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4. 俗话说：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半.”学习过的东西不及时复习就会被遗忘.假设平均每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则平均每天“遗忘”的百分比约为
29.3%
.（参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.4$）答案
4. 29.3%
解析
【分析】
本题是平均负变化率的实际应用问题，解题思路如下：1. 设单位1：将初始的知识记忆量设为单位1，设平均每天遗忘的百分比为x；2. 梳理变化规律：每天遗忘x，即每天剩余的记忆量是前一天的(1-x)倍，经过2天，剩余记忆量为初始量的$(1-x)^2$；3. 确定等量关系：“两天不练丢一半”即两天后剩余的记忆量为初始量的$\frac{1}{2}$，据此列一元二次方程；4. 求解并筛选符合实际意义的解，结合参考数据计算即可得到结果。
【解析】
设平均每天“遗忘”的百分比为x，将原来的知识掌握量看作单位1。
根据两天后剩余知识量为原来的$\frac{1}{2}$，可列方程：
$(1-x)^2=\frac{1}{2}$
开平方得：
$1-x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
由于剩余知识量一定为正，即$1-x＞0$，因此舍去负根，得：
$1-x=\frac{\sqrt{2}}{2}$
代入$\sqrt{2}\approx1.414$计算：
$x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}\approx1-0.707=0.293=29.3\%$
【答案】
29.3%
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均变化率问题
3. 开平方运算
【点评】
本题结合日常学习的遗忘规律考查方程的实际应用，解题核心是准确把握连续两次同比例变化的数量关系，列方程时要注意区分“剩余量”和“减少量”，求解后要验证解是否符合实际场景。
【难度系数】
0.7
本题是平均负变化率的实际应用问题，解题思路如下：1. 设单位1：将初始的知识记忆量设为单位1，设平均每天遗忘的百分比为x；2. 梳理变化规律：每天遗忘x，即每天剩余的记忆量是前一天的(1-x)倍，经过2天，剩余记忆量为初始量的$(1-x)^2$；3. 确定等量关系：“两天不练丢一半”即两天后剩余的记忆量为初始量的$\frac{1}{2}$，据此列一元二次方程；4. 求解并筛选符合实际意义的解，结合参考数据计算即可得到结果。
【解析】
设平均每天“遗忘”的百分比为x，将原来的知识掌握量看作单位1。
根据两天后剩余知识量为原来的$\frac{1}{2}$，可列方程：
$(1-x)^2=\frac{1}{2}$
开平方得：
$1-x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
由于剩余知识量一定为正，即$1-x＞0$，因此舍去负根，得：
$1-x=\frac{\sqrt{2}}{2}$
代入$\sqrt{2}\approx1.414$计算：
$x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}\approx1-0.707=0.293=29.3\%$
【答案】
29.3%
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均变化率问题
3. 开平方运算
【点评】
本题结合日常学习的遗忘规律考查方程的实际应用，解题核心是准确把握连续两次同比例变化的数量关系，列方程时要注意区分“剩余量”和“减少量”，求解后要验证解是否符合实际场景。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 为满足师生阅读需求，学校建立了“阅读广场”，并且不断完善藏书数量，2023年该校的“阅读广场”有藏书5000册，到2025年该校的“阅读广场”的藏书数量增长到7200册.
(1)求该校的“阅读广场”这两年藏书的平均增长率；
(2)按照这样的增长方式，请你估算出2026年该校的“阅读广场”的藏书量是多少.
1. 为满足师生阅读需求，学校建立了“阅读广场”，并且不断完善藏书数量，2023年该校的“阅读广场”有藏书5000册，到2025年该校的“阅读广场”的藏书数量增长到7200册.
(1)求该校的“阅读广场”这两年藏书的平均增长率；
(2)按照这样的增长方式，请你估算出2026年该校的“阅读广场”的藏书量是多少.
