11. 如图,在以点O为圆心的半圆中,AB是直径,$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,连结AC,BD交于点E,连结OC交BD于点F。若$CE=\frac{1}{2}AB$,则CE：CA的值是 ()


A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

11. D[解析:连结OD,BC。设$∠AOD=x°$,$∠BOC=y°$,$∠COD=z°$,则$x+y+z=180$。$\because \overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,$\therefore x+y=z$,$\therefore z=90$,$\therefore ∠COD=90°$,$\therefore ∠DBC=\frac{1}{2}∠COD=45°$。$\because ∠ACB=90°$,$CE=\frac{1}{2}AB$,$\therefore BC=CE=\frac{1}{2}AB$。在Rt△ABC中利用勾股定理,得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$,$\therefore CE:CA=\frac{1}{2}AB:\frac{\sqrt{3}}{2}AB=\frac{\sqrt{3}}{3}$。故选D]

【分析】
解题时先从已知的弧的等量关系入手，将弧的关系转化为圆心角的关系，求出∠COD的度数，再利用圆周角定理得到∠DBC的度数；结合AB是直径的条件，可得∠ACB=90°，进而判断△BCE的形状，得到BC与CE的等量关系，再结合CE与AB的关系，利用勾股定理求出AC的长度表达式，最终计算CE与CA的比值。
【解析】
解：连结OD、BC。
设∠AOD=x°，∠BOC=y°，∠COD=z°，
∵AB是半圆的直径，
∴x+y+z=180。
∵$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，弧的度数等于对应圆心角的度数，
∴x+y=z，
代入得z+z=180，解得z=90，即∠COD=90°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠COD=45°。
∵AB是直径，直径所对的圆周角为直角，
∴∠ACB=90°，
在Rt△BCE中，∠CEB=90°-∠DBC=45°=∠DBC，
∴BC=CE。
又
∵$CE=\frac{1}{2}AB$，
∴$BC=\frac{1}{2}AB$。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{AB^2-(\frac{1}{2}AB)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$，
∴$CE:CA=\frac{1}{2}AB:\frac{\sqrt{3}}{2}AB=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，直径所对圆周角性质，勾股定理
【点评】
本题综合了圆的性质与直角三角形的相关知识，解题的关键是合理添加辅助线，将弧的条件转化为角的条件，再结合等腰三角形和勾股定理求解，能有效考查对圆与三角形知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

12. 如图，在$\odot O$中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD。
(1)若P是$\overset{\frown}{CAD}$上一点(不与点C，D重合)，求证：$∠ CPD=∠ COB$。
(2)若点P在优弧CD上(不与C，D重合)时，$∠ CPD$与$∠ COB$有什么数量关系？请证明你的结论。

(1)证明略 (2)$∠CPD=∠COB$,证明略

【分析】
(1) 要证明$∠ CPD=∠ COB$，可通过两个角与弧$CD$对应的圆心角建立等量关系。首先由$AB⊥ CD$结合垂径定理，可得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，推出圆心角$∠ COB$是$∠ COD$的一半；再根据圆周角定理，$∠ CPD$是劣弧$\overset{\frown}{CD}$对应的圆周角，等于$∠ COD$的一半，即可推导得证。
(2) 当$P$在优弧$CD$上时，$∠ CPD$仍然是劣弧$\overset{\frown}{CD}$对应的圆周角，和(1)的推导逻辑一致，通过两个角与$∠ COD$的数量关系即可得到结论。
【解析】
(1) 证明：连接$OD$。
∵ $AB$是$\odot O$的直径，且$AB⊥ CD$，
根据垂径定理可得：$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $∠ COB=∠ DOB=\frac{1}{2}∠ COD$。
又
∵ $∠ CPD$是劣弧$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，
∴ $∠ CPD=\frac{1}{2}∠ COD$，
∴ $∠ CPD=∠ COB$。
(2) 解：$∠ CPD=∠ COB$，证明如下：
∵ 点$P$在优弧$CD$上（不与$C$、$D$重合），$∠ CPD$仍然是劣弧$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，
∴ $∠ CPD=\frac{1}{2}∠ COD$，
由(1)可知$∠ COB=\frac{1}{2}∠ COD$，
∴ $∠ CPD=∠ COB$。
【答案】
(1) 得证$∠ CPD=∠ COB$；(2) $∠ CPD=∠ COB$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题考查圆的基本性质的应用，解题的核心是准确识别角对应的弧，熟练运用垂径定理和圆周角定理建立角的等量关系，属于圆性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.7