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6. 如图，$△ ABC$是半径为1的$\odot O$的内接正三角形，则圆的内接矩形BCDE的面积为（
A.3
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
（第6题）
C
）A.3
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
（第6题）答案
6. C
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步先求正△ABC的边长BC，△ABC是半径为1的圆的内接正三角形，可利用正多边形与圆的性质结合三角函数求BC的长度；第二步利用圆内接矩形的性质，矩形的内角为直角，根据圆周角定理可知90°的圆周角所对的弦是直径，得到矩形的对角线为圆的直径，长度为2；第三步在直角三角形中利用勾股定理求出矩形的另一条边长BE，最后用长乘宽计算矩形面积即可。
【解析】
∵⊙O的半径为1，
∴⊙O的直径为2。
1. 求BC的长度：
△ABC是⊙O的内接正三角形，圆心角∠BOC=360°÷3=120°，
过O作OH⊥BC于H，根据垂径定理，BH=HC，∠BOH=60°，
在Rt△BOH中，OB=1，
∴$BH=OB·\sin60°=1×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$BC=2BH=\sqrt{3}$。
2. 求BE的长度：
∵四边形BCDE是⊙O的内接矩形，
∴∠CBE=90°，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，
∴CE是⊙O的直径，即CE=2，
在Rt△CBE中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{CE^2-BC^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4-3}=1$。
3. 计算矩形BCDE的面积：
$S_{矩形BCDE}=BC·BE=\sqrt{3}×1=\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，正多边形与圆，勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，将圆的性质、正多边形性质、矩形性质和勾股定理结合考查，解题的关键是明确圆内接矩形的对角线为圆的直径，再结合正三角形边长的求法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步先求正△ABC的边长BC，△ABC是半径为1的圆的内接正三角形，可利用正多边形与圆的性质结合三角函数求BC的长度；第二步利用圆内接矩形的性质，矩形的内角为直角，根据圆周角定理可知90°的圆周角所对的弦是直径，得到矩形的对角线为圆的直径，长度为2；第三步在直角三角形中利用勾股定理求出矩形的另一条边长BE，最后用长乘宽计算矩形面积即可。
【解析】
∵⊙O的半径为1，
∴⊙O的直径为2。
1. 求BC的长度：
△ABC是⊙O的内接正三角形，圆心角∠BOC=360°÷3=120°，
过O作OH⊥BC于H，根据垂径定理，BH=HC，∠BOH=60°，
在Rt△BOH中，OB=1，
∴$BH=OB·\sin60°=1×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$BC=2BH=\sqrt{3}$。
2. 求BE的长度：
∵四边形BCDE是⊙O的内接矩形，
∴∠CBE=90°，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，
∴CE是⊙O的直径，即CE=2，
在Rt△CBE中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{CE^2-BC^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4-3}=1$。
3. 计算矩形BCDE的面积：
$S_{矩形BCDE}=BC·BE=\sqrt{3}×1=\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，正多边形与圆，勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，将圆的性质、正多边形性质、矩形性质和勾股定理结合考查，解题的关键是明确圆内接矩形的对角线为圆的直径，再结合正三角形边长的求法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
7.如图,半径为2的$\odot O$的弦$AD=BC$,且$AD ⊥ BC$于点$E$,连结$AB$,$AC$,则$AB$的长为（
A.$2\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}$
D.$2$
A
）A.$2\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}$
D.$2$
答案
7. A
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“弦AD=BC”入手，根据同圆中相等的弦对应相等的弧，可推出弧AD=弧BC，减去公共弧BD后得到弧AB=弧CD；再结合AD⊥BC的垂直关系，可得直角三角形AEB中两个锐角和为90°，利用圆周角定理（圆周角的度数等于对应弧度数的一半），可推出弧BD与弧AC的度数和为180°，进而得到弧AB与弧CD的度数和为180°，结合弧AB=弧CD，可推出弧AB对应的圆心角为90°；最后已知圆的半径为2，在等腰直角三角形AOB中用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵在$\odot O$中，弦$AD=BC$，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}-\overset{\frown}{BD}$，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∵$AD ⊥ BC$于点$E$，
