边形
我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫作中点四边形，任意一个四边形的中点四边形均为平行四边形。
【教材基本图形】如图，E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点。
【基本方法】连接AC，BD，构造三角形的中位线。
【基本结论】四边形EFGH是平行四边形，特别地，
①当AC=BD时，四边形EFGH是
菱形
；②当AC⊥BD时，四边形EFGH是
矩形
；③当AC=BD，AC⊥BD时，四边形EFGH是
正方形
。答案
【基本结论】①菱形 ②矩形 ③正方形
解析
【分析】
解题时先回忆三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。首先可通过中位线性质证明中点四边形是平行四边形，再结合原四边形对角线的数量、位置关系，对应特殊平行四边形的判定条件推导结论：
1. 若原四边形对角线相等，可推出中点四边形邻边相等，结合平行四边形的前提可判定为菱形；
2. 若原四边形对角线垂直，可推出中点四边形邻边垂直，结合平行四边形的前提可判定为矩形；
3. 若原四边形对角线既相等又垂直，可推出中点四边形邻边既相等又垂直，结合平行四边形的前提可判定为正方形。
【解析】
已知E、F、G、H分别是四边形ABCD四边的中点，连接AC、BD：
根据三角形中位线定理可得：
$EH// BD$，$EH=\frac{1}{2}BD$；$FG// BD$，$FG=\frac{1}{2}BD$，因此$EH// FG$且$EH=FG$，故四边形EFGH是平行四边形。
①当$AC=BD$时：
同理可得$EF=\frac{1}{2}AC$，又$EH=\frac{1}{2}BD$，$AC=BD$，因此$EF=EH$。
根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可得此时四边形EFGH是菱形。
②当$AC⊥ BD$时：
同理可得$EF// AC$，又$EH// BD$，$AC⊥ BD$，因此$EF⊥ EH$，即$∠ HEF=90°$。
根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可得此时四边形EFGH是矩形。
③当$AC=BD$且$AC⊥ BD$时：
结合①②的结论，四边形EFGH既是菱形又是矩形，根据“既是菱形又是矩形的四边形是正方形”，可得此时四边形EFGH是正方形。
【答案】
①菱形 ②矩形 ③正方形
【知识点】
三角形中位线定理，特殊平行四边形判定，中点四边形性质
【点评】
本题是中点四边形的基础典型题，解题核心是通过三角形中位线定理将原四边形的对角线特征转化为中点四边形的边的特征，再结合特殊平行四边形的判定规则即可快速得到结论，该类结论可直接用于相关选择、填空题的快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。首先可通过中位线性质证明中点四边形是平行四边形，再结合原四边形对角线的数量、位置关系，对应特殊平行四边形的判定条件推导结论：
1. 若原四边形对角线相等，可推出中点四边形邻边相等，结合平行四边形的前提可判定为菱形；
2. 若原四边形对角线垂直，可推出中点四边形邻边垂直，结合平行四边形的前提可判定为矩形；
3. 若原四边形对角线既相等又垂直，可推出中点四边形邻边既相等又垂直，结合平行四边形的前提可判定为正方形。
【解析】
已知E、F、G、H分别是四边形ABCD四边的中点，连接AC、BD：
根据三角形中位线定理可得：
$EH// BD$，$EH=\frac{1}{2}BD$；$FG// BD$，$FG=\frac{1}{2}BD$，因此$EH// FG$且$EH=FG$，故四边形EFGH是平行四边形。
①当$AC=BD$时：
同理可得$EF=\frac{1}{2}AC$，又$EH=\frac{1}{2}BD$，$AC=BD$，因此$EF=EH$。
根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可得此时四边形EFGH是菱形。
②当$AC⊥ BD$时：
同理可得$EF// AC$，又$EH// BD$，$AC⊥ BD$，因此$EF⊥ EH$，即$∠ HEF=90°$。
根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可得此时四边形EFGH是矩形。
③当$AC=BD$且$AC⊥ BD$时：
结合①②的结论，四边形EFGH既是菱形又是矩形，根据“既是菱形又是矩形的四边形是正方形”，可得此时四边形EFGH是正方形。
【答案】
①菱形 ②矩形 ③正方形
【知识点】
三角形中位线定理，特殊平行四边形判定，中点四边形性质
【点评】
本题是中点四边形的基础典型题，解题核心是通过三角形中位线定理将原四边形的对角线特征转化为中点四边形的边的特征，再结合特殊平行四边形的判定规则即可快速得到结论，该类结论可直接用于相关选择、填空题的快速求解。
【难度系数】
0.8
1. 在四边形 $ABCD$ 中，$E,F,G,H$ 分别是边 $AB,BC,CD,AD$ 的中点，下列条件一定能使四边形 $EFGH$ 是菱形的是 $\boldsymbol{(\quad)}$
A.四边形 $ABCD$ 是平行四边形
