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1.若等腰三角形ABC的一个角是$80°$,则它的底角是(
A.$80°$或$50°$
B.$80°$
C.$50°$
D.$20°$或$50°$
A
).A.$80°$或$50°$
B.$80°$
C.$50°$
D.$20°$或$50°$
答案
1. A
解析
【分析】
这道题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，解题关键是注意题干未明确80°角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论求解：第一步先假设80°为顶角，结合等腰三角形两底角相等和内角和180°计算底角；第二步假设80°为底角，验证是否符合三角形内角和要求；最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，分两种情况计算：
① 若80°的角是顶角，则底角度数为$\frac{180°-80°}{2}=50°$；
② 若80°的角是底角，此时另一个底角也为80°，顶角为$180°-80°×2=20°$，符合三角形内角和规则。
因此等腰三角形ABC的底角为80°或50°。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，很多学生容易忽略未明确角的类型，只考虑一种情况导致漏解。遇到等腰三角形求角度的问题时，只要没有明确说明已知角是顶角还是底角，都要分情况讨论，同时要验证所得角度是否符合三角形内角和要求。
【难度系数】
0.7
这道题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，解题关键是注意题干未明确80°角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论求解：第一步先假设80°为顶角，结合等腰三角形两底角相等和内角和180°计算底角；第二步假设80°为底角，验证是否符合三角形内角和要求；最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，分两种情况计算：
① 若80°的角是顶角，则底角度数为$\frac{180°-80°}{2}=50°$；
② 若80°的角是底角，此时另一个底角也为80°，顶角为$180°-80°×2=20°$，符合三角形内角和规则。
因此等腰三角形ABC的底角为80°或50°。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，很多学生容易忽略未明确角的类型，只考虑一种情况导致漏解。遇到等腰三角形求角度的问题时，只要没有明确说明已知角是顶角还是底角，都要分情况讨论，同时要验证所得角度是否符合三角形内角和要求。
【难度系数】
0.7
2. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是$AC$上一点，且$BC=BD$，若$∠ CBD=46°$，则$∠ A$的度数为
46°
。答案
2. 46°
解析
【分析】
解题时先观察到图中有两个等腰三角形△BCD和△ABC，我们可以从已知角所在的△BCD入手：首先根据等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和定理求出∠C的度数；再利用△ABC是等腰三角形得到∠ABC=∠C，最后再次用三角形内角和定理即可求出顶角∠A的度数。
【解析】
解：
∵BC=BD，
∴△BCD为等腰三角形，∠C=∠BDC
在△BCD中，根据三角形内角和为180°：
$∠ C = (180° - ∠ CBD) ÷ 2 = (180° - 46°) ÷ 2 = 67°$
又
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，$∠ ABC = ∠ C = 67°$
在△ABC中，$∠ A = 180° - ∠ ABC - ∠ C = 180° - 67° × 2 = 46°$
【答案】
46°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形与三角形内角和的综合基础题，解题的关键是找准等腰三角形对应的相等的角，理清角之间的数量关系，逐步推导求解，这类题型是三角形章节的高频考点。
【难度系数】
0.8
解题时先观察到图中有两个等腰三角形△BCD和△ABC，我们可以从已知角所在的△BCD入手：首先根据等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和定理求出∠C的度数；再利用△ABC是等腰三角形得到∠ABC=∠C，最后再次用三角形内角和定理即可求出顶角∠A的度数。
【解析】
解：
∵BC=BD，
∴△BCD为等腰三角形，∠C=∠BDC
在△BCD中，根据三角形内角和为180°：
$∠ C = (180° - ∠ CBD) ÷ 2 = (180° - 46°) ÷ 2 = 67°$
又
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，$∠ ABC = ∠ C = 67°$
在△ABC中，$∠ A = 180° - ∠ ABC - ∠ C = 180° - 67° × 2 = 46°$
【答案】
46°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形与三角形内角和的综合基础题，解题的关键是找准等腰三角形对应的相等的角，理清角之间的数量关系，逐步推导求解，这类题型是三角形章节的高频考点。
【难度系数】
0.8
3.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.如图所示,借助“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在点O相连并可绕O转动,点C固定,$OC=CD=DE$,点D,E可在槽中滑动,若$∠ BDE=75°$,则$∠ O$的度数是(
A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
C
).A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
答案
3. C 解析 因为OC=CD=DE,所以∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC,所以∠DCE=∠O+∠ODC=2∠O. 因为∠O+∠OED=3∠O=∠BDE=75°,所以∠O=25°.