答案
1. (1)该校的“阅读广场”这两年藏书的平均增长率为20%. (2)预测2026年该校的“阅读广场”的藏书量是8 640册
解析
【分析】
(1)本题属于平均增长率问题，解题思路如下：首先明确已知条件：2023年藏书量为初始量5000册，2025年即两年后藏书量为7200册，设年平均增长率为x，根据“初始量×(1+平均增长率)^年数=最终量”的等量关系列一元二次方程，求解后结合增长率为正数的实际意义舍去负根，即可得到平均增长率。(2)在得到平均增长率后，2026年的藏书量为2025年藏书量乘以(1+平均增长率)，直接代入计算即可。
【解析】
(1)设该校“阅读广场”这两年藏书的年平均增长率为x。
根据题意可列方程：$\boldsymbol{5000(1+x)^2=7200}$
方程两边同时除以5000得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$
因为藏书增长率为正数，所以$x_2=-2.2$不符合题意，舍去。
(2)按照20%的增长率，2026年的藏书量为：
$\boldsymbol{7200×(1+20\%)=8640}$（册）
【答案】
(1)该校的“阅读广场”这两年藏书的平均增长率为20%；(2)2026年该校的“阅读广场”的藏书量是8640册
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率问题
【点评】
本题是典型的增长率类实际应用题，核心是掌握平均增长率的计算模型，列方程时要准确对应时间间隔，求解方程后注意结合实际场景对根进行取舍，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
(1)本题属于平均增长率问题，解题思路如下：首先明确已知条件：2023年藏书量为初始量5000册，2025年即两年后藏书量为7200册，设年平均增长率为x，根据“初始量×(1+平均增长率)^年数=最终量”的等量关系列一元二次方程，求解后结合增长率为正数的实际意义舍去负根，即可得到平均增长率。(2)在得到平均增长率后，2026年的藏书量为2025年藏书量乘以(1+平均增长率)，直接代入计算即可。
【解析】
(1)设该校“阅读广场”这两年藏书的年平均增长率为x。
根据题意可列方程：$\boldsymbol{5000(1+x)^2=7200}$
方程两边同时除以5000得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$
因为藏书增长率为正数，所以$x_2=-2.2$不符合题意，舍去。
(2)按照20%的增长率，2026年的藏书量为：
$\boldsymbol{7200×(1+20\%)=8640}$（册）
【答案】
(1)该校的“阅读广场”这两年藏书的平均增长率为20%；(2)2026年该校的“阅读广场”的藏书量是8640册
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率问题
【点评】
本题是典型的增长率类实际应用题，核心是掌握平均增长率的计算模型，列方程时要准确对应时间间隔，求解方程后注意结合实际场景对根进行取舍，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
2. 如图1，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，增加褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的效果.其中，窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱.如图2，小莉房间的窗户呈长方形，窗户的宽度(AD)比高度(AB)少0.5 m，某种窗帘的价格为120元/m².如果以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱方式的费用多180元，求小莉房间窗户的宽度与高度.
答案
2. 小莉房间窗户的宽度为1.5 m,高度为2 m.
解析
【分析】
解题时首先明确核心等量关系：波浪褶皱窗帘的费用 - 平褶皱窗帘的费用 = 180元。我们可以先设窗户的宽度为未知数，结合宽度比高度少0.5m的关系表示出窗户高度，再分别计算两种褶皱方式下窗帘的面积，结合窗帘单价列出方程求解，最后注意检验解是否符合实际意义，舍去不符合要求的负根。
【解析】
设小莉房间窗户的宽度为$ x \, \mathrm{m} $，则窗户的高度为$ (x + 0.5) \, \mathrm{m} $。
根据题意，波浪褶皱的窗帘面积为$ 2x(x + 0.5) \, \mathrm{m}^2 $，平褶皱的窗帘面积为$ 1.5x(x + 0.5) \, \mathrm{m}^2 $，结合费用差可列方程：
$120×[2x(x + 0.5) - 1.5x(x + 0.5)] = 180$
化简方程：
$120× 0.5x(x + 0.5) = 180$
$60x(x + 0.5) = 180$
两边同时除以60得：
$x(x + 0.5) = 3$
整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 + 0.5x - 3 = 0$
解得：
$x_1 = 1.5, \quad x_2 = -2 \quad (\mathrm{长度不能为负，舍去})$
则窗户的高度为$ x + 0.5 = 1.5 + 0.5 = 2 \, (\mathrm{m}) $。
【答案】
小莉房间窗户的宽度为1.5 m,高度为2 m.
【知识点】
一元二次方程的应用；长方形面积计算；列方程解应用题
【点评】
本题结合生活中的窗帘褶皱场景，考查学生从实际问题中提取等量关系、建立方程模型求解的能力，解题时要注意对解进行合理性检验，舍去不符合实际意义的结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确核心等量关系：波浪褶皱窗帘的费用 - 平褶皱窗帘的费用 = 180元。我们可以先设窗户的宽度为未知数，结合宽度比高度少0.5m的关系表示出窗户高度，再分别计算两种褶皱方式下窗帘的面积，结合窗帘单价列出方程求解，最后注意检验解是否符合实际意义，舍去不符合要求的负根。
【解析】
设小莉房间窗户的宽度为$ x \, \mathrm{m} $，则窗户的高度为$ (x + 0.5) \, \mathrm{m} $。
根据题意，波浪褶皱的窗帘面积为$ 2x(x + 0.5) \, \mathrm{m}^2 $，平褶皱的窗帘面积为$ 1.5x(x + 0.5) \, \mathrm{m}^2 $，结合费用差可列方程：
$120×[2x(x + 0.5) - 1.5x(x + 0.5)] = 180$
化简方程：
$120× 0.5x(x + 0.5) = 180$
$60x(x + 0.5) = 180$
两边同时除以60得：
$x(x + 0.5) = 3$
整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 + 0.5x - 3 = 0$
解得：
$x_1 = 1.5, \quad x_2 = -2 \quad (\mathrm{长度不能为负，舍去})$
则窗户的高度为$ x + 0.5 = 1.5 + 0.5 = 2 \, (\mathrm{m}) $。
【答案】
小莉房间窗户的宽度为1.5 m,高度为2 m.
【知识点】
一元二次方程的应用；长方形面积计算；列方程解应用题
【点评】
本题结合生活中的窗帘褶皱场景，考查学生从实际问题中提取等量关系、建立方程模型求解的能力，解题时要注意对解进行合理性检验，舍去不符合实际意义的结果。
【难度系数】
0.7
