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一、选择题
1. 若一个正多边形的每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边形的边数是(
A.4
B.6
C.8
D.12
1. 若一个正多边形的每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边形的边数是(
C
)A.4
B.6
C.8
D.12
答案
1. C
解析
【分析】
首先我们可以设正多边形的边数为n，解题的核心是先分别用含n的式子表示出正多边形的每个内角度数和中心角的度数，再根据题目给出的“每个内角的度数是中心角的3倍”这一等量关系列方程，求解得到n的值即可。
【解析】
设该正多边形的边数为$ n $。
1. 正多边形的中心角公式为：中心角$ = \frac{360°}{n} $
2. 正多边形的每个内角度数公式为：每个内角$ = \frac{(n-2) × 180°}{n} $
3. 根据题意列方程：
$ \frac{(n-2) × 180°}{n} = 3 × \frac{360°}{n} $
两边同时乘以$ n $（$ n ≠ 0 $）消去分母得：
$ (n-2) × 180° = 3 × 360° $
展开计算：
$ 180n - 360 = 1080 $
移项合并得：
$ 180n = 1440 $
解得：$ n = 8 $
【答案】
C
【知识点】
正多边形内角计算、正多边形中心角、一元一次方程应用
【点评】
本题属于正多边形相关的基础常规题，重点考察对正多边形内角、中心角公式的记忆与应用，只要准确掌握相关公式，找准等量关系列方程即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先我们可以设正多边形的边数为n，解题的核心是先分别用含n的式子表示出正多边形的每个内角度数和中心角的度数，再根据题目给出的“每个内角的度数是中心角的3倍”这一等量关系列方程，求解得到n的值即可。
【解析】
设该正多边形的边数为$ n $。
1. 正多边形的中心角公式为：中心角$ = \frac{360°}{n} $
2. 正多边形的每个内角度数公式为：每个内角$ = \frac{(n-2) × 180°}{n} $
3. 根据题意列方程：
$ \frac{(n-2) × 180°}{n} = 3 × \frac{360°}{n} $
两边同时乘以$ n $（$ n ≠ 0 $）消去分母得：
$ (n-2) × 180° = 3 × 360° $
展开计算：
$ 180n - 360 = 1080 $
移项合并得：
$ 180n = 1440 $
解得：$ n = 8 $
【答案】
C
【知识点】
正多边形内角计算、正多边形中心角、一元一次方程应用
【点评】
本题属于正多边形相关的基础常规题，重点考察对正多边形内角、中心角公式的记忆与应用，只要准确掌握相关公式，找准等量关系列方程即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 如果一个正三角形和一个正六边形面积相等，那么它们边长的比为(
A.$6:1$
B.$\sqrt{6}:1$
C.$3:1$
D.$\sqrt{3}:1$
B
)A.$6:1$
B.$\sqrt{6}:1$
C.$3:1$
D.$\sqrt{3}:1$
答案
2. B
解析
【分析】
要解决正三角形和正六边形面积相等时的边长比问题，我们可以按以下思路思考：首先分别设两个正多边形的边长为未知数，再利用正多边形面积的计算方法分别表示出两者的面积，根据面积相等的条件列等式，最后化简等式求出边长的比值即可。其中正六边形可以分割为6个边长等于自身边长的全等正三角形，这是计算正六边形面积的常用技巧。
【解析】
设正三角形的边长为$a$，正六边形的边长为$b$。
1. 计算正三角形的面积：
正三角形的面积公式为$S_1=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。
2. 计算正六边形的面积：
正六边形可分割为6个边长为$b$的全等正三角形，因此正六边形的面积为6个小正三角形的面积和：
$S_2=6×\frac{\sqrt{3}}{4}b^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}b^2$。
3. 根据面积相等列等式求解：
由题意得$S_1=S_2$，即：
$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}b^2$
两边同时约去$\sqrt{3}$，得：$\frac{1}{4}a^2=\frac{3}{2}b^2$
等式两边同乘4，得：$a^2=6b^2$
由于边长均为正数，因此$\frac{a}{b}=\sqrt{6}$，即正三角形与正六边形的边长比为$\sqrt{6}:1$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形面积计算；正多边形的性质；二次根式化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查正多边形面积的计算方法，将正六边形分割为全等正三角形求面积是解题的关键，熟练掌握正多边形的相关性质和面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决正三角形和正六边形面积相等时的边长比问题，我们可以按以下思路思考：首先分别设两个正多边形的边长为未知数，再利用正多边形面积的计算方法分别表示出两者的面积，根据面积相等的条件列等式，最后化简等式求出边长的比值即可。其中正六边形可以分割为6个边长等于自身边长的全等正三角形，这是计算正六边形面积的常用技巧。