解析
【分析】
解题时首先根据题目给出的边相等的条件，利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到相等的角，再结合三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），逐步推导∠BDE和∠O的数量关系，最后代入已知角度计算即可。第一步：由OC=CD得出底角∠O和∠ODC相等，推导△OCD的外角∠DCE和∠O的倍数关系；第二步：由CD=DE得出∠DCE=∠DEC，得到∠DEC和∠O的倍数关系；第三步：分析∠BDE是△ODE的外角，推导∠BDE与∠O的倍数关系，代入数值求解。
【解析】
∵ OC=CD，
∴ ∠O=∠ODC（等腰三角形两底角相等），
∵ ∠DCE是△OCD的外角，
∴ ∠DCE=∠O+∠ODC=2∠O，
又
∵ CD=DE，
∴ ∠DCE=∠DEC=2∠O（等腰三角形两底角相等），
∵ ∠BDE是△ODE的外角，
∴ ∠BDE=∠O+∠DEC=∠O+2∠O=3∠O，
已知∠BDE=75°，即3∠O=75°，
解得∠O=25°。
【答案】
C
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 三角形外角的性质
【点评】
本题以古代三等分角的数学问题为背景，考查等腰三角形性质和三角形外角性质的综合运用，解题的核心是理清角之间的数量关系，通过等边对等角和外角性质建立待求角和已知角的联系，属于基础的几何应用类题目。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据题目给出的边相等的条件，利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到相等的角，再结合三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），逐步推导∠BDE和∠O的数量关系，最后代入已知角度计算即可。第一步：由OC=CD得出底角∠O和∠ODC相等，推导△OCD的外角∠DCE和∠O的倍数关系；第二步：由CD=DE得出∠DCE=∠DEC，得到∠DEC和∠O的倍数关系；第三步：分析∠BDE是△ODE的外角，推导∠BDE与∠O的倍数关系，代入数值求解。
【解析】
∵ OC=CD，
∴ ∠O=∠ODC（等腰三角形两底角相等），
∵ ∠DCE是△OCD的外角，
∴ ∠DCE=∠O+∠ODC=2∠O，
又
∵ CD=DE，
∴ ∠DCE=∠DEC=2∠O（等腰三角形两底角相等），
∵ ∠BDE是△ODE的外角，
∴ ∠BDE=∠O+∠DEC=∠O+2∠O=3∠O，
已知∠BDE=75°，即3∠O=75°，
解得∠O=25°。
【答案】
C
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 三角形外角的性质
【点评】
本题以古代三等分角的数学问题为背景，考查等腰三角形性质和三角形外角性质的综合运用，解题的核心是理清角之间的数量关系，通过等边对等角和外角性质建立待求角和已知角的联系，属于基础的几何应用类题目。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$为$BC$边上的中线,$∠ BAD = 25°$,$AE = AD$,求$∠ EDC$的度数.
答案
4. 解
∵在△ABC 中,AB=AC,AD为BC边上的中线,
∴AD平分∠BAC,且AD⊥BC,
∴∠DAC=∠BAD=25°,∠ADC=90°,
∵AE=AD,
∴∠ADE=$\frac{180°-∠DAC}{2}$=$\frac{180°-25°}{2}$=77.5°,
∴∠EDC = ∠ADC - ∠ADE = 90°-77.5°=12.5°.
∵在△ABC 中,AB=AC,AD为BC边上的中线,
∴AD平分∠BAC,且AD⊥BC,
∴∠DAC=∠BAD=25°,∠ADC=90°,
∵AE=AD,
∴∠ADE=$\frac{180°-∠DAC}{2}$=$\frac{180°-25°}{2}$=77.5°,
∴∠EDC = ∠ADC - ∠ADE = 90°-77.5°=12.5°.
