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典例1 如图，利用一副三角尺比较∠AOB与∠CPD的大小，两角顶点均与三角尺的某一顶点重合。已知图1中射线OB经过$60°$角的一边，图2中射线PC经过$45°$角的一边，则下列说法正确的是(
A.$∠ CPD＞∠ AOB$
B.$∠ AOB＞∠ CPD$
C.$∠ AOB=∠ CPD$
D.无法判断
B
).A.$∠ CPD＞∠ AOB$
B.$∠ AOB＞∠ CPD$
C.$∠ AOB=∠ CPD$
D.无法判断
答案
1. B 解析 由图1可知，$60°$角的另一条边在$∠ AOB$内，由图2可知，$45°$角的另一条边在$∠ CPD$外，所以$∠ CPD＜45°＜60°＜∠ AOB$，所以$∠ CPD＜∠ AOB$，故选B。
解析
【分析】
要比较∠AOB和∠CPD的大小，我们可以借助三角尺上已知的固定角度作为中间量间接比较。首先分别判断两个角和三角尺对应已知角的大小关系：①针对图1的∠AOB，已知OB经过60°角的一边，观察60°角另一边的位置，若该边在∠AOB内部，说明∠AOB大于60°；②针对图2的∠CPD，已知PC经过45°角的一边，观察45°角另一边的位置，若该边在∠CPD外部，说明∠CPD小于45°。最后结合45°＜60°的关系，即可推出两个角的大小。
【解析】
观察图1：射线OB与三角尺60°角的一边重合，60°角的另一条边落在∠AOB的内部，因此$∠ AOB ＞ 60°$；
观察图2：射线PC与三角尺45°角的一边重合，45°角的另一条边落在∠CPD的外部，因此$∠ CPD ＜ 45°$；
结合$45° ＜ 60°$，可得$∠ CPD ＜ 45° ＜ 60° ＜ ∠ AOB$，即$∠ AOB ＞ ∠ CPD$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.角的大小比较
2.三角板的角度特征
【点评】
本题是角的大小比较的基础应用，解题核心是借助三角尺的已知固定角度作为中间参考量，通过观察角的边的位置判断角的大小关系，掌握叠合法比较角的大小是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要比较∠AOB和∠CPD的大小，我们可以借助三角尺上已知的固定角度作为中间量间接比较。首先分别判断两个角和三角尺对应已知角的大小关系：①针对图1的∠AOB，已知OB经过60°角的一边，观察60°角另一边的位置，若该边在∠AOB内部，说明∠AOB大于60°；②针对图2的∠CPD，已知PC经过45°角的一边，观察45°角另一边的位置，若该边在∠CPD外部，说明∠CPD小于45°。最后结合45°＜60°的关系，即可推出两个角的大小。
【解析】
观察图1：射线OB与三角尺60°角的一边重合，60°角的另一条边落在∠AOB的内部，因此$∠ AOB ＞ 60°$；
观察图2：射线PC与三角尺45°角的一边重合，45°角的另一条边落在∠CPD的外部，因此$∠ CPD ＜ 45°$；
结合$45° ＜ 60°$，可得$∠ CPD ＜ 45° ＜ 60° ＜ ∠ AOB$，即$∠ AOB ＞ ∠ CPD$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.角的大小比较
2.三角板的角度特征
【点评】
本题是角的大小比较的基础应用，解题核心是借助三角尺的已知固定角度作为中间参考量，通过观察角的边的位置判断角的大小关系，掌握叠合法比较角的大小是解题的关键。
【难度系数】
0.8
举一反三 观察下图，用“＜”把∠AOD，∠BOD，∠COD连接起来。
∠COD
＜ ∠BOD
＜ ∠AOD
.答案
∠COD ＜ ∠BOD ＜ ∠AOD
解析
【分析】
比较共顶点且有公共边的角的大小时，可使用叠合法判断：若角的一条边在另一个角的内部，则这个角更小。本题中三个角都有公共顶点O和公共边OD，只需观察OA、OB、OC三条边的位置：OC距离OD最近，其次是OB，OA距离OD最远，由此即可推出三个角的大小关系。
【解析】
解：观察图形可知，∠AOD、∠BOD、∠COD有公共顶点O，且均以OD为公共边：
1. 射线OC在∠BOD的内部，因此$∠ COD ＜ ∠ BOD$；
2. 射线OB在∠AOD的内部，因此$∠ BOD ＜ ∠ AOD$。
综上可得三个角的大小关系。
【答案】
$∠ COD ＜ ∠ BOD ＜ ∠ AOD$
【知识点】
角的大小比较；叠合法比较角
【点评】
本题属于角的大小比较的基础题型，无需测量角度，直接通过观察共顶点共边角的边的位置即可得出结论，熟练掌握叠合法比较角的大小是解题的核心。
【难度系数】
0.9
比较共顶点且有公共边的角的大小时，可使用叠合法判断：若角的一条边在另一个角的内部，则这个角更小。本题中三个角都有公共顶点O和公共边OD，只需观察OA、OB、OC三条边的位置：OC距离OD最近，其次是OB，OA距离OD最远，由此即可推出三个角的大小关系。
【解析】
解：观察图形可知，∠AOD、∠BOD、∠COD有公共顶点O，且均以OD为公共边：
1. 射线OC在∠BOD的内部，因此$∠ COD ＜ ∠ BOD$；
2. 射线OB在∠AOD的内部，因此$∠ BOD ＜ ∠ AOD$。
综上可得三个角的大小关系。
【答案】
$∠ COD ＜ ∠ BOD ＜ ∠ AOD$
【知识点】
角的大小比较；叠合法比较角
【点评】
本题属于角的大小比较的基础题型，无需测量角度，直接通过观察共顶点共边角的边的位置即可得出结论，熟练掌握叠合法比较角的大小是解题的核心。
【难度系数】
0.9
典例2 计算：
(1)$108°18'-65°43'$；
(2)$180°-(35°47'+56.5°)$。
(1)$108°18'-65°43'$；
(2)$180°-(35°47'+56.5°)$。
答案
解（1）原式$=107°78'-65°43'=42°35'$；
（2）原式$=180°-(35°47'+56°30')=179°60'-92°17'=87°43'$.