【解析】
设正三角形的边长为$a$，正六边形的边长为$b$。
1. 计算正三角形的面积：
正三角形的面积公式为$S_1=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。
2. 计算正六边形的面积：
正六边形可分割为6个边长为$b$的全等正三角形，因此正六边形的面积为6个小正三角形的面积和：
$S_2=6×\frac{\sqrt{3}}{4}b^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}b^2$。
3. 根据面积相等列等式求解：
由题意得$S_1=S_2$，即：
$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}b^2$
两边同时约去$\sqrt{3}$，得：$\frac{1}{4}a^2=\frac{3}{2}b^2$
等式两边同乘4，得：$a^2=6b^2$
由于边长均为正数，因此$\frac{a}{b}=\sqrt{6}$，即正三角形与正六边形的边长比为$\sqrt{6}:1$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形面积计算；正多边形的性质；二次根式化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查正多边形面积的计算方法，将正六边形分割为全等正三角形求面积是解题的关键，熟练掌握正多边形的相关性质和面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3. 若正三角形的外接圆的半径为$R$,内切圆的半径为$r$,则$\frac{r}{R}$的值等于(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
A
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
答案
3. A
解析
【分析】
解题时首先利用正三角形的性质：正三角形的外接圆（外心）和内切圆（内心）的圆心重合，都为正三角形的中心。我们可以通过构造直角三角形推导r与R的关系：连接正三角形的一个顶点和中心得到外接圆半径R，过中心作该顶点对应边的垂线段得到内切圆半径r，二者与边长的一半组成含30°特殊角的直角三角形，再利用30°角直角三角形的边角关系即可求出比值。
【解析】
∵正三角形的外接圆圆心（外心）与内切圆圆心（内心）重合，均为正三角形的中心，
∴设正三角形ABC的中心为O，连接OA（OA即为外接圆半径R），过O作OD⊥AB于点D（OD即为内切圆半径r）。
∵正三角形的内角为60°，且OA平分∠BAC，
∴∠OAD=30°，
在Rt△OAD中，∠ADO=90°，∠OAD=30°，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
$OD=\frac{1}{2}OA$，即$r=\frac{1}{2}R$，
∴$\frac{r}{R}=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆的性质；含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题，解题核心是明确正三角形的内外心重合，通过构造特殊直角三角形即可快速求解，是正多边形相关计算的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用正三角形的性质：正三角形的外接圆（外心）和内切圆（内心）的圆心重合，都为正三角形的中心。我们可以通过构造直角三角形推导r与R的关系：连接正三角形的一个顶点和中心得到外接圆半径R，过中心作该顶点对应边的垂线段得到内切圆半径r，二者与边长的一半组成含30°特殊角的直角三角形，再利用30°角直角三角形的边角关系即可求出比值。
【解析】
∵正三角形的外接圆圆心（外心）与内切圆圆心（内心）重合，均为正三角形的中心，
∴设正三角形ABC的中心为O，连接OA（OA即为外接圆半径R），过O作OD⊥AB于点D（OD即为内切圆半径r）。
∵正三角形的内角为60°，且OA平分∠BAC，
∴∠OAD=30°，
在Rt△OAD中，∠ADO=90°，∠OAD=30°，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
$OD=\frac{1}{2}OA$，即$r=\frac{1}{2}R$，
∴$\frac{r}{R}=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆的性质；含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题，解题核心是明确正三角形的内外心重合，通过构造特殊直角三角形即可快速求解，是正多边形相关计算的常考题型。
【难度系数】
0.8
4. 若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为$r_3, r_4, r_6$，则$r_3:r_4:r_6$等于(
