典例 如图,在$△ ABC$中,$AD$,$CE$分别是中线和角平分线.若$AB = AC$,$∠ CAD=20°$,求$∠ ACE$的度数.

温馨提示 (1)“等边对等角”只有在同一个三角形中才能应用,若相等的线段不是同一个三角形的边,则不能应用该性质.
(2)应用“三线合一”的前提条件是等腰三角形,且“三线”必须是顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高.
举一反三 如图,在等腰三角形$ABC$中,$AB = AC$,$AD$是$BC$边上的中线,$BG$平分$∠ ABC$交$AD$于点$E$,$EF ⊥ AB$,垂足为$F$.求证$EF = ED$.

证明 $\because AB=AC,AD$ 是$BC$ 边上的中线，
$\therefore AD⊥ BC$，
即 $ED⊥ BC$。
$\because BG$ 平分$∠ ABC,EF⊥ AB$，
$\therefore EF=ED$。

【分析】
要证明EF=ED，可结合角平分线的性质分析：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此需先证明ED是点E到BC的距离、EF是点E到AB的距离，且点E在∠ABC的平分线上。首先由已知AB=AC、AD是BC边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质可推出AD⊥BC，即ED⊥BC，满足ED为点E到BC的距离；再结合已知BG平分∠ABC、EF⊥AB，即可直接应用角平分线的性质得到结论。
【解析】
证明：
$\because AB=AC,AD$ 是$BC$ 边上的中线，
$\therefore AD⊥ BC$（等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合），
即 $ED⊥ BC$。
$\because BG$ 平分$∠ ABC,EF⊥ AB,ED⊥BC$，点E在角平分线BG上，
$\therefore EF=ED$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
【答案】
证明 $\because AB=AC,AD$ 是$BC$ 边上的中线，
$\therefore AD⊥ BC$，
即 $ED⊥ BC$。
$\because BG$ 平分$∠ ABC,EF⊥ AB$，
$\therefore EF=ED$。
【知识点】
等腰三角形三线合一；角平分线的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，侧重对基础几何性质的应用考查，解题关键是先通过等腰三角形的性质得到垂直关系，再结合角平分线的性质即可快速证得线段相等，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.8