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30.1 如图30-1①，将$\mathrm{Rt}△ ABC$的顶点$C$放在$\odot O$上，边$BC$与$\odot O$相切于点$C$，边$AC$与$\odot O$交于点$D$。已知$∠ BCA=60°$，$∠ B=90°$，$BC=6$，$\odot O$的直径为$8$。
（1）如图30-1①，过点$O$作$OM⊥ CD$，垂足为$M$，求$CM$的长度。
（2）从图30-1①的位置开始，将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转，设旋转角为$α(0°≤α≤360°)$。
①如图30-1②，当$AC$经过圆心$O$时，试判断$AB$与$\odot O$之间的位置关系，并说明理由；
②在旋转过程中，直接写出点$O$到边$AB$的距离$h$的取值范围。
（1）如图30-1①，过点$O$作$OM⊥ CD$，垂足为$M$，求$CM$的长度。
（2）从图30-1①的位置开始，将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转，设旋转角为$α(0°≤α≤360°)$。
①如图30-1②，当$AC$经过圆心$O$时，试判断$AB$与$\odot O$之间的位置关系，并说明理由；
②在旋转过程中，直接写出点$O$到边$AB$的距离$h$的取值范围。
答案
30.1 解：（1）
连接OC.∵边BC与⊙O相切于点C，
∴∠OCB=90°.
又∠BCA=60°，
∴∠OCM=30°.
∵⊙O的直径为8，
∴OC=4.
∴OM=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$×4=2.
∵OM⊥CD，
∴∠OMC=90°.
在Rt△OMC中，
CM=$\sqrt{OC^2-OM^2}$=$\sqrt{4^2-2^2}$=2$\sqrt{3}$.
（2）①AB与⊙O相切. 理由如下：
过点O作OF⊥AB于点F.∵∠BCA=60°，∠B=90°，
∴∠A=30°.
∴AC=2BC=2×6=12.
∵⊙O的直径为8，
∴CO=4.
∴AO=8.
∴OF=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$×8=4=OC.
∴AB与⊙O相切.
②在旋转过程中，h的取值范围为2≤h≤10.
解析
【分析】
（1）求CM的长度，首先连接OC，利用切线的性质得到∠OCB=90°，结合已知∠BCA=60°可推出∠OCM=30°；由圆的直径为8得半径OC=4，在Rt△OMC中，先根据含30°角的直角三角形的性质求出OM的长度，再用勾股定理即可计算出CM的长度。
（2）①判断AB与⊙O的位置关系，只需比较圆心O到AB的距离和圆半径的大小：过O作OF⊥AB于F，先根据Rt△ABC的角度和边长求出AC=12，当AC经过圆心O时，求出AO的长度，再利用含30°角的直角三角形的性质求出OF的长度，发现OF等于半径，即可判定AB与⊙O相切。
②△ABC绕点C旋转时，OC长度恒为4，即点O在以C为圆心、半径为4的圆上运动；又因为∠B=90°，BC⊥AB，故点C到AB的距离恒为BC=6，因此点O到AB的距离h的最大值为6+4=10，最小值为6-4=2，即可得到h的取值范围。
【解析】
（1） 连接OC.
∵边BC与⊙O相切于点C，
∴∠OCB=90°.
又∠BCA=60°，
∴∠OCM=30°.
∵⊙O的直径为8，
∴OC=4.
∴OM=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$×4=2.
∵OM⊥CD，
∴∠OMC=90°.
在Rt△OMC中，
CM=$\sqrt{OC^2-OM^2}$=$\sqrt{4^2-2^2}$=2$\sqrt{3}$.
（2）①AB与⊙O相切. 理由如下：
过点O作OF⊥AB于点F.
∵∠BCA=60°，∠B=90°，
∴∠A=30°.
∴AC=2BC=2×6=12.
∵⊙O的直径为8，
∴CO=4.
∴AO=8.
∴OF=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$×8=4=OC.
∴AB与⊙O相切.
②在旋转过程中，h的取值范围为2≤h≤10.
