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7. 如图5，将一个三角板的$60°$角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，已知$∠1 = 28°20'$，则$∠2$的大小是（）
A.$31°40'$
B.$57°40'$
C.$58°20'$
D.$62°20'$
A.$31°40'$
B.$57°40'$
C.$58°20'$
D.$62°20'$
答案
C
解析
由题意可知，点A处重合的两个角分别为直角90°和60°，设两个角重叠的公共部分为∠α，可得：
∠1 + ∠α = 60°，∠α + ∠2 = 90°
将两式整理得：∠2 = 90° - ∠α = 90° - (60° - ∠1) = 30° + ∠1
代入∠1=28°20'，计算得∠2=30°+28°20'=58°20'
∠1 + ∠α = 60°，∠α + ∠2 = 90°
将两式整理得：∠2 = 90° - ∠α = 90° - (60° - ∠1) = 30° + ∠1
代入∠1=28°20'，计算得∠2=30°+28°20'=58°20'
8. 有公共端点O的两条线段MO,NO组成一条折线M-O-N,若折线M-O-N上一点P把这条折线分成相等的两部分,我们把点P叫作这条折线的“折中点”。已知点D是折线A-C-B的“折中点”,E为线段AC的中点,CD=3,CE=5,则线段BC的长是 ()
A.4
B.16
C.4或16
D.8或16
A.4
B.16
C.4或16
D.8或16
答案
C
解析
1. 已知E为线段AC的中点，CE=5，因此$AC=2CE=10$。
2. 分两种情况讨论点D的位置：
情况1：点D在线段AC上：
由CD=3，得$AD=AC-CD=10-3=7$。根据“折中点”定义，折线A-C-B总长度的一半等于AD的长度，即$\frac{AC+BC}{2}=7$，代入AC=10，解得$BC=4$。
情况2：点D在线段BC上：
由CD=3，得从A沿折线到D的长度为$AC+CD=10+3=13$。根据“折中点”定义，$\frac{AC+BC}{2}=13$，代入AC=10，解得$BC=16$。
综上，线段BC的长是4或16。
2. 分两种情况讨论点D的位置：
情况1：点D在线段AC上：
由CD=3，得$AD=AC-CD=10-3=7$。根据“折中点”定义，折线A-C-B总长度的一半等于AD的长度，即$\frac{AC+BC}{2}=7$，代入AC=10，解得$BC=4$。
情况2：点D在线段BC上：
由CD=3，得从A沿折线到D的长度为$AC+CD=10+3=13$。根据“折中点”定义，$\frac{AC+BC}{2}=13$，代入AC=10，解得$BC=16$。
综上，线段BC的长是4或16。
二、填空题(每小题3分,共18分)
9. 平面内有不在同一条直线上的A,B,C三点,过其中两点画射线,一共可以画条。
9. 平面内有不在同一条直线上的A,B,C三点,过其中两点画射线,一共可以画条。
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
解：
平面内不在同一直线上的A、B、C三点，两两配对共有3组不同的两点组合。
对任意一组两点，都可以分别以这两个点为端点，画出经过另一个点的2条射线。
总射线数量为 $3 × 2 = 6$。
平面内不在同一直线上的A、B、C三点，两两配对共有3组不同的两点组合。
对任意一组两点，都可以分别以这两个点为端点，画出经过另一个点的2条射线。
总射线数量为 $3 × 2 = 6$。
10. 已知A,B,C三点在同一条直线上,则从①$AC+BC=AB$,②$AC=\frac{1}{2}AB$,③$AC=BC$,④$AB=2BC$中可以判断C是线段AB的中点的是。(填序号)
答案
解：
① 若$AC+BC=AB$，说明点C是线段AB上任意一点，无法判定C是线段AB的中点；
② 若$AC=\frac{1}{2}AB$，点C可能在AB的延长线上，无法判定C是线段AB的中点；
③ 已知A,B,C三点在同一条直线上，$AC=BC$，说明点C在线段AB上，且到A、B的距离相等，可判定C是线段AB的中点；
④ 若$AB=2BC$，点C可能在AB的延长线上，无法判定C是线段AB的中点。
综上，可以判断C是线段AB的中点的是$\boldsymbol{③}$。
① 若$AC+BC=AB$，说明点C是线段AB上任意一点，无法判定C是线段AB的中点；
