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1 中秋节快到了，小杰、小芳和小刚都制作了贺卡送给朋友，他们制作的贺卡形状如下图。
(1)他们用丝带缠绕贺卡边缘一周来做装饰，请算出他们各用了多长的丝带。(接头处忽略不计)
(2)谁的贺卡面积最大？谁的贺卡面积最小？
(3)你有什么发现？
(1)他们用丝带缠绕贺卡边缘一周来做装饰，请算出他们各用了多长的丝带。(接头处忽略不计)
(2)谁的贺卡面积最大？谁的贺卡面积最小？
(3)你有什么发现？
答案
(1)小杰:$6.28×4=25.12(\mathrm{cm})$ 小芳:$(8.56+4)×2=25.12(\mathrm{cm})$
小刚:$3.14×4×2=25.12(\mathrm{cm})$
(2)小杰:$6.28×6.28=39.4384(\mathrm{cm}^2)$ 小芳:$8.56×4=34.24(\mathrm{cm}^2)$
小刚:$3.14×4^2=50.24(\mathrm{cm}^2)$
$50.24\ \mathrm{cm}^2＞39.4384\ \mathrm{cm}^2＞34.24\ \mathrm{cm}^2$
小刚的贺卡面积最大,小芳的贺卡面积最小。
(3)周长相等的正方形、长方形和圆,圆的面积最大,长方形的面积最小。
小刚:$3.14×4×2=25.12(\mathrm{cm})$
(2)小杰:$6.28×6.28=39.4384(\mathrm{cm}^2)$ 小芳:$8.56×4=34.24(\mathrm{cm}^2)$
小刚:$3.14×4^2=50.24(\mathrm{cm}^2)$
$50.24\ \mathrm{cm}^2＞39.4384\ \mathrm{cm}^2＞34.24\ \mathrm{cm}^2$
小刚的贺卡面积最大,小芳的贺卡面积最小。
(3)周长相等的正方形、长方形和圆,圆的面积最大,长方形的面积最小。
解析
【分析】
(1) 丝带缠绕贺卡边缘一周的长度就是对应图形的周长。首先判断三个贺卡的形状：小杰的是正方形，小芳的是长方形，小刚的是圆形，分别回忆三类图形的周长计算公式，找到对应边长、半径等数据代入计算即可。
(2) 要比较面积大小，分别回忆正方形、长方形、圆的面积计算公式，代入对应数值算出三个贺卡的面积，再排序就能判断谁的面积最大、最小。
(3) 对比三个图形的周长和面积计算结果，总结周长相等的这三类图形的面积规律即可。
【解析】
(1) 计算三人所用丝带长度（即图形周长）：
小杰的正方形贺卡：根据正方形周长=边长×4，代入数据得$6.28×4=25.12(\mathrm{cm})$
小芳的长方形贺卡：根据长方形周长=（长+宽）×2，代入数据得$(8.56+4)×2=25.12(\mathrm{cm})$
小刚的圆形贺卡：根据圆的周长$=2π r$（$π$取3.14，半径$r=4\mathrm{cm}$），代入数据得$3.14×4×2=25.12(\mathrm{cm})$
(2) 计算三个贺卡的面积：
小杰的正方形贺卡：根据正方形面积=边长×边长，代入数据得$6.28×6.28=39.4384(\mathrm{cm}^2)$
小芳的长方形贺卡：根据长方形面积=长×宽，代入数据得$8.56×4=34.24(\mathrm{cm}^2)$
小刚的圆形贺卡：根据圆的面积$=π r^2$，代入数据得$3.14×4^2=50.24(\mathrm{cm}^2)$
比较面积大小可得$50.24\ \mathrm{cm}^2＞39.4384\ \mathrm{cm}^2＞34.24\ \mathrm{cm}^2$，因此小刚的贺卡面积最大，小芳的贺卡面积最小。
(3) 观察计算结果可知三个贺卡周长相等，对比面积可得规律：周长相等的正方形、长方形和圆，圆的面积最大，长方形的面积最小。
【答案】
(1)小杰:$6.28×4=25.12(\mathrm{cm})$ 小芳:$(8.56+4)×2=25.12(\mathrm{cm})$
小刚:$3.14×4×2=25.12(\mathrm{cm})$
(2)小杰:$6.28×6.28=39.4384(\mathrm{cm}^2)$ 小芳:$8.56×4=34.24(\mathrm{cm}^2)$
小刚:$3.14×4^2=50.24(\mathrm{cm}^2)$
$50.24\ \mathrm{cm}^2＞39.4384\ \mathrm{cm}^2＞34.24\ \mathrm{cm}^2$