（2）原式$=180°-(35°47'+56°30')=179°60'-92°17'=87°43'$.
解析
【分析】
本题考查度分秒的和差运算，度、分、秒的进制是60进制，运算时遵循“满60进1，借1当60”的规则。
（1）做减法运算时，被减数的分位18'小于减数的分位43'，需要先从度位借1°转化为60'，再分别将度与度相减、分与分相减；
（2）有括号先算括号内的加法，首先把小数形式的度数56.5°换算为度分的形式，再计算括号内的和，最后用180°减去括号内的结果，做减法时同样需要借位转化后计算。
【解析】
（1）因为18'＜43'，所以将108°18'借位转化为107°78'，
原式$=107°78'-65°43'$
$=(107°-65°)+(78'-43')$
$=42°35'$
（2）先换算单位：$0.5°=0.5×60'=30'$，所以$56.5°=56°30'$，
先计算括号内的和：$35°47'+56°30'=91°77'=92°17'$，
再计算减法，将180°转化为179°60'，
原式$=180°-92°17'$
$=179°60'-92°17'$
$=(179°-92°)+(60'-17')$
$=87°43'$
【答案】
（1）$\boldsymbol{42°35'}$；（2）$\boldsymbol{87°43'}$
【知识点】
1. 度分秒的换算 2. 角的和差运算
【点评】
本题是角的和差运算基础题，解题核心是牢记度分秒为60进制，加减运算时注意进位和借位规则，涉及不同形式的度数时要先统一单位再计算，避免因进制混淆出错。
【难度系数】
0.8
本题考查度分秒的和差运算，度、分、秒的进制是60进制，运算时遵循“满60进1，借1当60”的规则。
（1）做减法运算时，被减数的分位18'小于减数的分位43'，需要先从度位借1°转化为60'，再分别将度与度相减、分与分相减；
（2）有括号先算括号内的加法，首先把小数形式的度数56.5°换算为度分的形式，再计算括号内的和，最后用180°减去括号内的结果，做减法时同样需要借位转化后计算。
【解析】
（1）因为18'＜43'，所以将108°18'借位转化为107°78'，
原式$=107°78'-65°43'$
$=(107°-65°)+(78'-43')$
$=42°35'$
（2）先换算单位：$0.5°=0.5×60'=30'$，所以$56.5°=56°30'$，
先计算括号内的和：$35°47'+56°30'=91°77'=92°17'$，
再计算减法，将180°转化为179°60'，
原式$=180°-92°17'$
$=179°60'-92°17'$
$=(179°-92°)+(60'-17')$
$=87°43'$
【答案】
（1）$\boldsymbol{42°35'}$；（2）$\boldsymbol{87°43'}$
【知识点】
1. 度分秒的换算 2. 角的和差运算
【点评】
本题是角的和差运算基础题，解题核心是牢记度分秒为60进制，加减运算时注意进位和借位规则，涉及不同形式的度数时要先统一单位再计算，避免因进制混淆出错。
【难度系数】
0.8
举一反三 计算：$15° 24' + 32° 47' - 6° 55'$.
答案
解 原式$=47°71'-6°55'=41°16'$.
解析
【分析】
本题考查度分秒的加减运算，解题时需遵循度分秒的60进制运算规则：加减运算时同单位分别相加减，加法中若分的数值≥60，需向度进1；减法中若分的数值不够减，需从度借1当60再计算。本题是同级加减运算，按照从左到右的顺序，先计算加法、再计算减法即可。
【解析】
按照从左到右的顺序运算：
第一步：计算加法部分，度与度相加、分与分相加：
$15°24'+32°47'=(15°+32°)+(24'+47')=47°71'$
第二步：计算减法部分，同单位对应相减：
$47°71'-6°55'=(47°-6°)+(71'-55')=41°16'$
【答案】
$41°16'$
【知识点】
度分秒的运算，角的和差计算
【点评】
本题是角度运算的基础题型，核心是掌握度分秒的60进制规则，运算时注意同单位对应计算，细心处理加减即可避免出错。
【难度系数】
0.8
本题考查度分秒的加减运算，解题时需遵循度分秒的60进制运算规则：加减运算时同单位分别相加减，加法中若分的数值≥60，需向度进1；减法中若分的数值不够减，需从度借1当60再计算。本题是同级加减运算，按照从左到右的顺序，先计算加法、再计算减法即可。
【解析】
按照从左到右的顺序运算：
第一步：计算加法部分，度与度相加、分与分相加：
$15°24'+32°47'=(15°+32°)+(24'+47')=47°71'$
第二步：计算减法部分，同单位对应相减：
$47°71'-6°55'=(47°-6°)+(71'-55')=41°16'$
【答案】
$41°16'$
【知识点】
度分秒的运算，角的和差计算
【点评】
本题是角度运算的基础题型，核心是掌握度分秒的60进制规则，运算时注意同单位对应计算，细心处理加减即可避免出错。
【难度系数】
0.8