【答案】
（1）$CM=2\sqrt{3}$；
（2）①AB与$\odot O$相切；②$2≤ h≤10$
【知识点】
切线的判定与性质；含30°角的直角三角形性质；旋转的性质
【点评】
本题是圆、三角形与旋转结合的综合题，解题时需要合理构造辅助线，结合切线、直角三角形的相关性质逐步推导，求解距离范围时要明确动点的运动规律，考查综合运用几何知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
（1）求CM的长度，首先连接OC，利用切线的性质得到∠OCB=90°，结合已知∠BCA=60°可推出∠OCM=30°；由圆的直径为8得半径OC=4，在Rt△OMC中，先根据含30°角的直角三角形的性质求出OM的长度，再用勾股定理即可计算出CM的长度。
（2）①判断AB与⊙O的位置关系，只需比较圆心O到AB的距离和圆半径的大小：过O作OF⊥AB于F，先根据Rt△ABC的角度和边长求出AC=12，当AC经过圆心O时，求出AO的长度，再利用含30°角的直角三角形的性质求出OF的长度，发现OF等于半径，即可判定AB与⊙O相切。
②△ABC绕点C旋转时，OC长度恒为4，即点O在以C为圆心、半径为4的圆上运动；又因为∠B=90°，BC⊥AB，故点C到AB的距离恒为BC=6，因此点O到AB的距离h的最大值为6+4=10，最小值为6-4=2，即可得到h的取值范围。
【解析】
（1）
连接OC.∵边BC与⊙O相切于点C，
∴∠OCB=90°.
又∠BCA=60°，
∴∠OCM=30°.
∵⊙O的直径为8，
∴OC=4.
∴OM=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$×4=2.
∵OM⊥CD，
∴∠OMC=90°.
在Rt△OMC中，
CM=$\sqrt{OC^2-OM^2}$=$\sqrt{4^2-2^2}$=2$\sqrt{3}$.
（2）①AB与⊙O相切. 理由如下：
过点O作OF⊥AB于点F.∵∠BCA=60°，∠B=90°，
∴∠A=30°.
∴AC=2BC=2×6=12.
∵⊙O的直径为8，
∴CO=4.
∴AO=8.
∴OF=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$×8=4=OC.
∴AB与⊙O相切.
②在旋转过程中，h的取值范围为2≤h≤10.
【答案】
（1）$CM=2\sqrt{3}$；
（2）①AB与$\odot O$相切；②$2≤ h≤10$
【知识点】
切线的判定与性质；含30°角的直角三角形性质；旋转的性质
【点评】
本题是圆、三角形与旋转结合的综合题，解题时需要合理构造辅助线，结合切线、直角三角形的相关性质逐步推导，求解距离范围时要明确动点的运动规律，考查综合运用几何知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
30.2 如图30-2，这是一张三角形纸片ABC，$\odot O$为它的内切圆，小悦沿着与$\odot O$相切的DE剪下了一个三角形纸片BDE，已知$AC=4\ \mathrm{cm}$，$AB=6\ \mathrm{cm}$，$BC=5\ \mathrm{cm}$，求三角形纸片BDE的周长。
答案
30.2 解：
设切点分别为M，N，P，R.设BM=BN=x cm，则AM=AP=(6-x)cm，CN=CP=(5-x)cm.
由AP+CP=AC，得(6-x)+(5-x)=4，解得x=$\frac{7}{2}$.
∴BM=BN=$\frac{7}{2}$ cm.
∵DM=DR，EN=ER，
∴DE=DM+EN，
∴三角形纸片BDE的周长为BD+BE+DE=BD+BE+DM+EN=BM+BN=2×$\frac{7}{2}$=7（cm）.
解析
【分析】
解题时可依据切线长定理分析：首先设△ABC的内切圆与各边的切点，根据切线长定理用同一未知数表示出从B、A、C三点出发的切线长，结合AC的长度列方程求出点B到内切圆的两条切线的长度；再利用DE与圆相切的性质，将△BDE的周长通过切线长相等做等量代换，转化为B点引出的两条切线长之和，即可求出周长。
【解析】
设$\odot O$与AB、BC、AC的切点分别为M、N、P，与DE的切点为R。
根据切线长定理可得：$BM=BN$，$AM=AP$，$CN=CP$，$DM=DR$，$EN=ER$。
设$BM=BN=x\ \mathrm{cm}$，则$AM=AP=(6-x)\ \mathrm{cm}$，$CN=CP=(5-x)\ \mathrm{cm}$。
已知$AP+CP=AC=4\ \mathrm{cm}$，代入得：
$(6-x)+(5-x)=4$
解得$x=\frac{7}{2}$，即$BM=BN=\frac{7}{2}\ \mathrm{cm}$。
又$DE=DR+ER=DM+EN$，因此△BDE的周长为：
$BD+BE+DE=BD+BE+DM+EN=BM+BN=2×\frac{7}{2}=7\ \mathrm{cm}$
【答案】
三角形纸片BDE的周长为7 cm。
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆，周长计算
【点评】
本题是圆与三角形结合的常规应用题，核心考查切线长定理的灵活运用，解题关键是通过切线长相等对所求周长进行等量转化，无需单独计算小三角形各边长度，有效简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
解题时可依据切线长定理分析：首先设△ABC的内切圆与各边的切点，根据切线长定理用同一未知数表示出从B、A、C三点出发的切线长，结合AC的长度列方程求出点B到内切圆的两条切线的长度；再利用DE与圆相切的性质，将△BDE的周长通过切线长相等做等量代换，转化为B点引出的两条切线长之和，即可求出周长。
【解析】
设$\odot O$与AB、BC、AC的切点分别为M、N、P，与DE的切点为R。