B.四边形 $ABCD$ 是矩形
C.四边形 $ABCD$ 是菱形
D.$AB=BC$
A.四边形 $ABCD$ 是平行四边形
B.四边形 $ABCD$ 是矩形
C.四边形 $ABCD$ 是菱形
D.$AB=BC$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断哪个条件能使中点四边形EFGH为菱形，可按以下思路推导：①首先根据三角形中位线定理，任意四边形的中点四边形一定是平行四边形，因为中点连线平行且等于原四边形对应对角线的一半，可证对边平行且相等；②菱形的判定要求“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，因此只需中点平行四边形的邻边相等，即原四边形的两条对角线长度相等；③逐一分析各选项中四边形的对角线性质，选出对角线相等的选项即可。
【解析】
连接AC、BD：
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF//AC，且$EF=\frac{1}{2}AC$。
同理可得：$HG//AC$，$HG=\frac{1}{2}AC$；$EH//BD$，$EH=\frac{1}{2}BD$。
∴$EF//HG$，且$EF=HG$，
∴四边形EFGH是平行四边形。
若要使平行四边形EFGH为菱形，需满足一组邻边相等，即$EF=EH$，代入得$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD$，即$AC=BD$，也就是原四边形ABCD的对角线相等。
对各选项逐一判断：
A. 平行四边形的对角线不一定相等，不符合要求；
B. 矩形的对角线相等，满足$AC=BD$，此时四边形EFGH是菱形，符合要求；
C. 菱形的对角线互相垂直但不一定相等，此时中点四边形EFGH是矩形，不符合要求；
D. $AB=BC$只能说明四边形ABCD的一组邻边相等，无法推出对角线$AC=BD$，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定；菱形的判定
【点评】
本题是中点四边形的典型考题，解题关键是明确中点四边形的形状由原四边形对角线的关系决定：原四边形对角线相等时，中点四边形为菱形；原四边形对角线垂直时，中点四边形为矩形，牢记该规律可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
要判断哪个条件能使中点四边形EFGH为菱形，可按以下思路推导：①首先根据三角形中位线定理，任意四边形的中点四边形一定是平行四边形，因为中点连线平行且等于原四边形对应对角线的一半，可证对边平行且相等；②菱形的判定要求“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，因此只需中点平行四边形的邻边相等，即原四边形的两条对角线长度相等；③逐一分析各选项中四边形的对角线性质，选出对角线相等的选项即可。
【解析】
连接AC、BD：
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF//AC，且$EF=\frac{1}{2}AC$。
同理可得：$HG//AC$，$HG=\frac{1}{2}AC$；$EH//BD$，$EH=\frac{1}{2}BD$。
∴$EF//HG$，且$EF=HG$，
∴四边形EFGH是平行四边形。
若要使平行四边形EFGH为菱形，需满足一组邻边相等，即$EF=EH$，代入得$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD$，即$AC=BD$，也就是原四边形ABCD的对角线相等。
对各选项逐一判断：
A. 平行四边形的对角线不一定相等，不符合要求；
B. 矩形的对角线相等，满足$AC=BD$，此时四边形EFGH是菱形，符合要求；
C. 菱形的对角线互相垂直但不一定相等，此时中点四边形EFGH是矩形，不符合要求；
D. $AB=BC$只能说明四边形ABCD的一组邻边相等，无法推出对角线$AC=BD$，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定；菱形的判定
【点评】
本题是中点四边形的典型考题，解题关键是明确中点四边形的形状由原四边形对角线的关系决定：原四边形对角线相等时，中点四边形为菱形；原四边形对角线垂直时，中点四边形为矩形，牢记该规律可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
2.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,且$AC⊥BD,AC=BD,S_{四边形ABCD}=8 cm²,E,F,G,H$分别是AB,BC,CD,DA的中点,则四边形EFGH的周长等于
$8\ \mathrm{cm}$
. 答案
2. $8\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
解题思路如下：①首先根据三角形中位线定理，判断中点四边形EFGH的形状：由各边中点可得对边分别平行且相等，先证是平行四边形，再结合AC=BD、AC⊥BD的条件，可证得EFGH是正方形；②利用对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，结合已知AC=BD、四边形ABCD面积为8cm²，求出AC、BD的长度；③根据中位线性质求出正方形EFGH的边长，进而计算周长。