小刚的贺卡面积最大,小芳的贺卡面积最小。
(3)周长相等的正方形、长方形和圆,圆的面积最大,长方形的面积最小。
【知识点】
1. 图形周长计算
2. 图形面积计算
3. 周长与面积规律
【点评】
本题考查了正方形、长方形、圆的周长和面积公式的基础应用，通过计算对比得出图形周长和面积的相关规律，既巩固了基础公式的运用，也提升了归纳总结的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 丝带缠绕贺卡边缘一周的长度就是对应图形的周长。首先判断三个贺卡的形状：小杰的是正方形，小芳的是长方形，小刚的是圆形，分别回忆三类图形的周长计算公式，找到对应边长、半径等数据代入计算即可。
(2) 要比较面积大小，分别回忆正方形、长方形、圆的面积计算公式，代入对应数值算出三个贺卡的面积，再排序就能判断谁的面积最大、最小。
(3) 对比三个图形的周长和面积计算结果，总结周长相等的这三类图形的面积规律即可。
【解析】
(1) 计算三人所用丝带长度（即图形周长）：
小杰的正方形贺卡：根据正方形周长=边长×4，代入数据得$6.28×4=25.12(\mathrm{cm})$
小芳的长方形贺卡：根据长方形周长=（长+宽）×2，代入数据得$(8.56+4)×2=25.12(\mathrm{cm})$
小刚的圆形贺卡：根据圆的周长$=2π r$（$π$取3.14，半径$r=4\mathrm{cm}$），代入数据得$3.14×4×2=25.12(\mathrm{cm})$
(2) 计算三个贺卡的面积：
小杰的正方形贺卡：根据正方形面积=边长×边长，代入数据得$6.28×6.28=39.4384(\mathrm{cm}^2)$
小芳的长方形贺卡：根据长方形面积=长×宽，代入数据得$8.56×4=34.24(\mathrm{cm}^2)$
小刚的圆形贺卡：根据圆的面积$=π r^2$，代入数据得$3.14×4^2=50.24(\mathrm{cm}^2)$
比较面积大小可得$50.24\ \mathrm{cm}^2＞39.4384\ \mathrm{cm}^2＞34.24\ \mathrm{cm}^2$，因此小刚的贺卡面积最大，小芳的贺卡面积最小。
(3) 观察计算结果可知三个贺卡周长相等，对比面积可得规律：周长相等的正方形、长方形和圆，圆的面积最大，长方形的面积最小。
【答案】
(1)小杰:$6.28×4=25.12(\mathrm{cm})$ 小芳:$(8.56+4)×2=25.12(\mathrm{cm})$
小刚:$3.14×4×2=25.12(\mathrm{cm})$
(2)小杰:$6.28×6.28=39.4384(\mathrm{cm}^2)$ 小芳:$8.56×4=34.24(\mathrm{cm}^2)$
小刚:$3.14×4^2=50.24(\mathrm{cm}^2)$
$50.24\ \mathrm{cm}^2＞39.4384\ \mathrm{cm}^2＞34.24\ \mathrm{cm}^2$
小刚的贺卡面积最大,小芳的贺卡面积最小。
(3)周长相等的正方形、长方形和圆,圆的面积最大,长方形的面积最小。
【知识点】
1. 图形周长计算
2. 图形面积计算
3. 周长与面积规律
【点评】
本题考查了正方形、长方形、圆的周长和面积公式的基础应用，通过计算对比得出图形周长和面积的相关规律，既巩固了基础公式的运用，也提升了归纳总结的能力。
【难度系数】
0.7
2 如右图，涂色部分的面积是60 cm²，整个圆环的面积是多少平方厘米？
答案
$3.14×60=188.4(\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】
首先观察图形，涂色部分的面积是边长为外圆半径R的大正方形面积减去边长为内圆半径r的小正方形面积，即涂色面积=R² - r²。而圆环的面积公式为$S=π(R^2 - r^2)$，因此不需要分别求出R和r的具体数值，直接将已知的涂色部分面积整体代入圆环面积公式就能算出结果。
【解析】
设外圆半径为R，内圆半径为r。
由图可得：涂色部分面积$=R^2 - r^2=60\ \mathrm{cm}^2$
根据圆环面积公式：$S_{\mathrm{圆环}}=π(R^2 - r^2)$
将$R^2 - r^2=60$代入公式计算：