解析
【分析】
首先从已知条件出发，看到△ABC中AB=AC，AD是BC边上的中线，优先联想到等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD同时是∠BAC的角平分线和BC边上的高，由此能先求出∠DAC和∠ADC的度数；再结合AE=AD的条件，可知△ADE是等腰三角形，利用三角形内角和定理可算出∠ADE的度数，最后通过∠EDC与∠ADC、∠ADE的差量关系即可求出∠EDC的度数。
【解析】
∵在△ABC中，$AB=AC$，$AD$为$BC$边上的中线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，$AD$平分$∠BAC$，且$AD⊥BC$，
∴$∠DAC=∠BAD=25°$，$∠ADC=90°$，
∵$AE=AD$，
∴△ADE为等腰三角形，根据三角形内角和为180°，
可得$∠ADE=\frac{180°-∠DAC}{2}=\frac{180°-25°}{2}=77.5°$，
∴$∠EDC = ∠ADC - ∠ADE = 90°-77.5°=12.5°$。
【答案】
$12.5°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，解题关键是熟练运用等腰三角形三线合一的性质确定角的关系，再结合等腰三角形内角的计算方法推导结果，梳理清楚各角之间的数量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7
首先从已知条件出发，看到△ABC中AB=AC，AD是BC边上的中线，优先联想到等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD同时是∠BAC的角平分线和BC边上的高，由此能先求出∠DAC和∠ADC的度数；再结合AE=AD的条件，可知△ADE是等腰三角形，利用三角形内角和定理可算出∠ADE的度数，最后通过∠EDC与∠ADC、∠ADE的差量关系即可求出∠EDC的度数。
【解析】
∵在△ABC中，$AB=AC$，$AD$为$BC$边上的中线，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，$AD$平分$∠BAC$，且$AD⊥BC$，
∴$∠DAC=∠BAD=25°$，$∠ADC=90°$，
∵$AE=AD$，
∴△ADE为等腰三角形，根据三角形内角和为180°，
可得$∠ADE=\frac{180°-∠DAC}{2}=\frac{180°-25°}{2}=77.5°$，
∴$∠EDC = ∠ADC - ∠ADE = 90°-77.5°=12.5°$。
【答案】
$12.5°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，解题关键是熟练运用等腰三角形三线合一的性质确定角的关系，再结合等腰三角形内角的计算方法推导结果，梳理清楚各角之间的数量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7
5.如图，在$△ ABC$中，$∠ C=25°$，$AD⊥ BC$，垂足为$D$，且$AB+BD=CD$，求$∠ BAC$的度数.
答案
5. 解 延长DB至点E,使BE=AB,连接AE,
∵AB+BD=CD,
∴BE+BD=CD,
即DE=CD,
∴∠C=∠E=25°.
∵BE=AB,
∴∠ABC=2∠E=50°,
∴∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°-25°-50°=105°.
解析
【分析】
本题存在线段和的条件$AB+BD=CD$，还有$AD⊥ BC$的垂直关系，可通过“截长补短”的思路构造辅助线解题：我们延长$DB$到点$E$，使$BE=AB$，就能把$AB+BD$转化为$DE$，结合已知可得$DE=CD$；再利用$AD⊥ BC$的条件可得$AE=AC$，推出$∠ E=∠ C$；之后根据$BE=AB$得到等腰$△ ABE$，结合外角性质求出$∠ ABC$的度数，最后用三角形内角和定理就能算出$∠ BAC$的度数。
【解析】
延长$DB$至点$E$，使$BE=AB$，连接$AE$，
$\because AB+BD=CD$，
$\therefore BE+BD=CD$，即$DE=CD$，
$\because AD⊥ BC$，
$\therefore AD$垂直平分$CE$，则$AE=AC$，
$\therefore ∠ E=∠ C=25°$，
$\because BE=AB$，
$\therefore ∠ BAE=∠ E=25°$，
$∠ ABC$是$△ ABE$的外角，因此$∠ ABC=∠ BAE+∠ E=2∠ E=50°$，
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ BAC=180°-∠ C-∠ ABC=180°-25°-50°=105°$。
【答案】
5. 解 延长DB至点E,使BE=AB,连接AE,
∵AB+BD=CD,
∴BE+BD=CD,
即DE=CD,
∴∠C=∠E=25°.
∵BE=AB,
∴∠ABC=2∠E=50°,
∴∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°-25°-50°=105°.
【知识点】
截长补短辅助线构造，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形线段和差类的典型题型，核心是掌握“截长补短”的辅助线构造方法，将线段和差关系转化为相等线段，再结合等腰三角形、三角形内角和等知识求解，这类辅助线构造方法在几何题中应用十分广泛，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
本题存在线段和的条件$AB+BD=CD$，还有$AD⊥ BC$的垂直关系，可通过“截长补短”的思路构造辅助线解题：我们延长$DB$到点$E$，使$BE=AB$，就能把$AB+BD$转化为$DE$，结合已知可得$DE=CD$；再利用$AD⊥ BC$的条件可得$AE=AC$，推出$∠ E=∠ C$；之后根据$BE=AB$得到等腰$△ ABE$，结合外角性质求出$∠ ABC$的度数，最后用三角形内角和定理就能算出$∠ BAC$的度数。
【解析】
延长$DB$至点$E$，使$BE=AB$，连接$AE$，
$\because AB+BD=CD$，
$\therefore BE+BD=CD$，即$DE=CD$，
$\because AD⊥ BC$，
$\therefore AD$垂直平分$CE$，则$AE=AC$，
$\therefore ∠ E=∠ C=25°$，
$\because BE=AB$，
$\therefore ∠ BAE=∠ E=25°$，
$∠ ABC$是$△ ABE$的外角，因此$∠ ABC=∠ BAE+∠ E=2∠ E=50°$，
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ BAC=180°-∠ C-∠ ABC=180°-25°-50°=105°$。
【答案】
5. 解 延长DB至点E,使BE=AB,连接AE,
∵AB+BD=CD,
∴BE+BD=CD,
即DE=CD,
∴∠C=∠E=25°.