【解析】
1. 判定四边形EFGH的形状：
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，根据三角形中位线定理：
EH是△ABD的中位线，
∴$EH// BD$，$EH=\frac{1}{2}BD$；
同理$FG// BD$，$FG=\frac{1}{2}BD$，
∴$EH// FG$且$EH=FG$；
同理可得$EF// AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$，$HG// AC$，$HG=\frac{1}{2}AC$，
∴$EF// HG$且$EF=HG$；
∴四边形EFGH是平行四边形。
又
∵$AC=BD$，
∴$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD=EH$，平行四边形EFGH邻边相等；
∵$AC⊥ BD$，$EF// AC$、$EH// BD$，
∴$EF⊥ EH$，平行四边形EFGH有一个内角是直角；
∴平行四边形EFGH是正方形。
2. 计算AC、BD的长度：
∵$AC⊥ BD$，
∴$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AC· BO+\frac{1}{2}AC· OD=\frac{1}{2}AC·(BO+OD)=\frac{1}{2}AC· BD$，
已知$S_{四边形ABCD}=8\mathrm{cm}^2$，$AC=BD$，代入得：
$\frac{1}{2}AC^2=8$，解得$AC=4\mathrm{cm}$（长度取正值），
∴$BD=AC=4\mathrm{cm}$。
3. 计算四边形EFGH的周长：
正方形EFGH的边长$EF=\frac{1}{2}AC=2\mathrm{cm}$，
∴周长为$4×2=8\mathrm{cm}$。
【答案】
$8\ \mathrm{cm}$
【知识点】
三角形中位线定理，正方形的判定，对角线垂直的四边形面积计算
【点评】
本题属于特殊四边形的综合题，解题核心是掌握中点四边形的性质，结合已知的对角线关系判断中点四边形的形状，再利用面积公式求出对角线长度即可顺利求解，需要熟练掌握特殊四边形的判定和性质。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：①首先根据三角形中位线定理，判断中点四边形EFGH的形状：由各边中点可得对边分别平行且相等，先证是平行四边形，再结合AC=BD、AC⊥BD的条件，可证得EFGH是正方形；②利用对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，结合已知AC=BD、四边形ABCD面积为8cm²，求出AC、BD的长度；③根据中位线性质求出正方形EFGH的边长，进而计算周长。
【解析】
1. 判定四边形EFGH的形状：
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，根据三角形中位线定理：
EH是△ABD的中位线，
∴$EH// BD$，$EH=\frac{1}{2}BD$；
同理$FG// BD$，$FG=\frac{1}{2}BD$，
∴$EH// FG$且$EH=FG$；
同理可得$EF// AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$，$HG// AC$，$HG=\frac{1}{2}AC$，
∴$EF// HG$且$EF=HG$；
∴四边形EFGH是平行四边形。
又
∵$AC=BD$，
∴$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD=EH$，平行四边形EFGH邻边相等；
∵$AC⊥ BD$，$EF// AC$、$EH// BD$，
∴$EF⊥ EH$，平行四边形EFGH有一个内角是直角；
∴平行四边形EFGH是正方形。
2. 计算AC、BD的长度：
∵$AC⊥ BD$，
∴$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AC· BO+\frac{1}{2}AC· OD=\frac{1}{2}AC·(BO+OD)=\frac{1}{2}AC· BD$，
已知$S_{四边形ABCD}=8\mathrm{cm}^2$，$AC=BD$，代入得：
$\frac{1}{2}AC^2=8$，解得$AC=4\mathrm{cm}$（长度取正值），
∴$BD=AC=4\mathrm{cm}$。
3. 计算四边形EFGH的周长：
正方形EFGH的边长$EF=\frac{1}{2}AC=2\mathrm{cm}$，
∴周长为$4×2=8\mathrm{cm}$。
【答案】
$8\ \mathrm{cm}$
【知识点】
三角形中位线定理，正方形的判定，对角线垂直的四边形面积计算
【点评】
本题属于特殊四边形的综合题，解题核心是掌握中点四边形的性质，结合已知的对角线关系判断中点四边形的形状，再利用面积公式求出对角线长度即可顺利求解，需要熟练掌握特殊四边形的判定和性质。
【难度系数】
0.65