$S_{\mathrm{圆环}}=3.14×60=188.4(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
188.4平方厘米
【知识点】
圆环面积计算，正方形面积计算，整体代入求值
【点评】
本题解题的核心是通过观察图形找到涂色部分面积与外圆、内圆半径平方差的关系，无需单独计算两个半径的数值，直接整体代入即可快速求解，重点考查对图形面积关系的分析能力和公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
首先观察图形，涂色部分的面积是边长为外圆半径R的大正方形面积减去边长为内圆半径r的小正方形面积，即涂色面积=R² - r²。而圆环的面积公式为$S=π(R^2 - r^2)$，因此不需要分别求出R和r的具体数值，直接将已知的涂色部分面积整体代入圆环面积公式就能算出结果。
【解析】
设外圆半径为R，内圆半径为r。
由图可得：涂色部分面积$=R^2 - r^2=60\ \mathrm{cm}^2$
根据圆环面积公式：$S_{\mathrm{圆环}}=π(R^2 - r^2)$
将$R^2 - r^2=60$代入公式计算：
$S_{\mathrm{圆环}}=3.14×60=188.4(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
188.4平方厘米
【知识点】
圆环面积计算，正方形面积计算，整体代入求值
【点评】
本题解题的核心是通过观察图形找到涂色部分面积与外圆、内圆半径平方差的关系，无需单独计算两个半径的数值，直接整体代入即可快速求解，重点考查对图形面积关系的分析能力和公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
3 如下图,两个相等的正方形甲和乙,甲中包含了4个等圆,乙中包含了16个等圆,哪个图形涂色部分的面积大?
答案
假设:正方形的边长是12cm。
甲:$12÷2÷2=3(\mathrm{cm})$
$3.14×3^2×4=113.04(\mathrm{cm}^2)$
乙:$12÷4÷2=1.5(\mathrm{cm})$
$3.14×1.5^2×16=113.04(\mathrm{cm}^2)$
两者涂色部分的面积相等
(方法不唯一)
甲:$12÷2÷2=3(\mathrm{cm})$
$3.14×3^2×4=113.04(\mathrm{cm}^2)$
乙:$12÷4÷2=1.5(\mathrm{cm})$
$3.14×1.5^2×16=113.04(\mathrm{cm}^2)$
两者涂色部分的面积相等
(方法不唯一)
解析
【分析】要比较两个图形涂色部分的面积大小，本质是分别计算甲图4个等圆的总面积、乙图16个等圆的总面积后作对比。已知两个正方形边长相等，我们可以先假设一个方便计算的正方形边长，再分别求出两种排列下单个圆的半径，结合圆的面积公式计算总面积即可。
【解析】假设正方形的边长是12cm：
1. 计算甲图涂色部分面积：
甲图中2个圆的直径之和等于正方形边长，单个圆的半径为：$12÷2÷2=3(\mathrm{cm})$
4个圆的总面积为：$3.14×3^2×4=3.14×9×4=113.04(\mathrm{cm}^2)$
2. 计算乙图涂色部分面积：
乙图中4个圆的直径之和等于正方形边长，单个圆的半径为：$12÷4÷2=1.5(\mathrm{cm})$
16个圆的总面积为：$3.14×1.5^2×16=3.14×2.25×16=113.04(\mathrm{cm}^2)$
对比可得$113.04=113.04$，二者面积相等。
【答案】两个图形涂色部分的面积相等
【知识点】圆的面积计算；假设法解题；面积比较
【点评】本题可以通过假设具体数值简化计算，也可以用字母表示正方形边长推导，会发现无论正方形边长取多少，两个图形的涂色面积始终相等，体现了数学中的不变性规律。
【难度系数】0.7
【解析】假设正方形的边长是12cm：
1. 计算甲图涂色部分面积：
甲图中2个圆的直径之和等于正方形边长，单个圆的半径为：$12÷2÷2=3(\mathrm{cm})$
4个圆的总面积为：$3.14×3^2×4=3.14×9×4=113.04(\mathrm{cm}^2)$
2. 计算乙图涂色部分面积：
乙图中4个圆的直径之和等于正方形边长，单个圆的半径为：$12÷4÷2=1.5(\mathrm{cm})$