∴$∠ AEB=90°$，
∴$∠ BAD + ∠ ABC = 90°$，
根据圆周角定理：$∠ BAD=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BD}$的度数，$∠ ABC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$的度数，
∴$\frac{1}{2}×(\overset{\frown}{BD}+\overset{\frown}{AC})$的度数$=90°$，即$\overset{\frown}{BD}+\overset{\frown}{AC}$的度数为$180°$，
∵圆周总度数为$360°$，
∴$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}$的度数$=360°-180°=180°$，
又
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{AB}$的度数为$90°$，即$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角$∠ AOB=90°$，
∵$\odot O$半径为2，即$OA=OB=2$，
∴在$Rt△ AOB$中，$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
弦与弧的关系、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的基本性质的综合应用题，需要熟练掌握弦、弧、圆周角、圆心角之间的对应关系，解题的突破口是通过垂直条件和弧的等量关系，推出弧AB对应的圆心角为直角，再结合勾股定理求解。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知条件“弦AD=BC”入手，根据同圆中相等的弦对应相等的弧，可推出弧AD=弧BC，减去公共弧BD后得到弧AB=弧CD；再结合AD⊥BC的垂直关系，可得直角三角形AEB中两个锐角和为90°，利用圆周角定理（圆周角的度数等于对应弧度数的一半），可推出弧BD与弧AC的度数和为180°，进而得到弧AB与弧CD的度数和为180°，结合弧AB=弧CD，可推出弧AB对应的圆心角为90°；最后已知圆的半径为2，在等腰直角三角形AOB中用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵在$\odot O$中，弦$AD=BC$，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}-\overset{\frown}{BD}$，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∵$AD ⊥ BC$于点$E$，
∴$∠ AEB=90°$，
∴$∠ BAD + ∠ ABC = 90°$，
根据圆周角定理：$∠ BAD=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BD}$的度数，$∠ ABC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$的度数，
∴$\frac{1}{2}×(\overset{\frown}{BD}+\overset{\frown}{AC})$的度数$=90°$，即$\overset{\frown}{BD}+\overset{\frown}{AC}$的度数为$180°$，
∵圆周总度数为$360°$，
∴$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}$的度数$=360°-180°=180°$，
又
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{AB}$的度数为$90°$，即$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角$∠ AOB=90°$，
∵$\odot O$半径为2，即$OA=OB=2$，
∴在$Rt△ AOB$中，$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
弦与弧的关系、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的基本性质的综合应用题，需要熟练掌握弦、弧、圆周角、圆心角之间的对应关系，解题的突破口是通过垂直条件和弧的等量关系，推出弧AB对应的圆心角为直角，再结合勾股定理求解。
【难度系数】
0.6
8. 如图，AD是$\odot O$的直径，AC是$\odot O$的弦，点B，F在$\odot O$上，AB，DF的延长线交于点E。若$\overset{\frown}{BF} = \overset{\frown}{CD}$，$∠ CAD = 20°$，则$∠ E$的度数为
$70°$
。答案
8. $70°$
解析
【分析】
要求∠E的度数，可按如下思路推导：首先观察到AD是⊙O的直径，根据直径所对圆周角为直角的性质，可通过连接BD构造直角；再结合已知的∠CAD=20°，利用圆周角定理求出弧CD的度数，结合$\overset{\frown}{BF}=\overset{\frown}{CD}$得到弧BF的度数，进而求出弧BF对应的圆周角∠EDB的度数；最后利用三角形外角的性质，即可求出∠E的大小。
【解析】
解：连接BD，
1. 因为AD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，得$∠ ABD=90°$；
2. $∠ CAD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，且$∠ CAD=20°$，根据圆周角定理：圆周角的度数等于所对弧度数的一半，得$\overset{\frown}{CD}$的度数为$2×20°=40°$；
3. 已知$\overset{\frown}{BF}=\overset{\frown}{CD}$，因此$\overset{\frown}{BF}$的度数也为$40°$；