A.$1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}:\sqrt{2}:1$
C.$1:2:3$
D.$3:2:1$
A
)A.$1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}:\sqrt{2}:1$
C.$1:2:3$
D.$3:2:1$
答案
4. A
解析
【分析】
本题考查同圆内正多边形边心距的比值计算，解题思路如下：首先明确同一个圆的内接正多边形的外接圆半径均相等，设为R；再回忆正n边形边心距的计算方法：正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，过圆心作边的垂线，可得到由半径、边心距、边长一半构成的直角三角形，其中边心距$r = R · \cos(\frac{180°}{n})$；最后分别代入n=3、4、6求出对应的边心距，作比约去公共项即可得到结果。
【解析】
设该圆的半径为$R$：
1. 求正三角形的边心距$r_3$：
正三角形的中心角为$\frac{360°}{3}=120°$，中心角的一半为$60°$，因此$r_3 = R · \cos60° = R · \frac{1}{2}$。
2. 求正方形的边心距$r_4$：
正方形的中心角为$\frac{360°}{4}=90°$，中心角的一半为$45°$，因此$r_4 = R · \cos45° = R · \frac{\sqrt{2}}{2}$。
3. 求正六边形的边心距$r_6$：
正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，中心角的一半为$30°$，因此$r_6 = R · \cos30° = R · \frac{\sqrt{3}}{2}$。
4. 作比化简：
$r_3:r_4:r_6 = \frac{1}{2}R : \frac{\sqrt{2}}{2}R : \frac{\sqrt{3}}{2}R = 1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆、特殊角的三角函数值、比例化简
【点评】
本题属于基础题型，核心是抓住同圆的内接正多边形外接圆半径相等的特点，结合正多边形与直角三角形的对应关系求解，熟练掌握正多边形的相关性质和特殊角三角函数值就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
本题考查同圆内正多边形边心距的比值计算，解题思路如下：首先明确同一个圆的内接正多边形的外接圆半径均相等，设为R；再回忆正n边形边心距的计算方法：正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，过圆心作边的垂线，可得到由半径、边心距、边长一半构成的直角三角形，其中边心距$r = R · \cos(\frac{180°}{n})$；最后分别代入n=3、4、6求出对应的边心距，作比约去公共项即可得到结果。
【解析】
设该圆的半径为$R$：
1. 求正三角形的边心距$r_3$：
正三角形的中心角为$\frac{360°}{3}=120°$，中心角的一半为$60°$，因此$r_3 = R · \cos60° = R · \frac{1}{2}$。
2. 求正方形的边心距$r_4$：
正方形的中心角为$\frac{360°}{4}=90°$，中心角的一半为$45°$，因此$r_4 = R · \cos45° = R · \frac{\sqrt{2}}{2}$。
3. 求正六边形的边心距$r_6$：
正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，中心角的一半为$30°$，因此$r_6 = R · \cos30° = R · \frac{\sqrt{3}}{2}$。
4. 作比化简：
$r_3:r_4:r_6 = \frac{1}{2}R : \frac{\sqrt{2}}{2}R : \frac{\sqrt{3}}{2}R = 1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆、特殊角的三角函数值、比例化简
【点评】
本题属于基础题型，核心是抓住同圆的内接正多边形外接圆半径相等的特点，结合正多边形与直角三角形的对应关系求解，熟练掌握正多边形的相关性质和特殊角三角函数值就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
5*. 如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=17,⊙O与△ABC三边分别相切于点D,E,F,且OD=3,则△ABC的面积是(
A.80
B.70
C.60
D.50
C
)A.80
B.70
C.60
D.50
答案
5. C
解析
【分析】
首先由⊙O与△ABC三边都相切，可判断⊙O是△ABC的内切圆，OD就是内切圆的半径，即r=3。解题时可分三步推导：第一步利用直角三角形内切圆半径公式求出两条直角边的和；第二步结合勾股定理和完全平方公式求出两条直角边的乘积；第三步代入三角形面积公式计算结果即可，不需要单独求出两条直角边的具体长度，能简化计算。
【解析】
解：
∵⊙O与△ABC三边分别相切，
∴⊙O是△ABC的内切圆，内切圆半径$r=OD=3$。