16个圆的总面积为：$3.14×1.5^2×16=3.14×2.25×16=113.04(\mathrm{cm}^2)$
对比可得$113.04=113.04$，二者面积相等。
【答案】两个图形涂色部分的面积相等
【知识点】圆的面积计算；假设法解题；面积比较
【点评】本题可以通过假设具体数值简化计算，也可以用字母表示正方形边长推导，会发现无论正方形边长取多少，两个图形的涂色面积始终相等，体现了数学中的不变性规律。
【难度系数】0.7
用圆可以设计出很多漂亮的图案,请你试着用圆规和直尺画一画下面的图形。
答案
1. 选取合适的半径，用圆规画出一个大圆，标记出圆心。
2. 用直尺过圆心画一条水平直径，再过圆心画一条竖直直径，两条直径互相垂直，将大圆平均分成4份。
3. 分别以大圆的4条半径为直径：以上方半径为直径向左画半圆，以右侧半径为直径向上画半圆，以下方半径为直径向右画半圆，以左侧半径为直径向下画半圆。
4. 擦去多余辅助线，按照题图样式给对应区域涂色。
答：按照以上步骤操作即可画出指定图案。
2. 用直尺过圆心画一条水平直径，再过圆心画一条竖直直径，两条直径互相垂直，将大圆平均分成4份。
3. 分别以大圆的4条半径为直径：以上方半径为直径向左画半圆，以右侧半径为直径向上画半圆，以下方半径为直径向右画半圆，以左侧半径为直径向下画半圆。
4. 擦去多余辅助线，按照题图样式给对应区域涂色。
答：按照以上步骤操作即可画出指定图案。
解析
【分析】
首先观察图案的组成结构：最外层是完整大圆，内部有两条过圆心且互相垂直的直径将大圆平均分成4个扇形，每个扇形内有1个以大圆半径为直径的半圆。因此画图时遵循从整体到局部的顺序：先画基础大圆，再做垂直直径划分区域，接着按要求画内部的4个半圆，最后处理辅助线、涂色即可完成绘制。
【解析】
1. 确定合适的长度作为半径，用圆规画出一个大圆，标记出圆心位置。
2. 借助直尺过圆心画水平直径，再过圆心画竖直直径，两条直径互相垂直，将大圆平均分为4等份。
3. 分别以大圆的4条半径为直径画半圆：以上方半径为直径向左画半圆，以右侧半径为直径向上画半圆，以下方半径为直径向右画半圆，以左侧半径为直径向下画半圆。
4. 擦去多余的辅助线，对照题图给对应区域涂色，即可得到指定图案。
【答案】
1. 选取合适的半径，用圆规画出一个大圆，标记出圆心。
2. 用直尺过圆心画一条水平直径，再过圆心画一条竖直直径，两条直径互相垂直，将大圆平均分成4份。
3. 分别以大圆的4条半径为直径：以上方半径为直径向左画半圆，以右侧半径为直径向上画半圆，以下方半径为直径向右画半圆，以左侧半径为直径向下画半圆。
4. 擦去多余辅助线，按照题图样式给对应区域涂色。
答：按照以上步骤操作即可画出指定图案。
【知识点】
圆的画法；直径与半径的关系；组合图形设计
【点评】
本题侧重动手操作能力的考查，通过绘制圆的组合图案，能加深对圆的基本特征、半径和直径关系的理解，同时可提升图形感知能力与审美能力。
【难度系数】
0.8
首先观察图案的组成结构：最外层是完整大圆，内部有两条过圆心且互相垂直的直径将大圆平均分成4个扇形，每个扇形内有1个以大圆半径为直径的半圆。因此画图时遵循从整体到局部的顺序：先画基础大圆，再做垂直直径划分区域，接着按要求画内部的4个半圆，最后处理辅助线、涂色即可完成绘制。
【解析】
1. 确定合适的长度作为半径，用圆规画出一个大圆，标记出圆心位置。
2. 借助直尺过圆心画水平直径，再过圆心画竖直直径，两条直径互相垂直，将大圆平均分为4等份。
3. 分别以大圆的4条半径为直径画半圆：以上方半径为直径向左画半圆，以右侧半径为直径向上画半圆，以下方半径为直径向右画半圆，以左侧半径为直径向下画半圆。
4. 擦去多余的辅助线，对照题图给对应区域涂色，即可得到指定图案。
【答案】
1. 选取合适的半径，用圆规画出一个大圆，标记出圆心。
2. 用直尺过圆心画一条水平直径，再过圆心画一条竖直直径，两条直径互相垂直，将大圆平均分成4份。
3. 分别以大圆的4条半径为直径：以上方半径为直径向左画半圆，以右侧半径为直径向上画半圆，以下方半径为直径向右画半圆，以左侧半径为直径向下画半圆。
4. 擦去多余辅助线，按照题图样式给对应区域涂色。
答：按照以上步骤操作即可画出指定图案。
【知识点】
圆的画法；直径与半径的关系；组合图形设计
【点评】
本题侧重动手操作能力的考查，通过绘制圆的组合图案，能加深对圆的基本特征、半径和直径关系的理解，同时可提升图形感知能力与审美能力。
【难度系数】
0.8