4. $∠ EDB$是$\overset{\frown}{BF}$所对的圆周角，因此$∠ EDB=\frac{1}{2}×40°=20°$；
5. $∠ ABD$是$△ EBD$的外角，根据三角形外角性质：外角等于不相邻两个内角的和，得$∠ ABD=∠ E+∠ EDB$；
6. 代入数值计算：$∠ E=90°-20°=70°$。
【答案】
$70°$
【知识点】
圆周角定理；直径的圆周角性质；三角形外角性质
【点评】
本题是圆周角章节的典型题型，核心考查圆周角相关定理与三角形性质的综合应用，解题关键是合理添加辅助线BD构造直角，将待求角和已知角通过等弧的性质建立关联。
【难度系数】
0.7
要求∠E的度数，可按如下思路推导：首先观察到AD是⊙O的直径，根据直径所对圆周角为直角的性质，可通过连接BD构造直角；再结合已知的∠CAD=20°，利用圆周角定理求出弧CD的度数，结合$\overset{\frown}{BF}=\overset{\frown}{CD}$得到弧BF的度数，进而求出弧BF对应的圆周角∠EDB的度数；最后利用三角形外角的性质，即可求出∠E的大小。
【解析】
解：连接BD，
1. 因为AD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，得$∠ ABD=90°$；
2. $∠ CAD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，且$∠ CAD=20°$，根据圆周角定理：圆周角的度数等于所对弧度数的一半，得$\overset{\frown}{CD}$的度数为$2×20°=40°$；
3. 已知$\overset{\frown}{BF}=\overset{\frown}{CD}$，因此$\overset{\frown}{BF}$的度数也为$40°$；
4. $∠ EDB$是$\overset{\frown}{BF}$所对的圆周角，因此$∠ EDB=\frac{1}{2}×40°=20°$；
5. $∠ ABD$是$△ EBD$的外角，根据三角形外角性质：外角等于不相邻两个内角的和，得$∠ ABD=∠ E+∠ EDB$；
6. 代入数值计算：$∠ E=90°-20°=70°$。
【答案】
$70°$
【知识点】
圆周角定理；直径的圆周角性质；三角形外角性质
【点评】
本题是圆周角章节的典型题型，核心考查圆周角相关定理与三角形性质的综合应用，解题关键是合理添加辅助线BD构造直角，将待求角和已知角通过等弧的性质建立关联。
【难度系数】
0.7
9.如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$，点E在$\overset{\frown}{AD}$上。若$∠ ABC=\frac{3}{2}∠ E$，则$\overset{\frown}{CD}$的度数为
$144°$
。答案
9. $144°$
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：第一步先设$∠ E$的度数为$x$，结合已知条件表示出$∠ ABC$的度数；第二步根据圆周角定理，分别表示出$\overset{\frown}{AC}$和$\overset{\frown}{BC}$的度数；第三步利用AB是直径，可知$\overset{\frown}{AC}$与$\overset{\frown}{BC}$的度数和为$180°$，据此列方程求解$x$的值；第四步根据垂径定理，由$CD⊥ AB$可得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，即可求出$\overset{\frown}{CD}$的度数。
【解析】
设$∠ E=x$，则由题意得$∠ ABC=\frac{3}{2}x$。
1. 根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，
$∠ E$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，故$\overset{\frown}{BC}$的度数为$2∠ E=2x$；
$∠ ABC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，故$\overset{\frown}{AC}$的度数为$2∠ ABC=2×\frac{3}{2}x=3x$。
2. 因为AB是$\odot O$的直径，半圆的度数为$180°$，因此$\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BC}=180°$，
代入得$3x+2x=180°$，解得$x=36°$，因此$\overset{\frown}{BC}$的度数为$2×36°=72°$。
3. 因为弦$CD⊥ AB$，AB是$\odot O$的直径，根据垂径定理，AB平分$\overset{\frown}{CD}$，即$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
因此$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{BD}=72°+72°=144°$。
【答案】
$144°$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆周角定理和垂径定理结合考查，解题的核心是利用直径对应半圆为$180°$建立方程求出未知角的度数，熟练掌握圆的相关性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下思路推导：第一步先设$∠ E$的度数为$x$，结合已知条件表示出$∠ ABC$的度数；第二步根据圆周角定理，分别表示出$\overset{\frown}{AC}$和$\overset{\frown}{BC}$的度数；第三步利用AB是直径，可知$\overset{\frown}{AC}$与$\overset{\frown}{BC}$的度数和为$180°$，据此列方程求解$x$的值；第四步根据垂径定理，由$CD⊥ AB$可得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，即可求出$\overset{\frown}{CD}$的度数。