根据切线长定理可得：$BM=BN$，$AM=AP$，$CN=CP$，$DM=DR$，$EN=ER$。
设$BM=BN=x\ \mathrm{cm}$，则$AM=AP=(6-x)\ \mathrm{cm}$，$CN=CP=(5-x)\ \mathrm{cm}$。
已知$AP+CP=AC=4\ \mathrm{cm}$，代入得：
$(6-x)+(5-x)=4$
解得$x=\frac{7}{2}$，即$BM=BN=\frac{7}{2}\ \mathrm{cm}$。
又$DE=DR+ER=DM+EN$，因此△BDE的周长为：
$BD+BE+DE=BD+BE+DM+EN=BM+BN=2×\frac{7}{2}=7\ \mathrm{cm}$
【答案】
三角形纸片BDE的周长为7 cm。【知识点】
切线长定理，三角形内切圆，周长计算
【点评】
本题是圆与三角形结合的常规应用题，核心考查切线长定理的灵活运用，解题关键是通过切线长相等对所求周长进行等量转化，无需单独计算小三角形各边长度，有效简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
30.3 活动与探究
解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的？
蜜蜂的蜂房是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点儿也不浪费空间. 这是数学中的密铺（或镶嵌）问题. 平面图形的密铺（或镶嵌）是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片.
探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺？
（1）请补全上述表格.
探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料？
将蜜蜂的卵看成圆柱，若圆柱底面圆的半径为1，当蜂房恰好容纳一枚卵，即正多边形的内切圆半径均为1时，比较正三角形、正方形和正六边形周长的大小.
如图30-3①，$\odot O$是正三角形$ABC$的内切圆，与$AC$相切于点$D$，$OD⊥ AC$，$∠ OAD=30°$，$OD=1$，在$\mathrm{Rt}△ ADO$中，$AD=\sqrt{3}$，则$△ ABC$的周长为$6\sqrt{3}$.
（2）如图30-3②，正方形$ABCD$的周长为
（3）如图30-3③，求出正六边形的周长.（写出求解过程）
探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大？
假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小.
（4）若正多边形的周长都为12，则正三角形的面积为
综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，是建造蜂房的最优方案.
图30-3
解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的？
蜜蜂的蜂房是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点儿也不浪费空间. 这是数学中的密铺（或镶嵌）问题. 平面图形的密铺（或镶嵌）是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片.
探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺？
（1）请补全上述表格.
探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料？
将蜜蜂的卵看成圆柱，若圆柱底面圆的半径为1，当蜂房恰好容纳一枚卵，即正多边形的内切圆半径均为1时，比较正三角形、正方形和正六边形周长的大小.
如图30-3①，$\odot O$是正三角形$ABC$的内切圆，与$AC$相切于点$D$，$OD⊥ AC$，$∠ OAD=30°$，$OD=1$，在$\mathrm{Rt}△ ADO$中，$AD=\sqrt{3}$，则$△ ABC$的周长为$6\sqrt{3}$.
（2）如图30-3②，正方形$ABCD$的周长为
8
.（3）如图30-3③，求出正六边形的周长.（写出求解过程）
探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大？
假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小.
（4）若正多边形的周长都为12，则正三角形的面积为
4√3
；正方形的面积为9
；正六边形的面积为6√3
.综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，是建造蜂房的最优方案.
图30-3
答案
30.3 解：（1）①90° ②360°÷90°=4
③360°÷135°=$\frac{8}{3}$ ④不能
（2）8
（3）
设AB与⊙O相切于点G，连接OG，OA，OB，则OG⊥AB，OA=OB，
∴AG=BG=$\frac{1}{2}$AB.
∵∠AOB=$\frac{360°}{6}$=60°，
∴∠AOG=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°.
∴OA=2AG.
在Rt△AOG中，AG²+OG²=OA².
∴AG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∴AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
∴正六边形的周长为4$\sqrt{3}$.