② 若$AC=\frac{1}{2}AB$，点C可能在AB的延长线上，无法判定C是线段AB的中点；
③ 已知A,B,C三点在同一条直线上，$AC=BC$，说明点C在线段AB上，且到A、B的距离相等，可判定C是线段AB的中点；
④ 若$AB=2BC$，点C可能在AB的延长线上，无法判定C是线段AB的中点。
综上，可以判断C是线段AB的中点的是$\boldsymbol{③}$。
11. 北京大兴国际机场采用“三纵一横”全向型跑道构型，可节省飞机飞行时间，遇极端天气侧向跑道可提升机场运行能力。跑道的布局为：三条南北向的跑道和一条偏东南走向的侧向跑道。如图6，侧向跑道AB在点O南偏东70°的方向上，则这条跑道所在射线OB与正北方向所成角的度数为。
答案
$\boldsymbol{110°}$
解析
解：正北方向与正南方向在过点O的同一条直线上，构成平角，度数为180°。
由题意可知，射线OB与正南方向的夹角为70°，
因此射线OB与正北方向所成角的度数为：
$180° - 70° = 110°$
最终
由题意可知，射线OB与正南方向的夹角为70°，
因此射线OB与正北方向所成角的度数为：
$180° - 70° = 110°$
最终
12. 如图7，$∠ AOB = 90°$，$∠ AOC = 40°$，OD平分$∠ BOC$，则$∠ AOD = \_\_\_\_\_\_°$
答案
$\boldsymbol{65}$
解析
解：
∵ ∠AOB = 90°，∠AOC = 40°
∴ ∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 90° - 40° = 50°
∵ OD平分∠BOC
∴ ∠COD = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×50° = 25°
∴ ∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 40° + 25° = 65°
∵ ∠AOB = 90°，∠AOC = 40°
∴ ∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 90° - 40° = 50°
∵ OD平分∠BOC
∴ ∠COD = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×50° = 25°
∴ ∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 40° + 25° = 65°
13.若扇形的圆心角为$120°$,半径为6,则该扇形的面积为。。
答案
$\boldsymbol{12π}$
解析
解：扇形面积公式为$S=\frac{n}{360°}·π r^2$，
将$n=120°$，$r=6$代入公式：
$S=\frac{120°}{360°}×π×6^2$
$=\frac{1}{3}×π×36$
$=12π$
将$n=120°$，$r=6$代入公式：
$S=\frac{120°}{360°}×π×6^2$
$=\frac{1}{3}×π×36$
$=12π$
14.在同一平面内，$∠ AOB=30°$,射线OC在$∠ AOB$的外部，OD平分$∠ AOC$,若$∠ BOD=40°$,则$∠ AOC$的度数为。
答案
解：分两种情况计算：
① 当射线OB位于∠AOD内部时：
∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = 30° + 40° = 70°
因为OD平分∠AOC，
所以∠AOC = 2∠AOD = 2×70° = 140°
② 当射线OA位于∠BOD内部时：
∠AOD = ∠BOD - ∠AOB = 40° - 30° = 10°
因为OD平分∠AOC，
所以∠AOC = 2∠AOD = 2×10° = 20°
综上，∠AOC的度数为20°或140°。
① 当射线OB位于∠AOD内部时：
∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = 30° + 40° = 70°
因为OD平分∠AOC，
所以∠AOC = 2∠AOD = 2×70° = 140°
② 当射线OA位于∠BOD内部时：
∠AOD = ∠BOD - ∠AOB = 40° - 30° = 10°
因为OD平分∠AOC，
所以∠AOC = 2∠AOD = 2×10° = 20°
综上，∠AOC的度数为20°或140°。