∵BE=AB,
∴∠ABC=2∠E=50°,
∴∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°-25°-50°=105°.
【知识点】
截长补短辅助线构造，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形线段和差类的典型题型，核心是掌握“截长补短”的辅助线构造方法，将线段和差关系转化为相等线段，再结合等腰三角形、三角形内角和等知识求解，这类辅助线构造方法在几何题中应用十分广泛，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
6.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=10$,$BC=12$,$AD=8$,$AD$是$∠ BAC$的平分线.若$P$,$Q$分别是$AD$和$AC$上的动点,则$PC+PQ$的最小值是
9.6
.答案
6. 9.6 解析 因为AB=AC,AD是∠BAC的平分线,
所以AD垂直平分BC,
所以PB=PC.
所以PC+PQ=PB+PQ,
所以PB+PQ≥BQ.
根据垂线段最短可知当BQ⊥AC时,BQ的值最小,此时PB+PQ最小,即PC+PQ最小,如图所示.
因为 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}AC·BQ$,
所以 $BQ=\frac{BC·AD}{AC}=\frac{12×8}{10}=9.6$,
即 PC+PQ 的最小值是 9.6.
解析
【分析】
本题是求两条动线段和的最小值的几何问题，解题思路如下：首先，由AB=AC且AD是∠BAC的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，可推出AD垂直平分BC，因此AD上的点P到点B、C的距离相等，即PC=PB，可将PC+PQ转化为PB+PQ，把同侧线段求和问题转化为异侧线段求和问题；其次，要使PB+PQ最小，结合垂线段最短的性质，可知当B、P、Q三点共线且BQ⊥AC时，BQ的长度就是PB+PQ的最小值，即PC+PQ的最小值；最后，利用三角形面积的两种计算方式列等式，即可求出BQ的长度。
【解析】
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC（等腰三角形三线合一），
∵点P在AD上，
∴PB=PC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴PC+PQ=PB+PQ。
根据两点之间线段最短和垂线段最短的性质，当BQ⊥AC，且点P在BQ上时，PB+PQ取得最小值，最小值为BQ的长度，如图所示。
∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}AC·BQ$，
将BC=12，AD=8，AC=10代入得：
$\frac{1}{2}×12×8=\frac{1}{2}×10×BQ$，
解得$BQ=\frac{12×8}{10}=9.6$，
即PC+PQ的最小值为9.6。
【答案】
9.6
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题属于将军饮马模型的变形应用，解题的关键是通过几何性质完成线段的等价转化，将动线段和的最小值问题转化为定点到定直线的距离求解，同时考查了面积法求高的应用，对学生的几何转化思维有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题是求两条动线段和的最小值的几何问题，解题思路如下：首先，由AB=AC且AD是∠BAC的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，可推出AD垂直平分BC，因此AD上的点P到点B、C的距离相等，即PC=PB，可将PC+PQ转化为PB+PQ，把同侧线段求和问题转化为异侧线段求和问题；其次，要使PB+PQ最小，结合垂线段最短的性质，可知当B、P、Q三点共线且BQ⊥AC时，BQ的长度就是PB+PQ的最小值，即PC+PQ的最小值；最后，利用三角形面积的两种计算方式列等式，即可求出BQ的长度。
【解析】
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC（等腰三角形三线合一），
∵点P在AD上，
∴PB=PC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴PC+PQ=PB+PQ。
根据两点之间线段最短和垂线段最短的性质，当BQ⊥AC，且点P在BQ上时，PB+PQ取得最小值，最小值为BQ的长度，如图所示
。∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}AC·BQ$，
将BC=12，AD=8，AC=10代入得：
$\frac{1}{2}×12×8=\frac{1}{2}×10×BQ$，
解得$BQ=\frac{12×8}{10}=9.6$，
即PC+PQ的最小值为9.6。
【答案】
9.6
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题属于将军饮马模型的变形应用，解题的关键是通过几何性质完成线段的等价转化，将动线段和的最小值问题转化为定点到定直线的距离求解，同时考查了面积法求高的应用，对学生的几何转化思维有一定要求。
【难度系数】
0.6