（4）4$\sqrt{3}$ 9 6$\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题思路：本题围绕正多边形密铺及正多边形的相关计算展开：①探究一的核心是密铺的判定条件：同一拼接点处几个正多边形的内角和为360°，因此只需计算正多边形内角，判断360°是否为该内角的整数倍即可；②探究二已知内切圆半径为1，求正多边形周长，需结合正多边形的中心、内切圆半径构成的直角三角形，利用勾股定理或特殊角的性质计算边长，再求周长；③探究三已知周长为12，分别计算三种正多边形的面积，对比大小即可得出结论。
【解析】
（1）探究一补全表格：①正四边形（正方形）的内角为90°；②360°÷90°=4，因此正方形可密铺；③正八边形内角为135°，360°÷135°=$\frac{8}{3}$，结果不是整数；④因此正八边形不能单独密铺。
（2）正方形内切圆半径为1，可知正方形边长为内切圆直径，即边长=2×1=2，因此周长=4×2=8。
（3） 设AB与⊙O相切于点G，连接OG，OA，OB，
则OG⊥AB，OA=OB，
∴AG=BG=$\frac{1}{2}$AB。
∵∠AOB=$\frac{360°}{6}$=60°，
∴∠AOG=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°。
∴OA=2AG。
在Rt△AOG中，AG²+OG²=OA²。
∴AG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$。
∴AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
∴正六边形的周长为$6×\frac{2\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$。
（4）①正三角形周长为12，边长为$12÷3=4$，面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×4^2=4\sqrt{3}$；
②正方形周长为12，边长为$12÷4=3$，面积为$3^2=9$；
③正六边形周长为12，边长为$12÷6=2$，可拆分为6个边长为2的等边三角形，总面积为$6×\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=6\sqrt{3}$。
【答案】
（1）①90° ②360°÷90°=4 ③360°÷135°=$\frac{8}{3}$ ④不能
（2）8
（3） 正六边形的周长为$4\sqrt{3}$，求解过程见解析
（4）$4\sqrt{3}$；$9$；$6\sqrt{3}$
【知识点】
平面图形的密铺，正多边形计算，解直角三角形
【点评】
本题以蜂房的正六边形结构为背景，将几何知识和生活实际相结合，从密铺可行性、耗材多少、活动空间大小三个角度展开探究，既考查了正多边形相关的基础计算，也能让学生体会数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
解题思路：本题围绕正多边形密铺及正多边形的相关计算展开：①探究一的核心是密铺的判定条件：同一拼接点处几个正多边形的内角和为360°，因此只需计算正多边形内角，判断360°是否为该内角的整数倍即可；②探究二已知内切圆半径为1，求正多边形周长，需结合正多边形的中心、内切圆半径构成的直角三角形，利用勾股定理或特殊角的性质计算边长，再求周长；③探究三已知周长为12，分别计算三种正多边形的面积，对比大小即可得出结论。
【解析】
（1）探究一补全表格：①正四边形（正方形）的内角为90°；②360°÷90°=4，因此正方形可密铺；③正八边形内角为135°，360°÷135°=$\frac{8}{3}$，结果不是整数；④因此正八边形不能单独密铺。
（2）正方形内切圆半径为1，可知正方形边长为内切圆直径，即边长=2×1=2，因此周长=4×2=8。
（3）
设AB与⊙O相切于点G，连接OG，OA，OB，则OG⊥AB，OA=OB，
∴AG=BG=$\frac{1}{2}$AB。
∵∠AOB=$\frac{360°}{6}$=60°，
∴∠AOG=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°。
∴OA=2AG。
在Rt△AOG中，AG²+OG²=OA²。
∴AG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$。
∴AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
∴正六边形的周长为$6×\frac{2\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$。
（4）①正三角形周长为12，边长为$12÷3=4$，面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×4^2=4\sqrt{3}$；
②正方形周长为12，边长为$12÷4=3$，面积为$3^2=9$；
③正六边形周长为12，边长为$12÷6=2$，可拆分为6个边长为2的等边三角形，总面积为$6×\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=6\sqrt{3}$。
【答案】
（1）①90° ②360°÷90°=4 ③360°÷135°=$\frac{8}{3}$ ④不能
（2）8
（3）
正六边形的周长为$4\sqrt{3}$，求解过程见解析（4）$4\sqrt{3}$；$9$；$6\sqrt{3}$
【知识点】
平面图形的密铺，正多边形计算，解直角三角形
【点评】
本题以蜂房的正六边形结构为背景，将几何知识和生活实际相结合，从密铺可行性、耗材多少、活动空间大小三个角度展开探究，既考查了正多边形相关的基础计算，也能让学生体会数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