【解析】
设$∠ E=x$，则由题意得$∠ ABC=\frac{3}{2}x$。
1. 根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，
$∠ E$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，故$\overset{\frown}{BC}$的度数为$2∠ E=2x$；
$∠ ABC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，故$\overset{\frown}{AC}$的度数为$2∠ ABC=2×\frac{3}{2}x=3x$。
2. 因为AB是$\odot O$的直径，半圆的度数为$180°$，因此$\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BC}=180°$，
代入得$3x+2x=180°$，解得$x=36°$，因此$\overset{\frown}{BC}$的度数为$2×36°=72°$。
3. 因为弦$CD⊥ AB$，AB是$\odot O$的直径，根据垂径定理，AB平分$\overset{\frown}{CD}$，即$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
因此$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{BD}=72°+72°=144°$。
【答案】
$144°$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆周角定理和垂径定理结合考查，解题的核心是利用直径对应半圆为$180°$建立方程求出未知角的度数，熟练掌握圆的相关性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.6
10. 如图，已知点A，B在圆上，以AB为边在圆内作正方形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹。
(1)在图1中作出圆的一条直径；
(2)在图2中作出圆内接正方形，并说明理由。
(1)在图1中作出圆的一条直径；
(2)在图2中作出圆内接正方形，并说明理由。
答案
(1)如图1,线段AD即为所求 (2)如图2,正方形BEFG即为所求
解析
【分析】
(1) 作圆的直径可依据圆周角定理：90°的圆周角所对的弦是直径。我们可以利用正方形内角为90°的性质构造90°圆周角：延长正方形的边BC与圆交于点D，此时∠ABD为正方形的内角，等于90°，它所对的弦AD就是圆的直径。
(2) 圆内接正方形的对角线是圆的两条互相垂直、相等的直径。首先用(1)的方法作出一条直径，再用相同方法得到另一条直径，两条直径的交点即为圆心；过圆心作与第一条直径垂直的第二条直径，顺次连接两条直径的四个端点，得到的四边形对角线互相垂直平分且相等，符合正方形的判定条件。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 延长正方形的边BC，交圆于点D；
② 连接AD。
依据：正方形内角为90°，即∠ABD=90°，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，因此AD为圆的直径。
(2) 作图步骤：
① 用(1)的方法作出直径AD，再延长正方形与BC平行的边交圆于F，连接BF得到另一条直径，两条直径交点为圆心O；
② 过O作直径EG⊥AD，交圆于E、G两点；
③ 顺次连接B、E、F、G。
理由：EG、BF均为圆的直径，因此EG=BF且互相平分于O，又EG⊥BF，根据“对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形”，可得四边形BEFG是圆内接正方形。
【答案】
(1) 如图1,线段AD即为所求
(2) 如图2,正方形BEFG即为所求
【知识点】
圆周角定理，正方形的性质与判定，无刻度直尺作图
【点评】
本题考查几何无刻度作图，解题关键是灵活运用圆周角定理和正方形的性质，通过构造90°圆周角确定直径，再利用直径的特征构造圆内接正方形，能有效考查学生对几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 作圆的直径可依据圆周角定理：90°的圆周角所对的弦是直径。我们可以利用正方形内角为90°的性质构造90°圆周角：延长正方形的边BC与圆交于点D，此时∠ABD为正方形的内角，等于90°，它所对的弦AD就是圆的直径。
(2) 圆内接正方形的对角线是圆的两条互相垂直、相等的直径。首先用(1)的方法作出一条直径，再用相同方法得到另一条直径，两条直径的交点即为圆心；过圆心作与第一条直径垂直的第二条直径，顺次连接两条直径的四个端点，得到的四边形对角线互相垂直平分且相等，符合正方形的判定条件。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 延长正方形的边BC，交圆于点D；
② 连接AD。
依据：正方形内角为90°，即∠ABD=90°，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，因此AD为圆的直径。
(2) 作图步骤：
① 用(1)的方法作出直径AD，再延长正方形与BC平行的边交圆于F，连接BF得到另一条直径，两条直径交点为圆心O；
② 过O作直径EG⊥AD，交圆于E、G两点；
③ 顺次连接B、E、F、G。
理由：EG、BF均为圆的直径，因此EG=BF且互相平分于O，又EG⊥BF，根据“对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形”，可得四边形BEFG是圆内接正方形。
【答案】
(1) 如图1,线段AD即为所求
(2) 如图2,正方形BEFG即为所求
【知识点】
圆周角定理，正方形的性质与判定，无刻度直尺作图
【点评】
本题考查几何无刻度作图，解题关键是灵活运用圆周角定理和正方形的性质，通过构造90°圆周角确定直径，再利用直径的特征构造圆内接正方形，能有效考查学生对几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