设Rt△ABC的直角边$BC=a$、$AC=b$，斜边$AB=c=17$。
根据直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$，代入$r=3$、$c=17$得：
$3=\frac{a+b-17}{2}$
解得$a+b=23$。
由勾股定理得：$a^2+b^2=c^2=17^2=289$。
对$a+b=23$两边平方得：$(a+b)^2=23^2$，即$a^2+2ab+b^2=529$。
将$a^2+b^2=289$代入上式，得$289+2ab=529$，解得$ab=120$。
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×120=60$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内切圆性质；勾股定理；完全平方公式
【点评】
本题核心是灵活运用直角三角形内切圆半径公式，结合代数变形求解面积，跳过求单条直角边长的步骤，能有效降低计算量，考查了几何性质和代数运算的结合应用能力。
【难度系数】
0.7
首先由⊙O与△ABC三边都相切，可判断⊙O是△ABC的内切圆，OD就是内切圆的半径，即r=3。解题时可分三步推导：第一步利用直角三角形内切圆半径公式求出两条直角边的和；第二步结合勾股定理和完全平方公式求出两条直角边的乘积；第三步代入三角形面积公式计算结果即可，不需要单独求出两条直角边的具体长度，能简化计算。
【解析】
解：
∵⊙O与△ABC三边分别相切，
∴⊙O是△ABC的内切圆，内切圆半径$r=OD=3$。
设Rt△ABC的直角边$BC=a$、$AC=b$，斜边$AB=c=17$。
根据直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$，代入$r=3$、$c=17$得：
$3=\frac{a+b-17}{2}$
解得$a+b=23$。
由勾股定理得：$a^2+b^2=c^2=17^2=289$。
对$a+b=23$两边平方得：$(a+b)^2=23^2$，即$a^2+2ab+b^2=529$。
将$a^2+b^2=289$代入上式，得$289+2ab=529$，解得$ab=120$。
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×120=60$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内切圆性质；勾股定理；完全平方公式
【点评】
本题核心是灵活运用直角三角形内切圆半径公式，结合代数变形求解面积，跳过求单条直角边长的步骤，能有效降低计算量，考查了几何性质和代数运算的结合应用能力。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 把一个正五边形绕着它的中心至少旋转
1. 把一个正五边形绕着它的中心至少旋转
72
度才能和原来的图形重合。答案
1. 72
解析
【分析】
要解决正五边形绕中心至少旋转多少度与原图形重合的问题，首先需明确正多边形的旋转对称性质：正n边形绕其中心旋转时，只要旋转角度等于它的中心角的整数倍，就能与原图形重合，因此最小旋转角度就是单个中心角的度数。接下来只需结合中心角的计算方法，代入正五边形的边数计算即可。
【解析】
正多边形的中心角公式为：$\mathrm{中心角}=\frac{360°}{n}$（$n$为正多边形的边数）。
对于正五边形，边数$n=5$，代入公式得：
$\frac{360°}{5}=72°$
即正五边形绕中心至少旋转72度才能和原来的图形重合。
【答案】
72
【知识点】
正多边形的性质、旋转对称图形、中心角计算
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是掌握正多边形最小旋转角与中心角的关系，牢记对应计算公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要解决正五边形绕中心至少旋转多少度与原图形重合的问题，首先需明确正多边形的旋转对称性质：正n边形绕其中心旋转时，只要旋转角度等于它的中心角的整数倍，就能与原图形重合，因此最小旋转角度就是单个中心角的度数。接下来只需结合中心角的计算方法，代入正五边形的边数计算即可。
【解析】
正多边形的中心角公式为：$\mathrm{中心角}=\frac{360°}{n}$（$n$为正多边形的边数）。
对于正五边形，边数$n=5$，代入公式得：
$\frac{360°}{5}=72°$
即正五边形绕中心至少旋转72度才能和原来的图形重合。
【答案】
72
【知识点】
正多边形的性质、旋转对称图形、中心角计算
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是掌握正多边形最小旋转角与中心角的关系，牢记对应计算公式即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
2. 已知△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，且最短边长为a，则它的外接圆的周长等于
$2aπ$
，它的内切圆半径等于$\frac{\sqrt{3}-1}{2}a$
(结果保留π与根号).答案
2. $2aπ,\frac{\sqrt{3}-1}{2}a$
解析
【分析】
解题时首先从已知的角度比入手，结合三角形内角和为180°，先算出三个内角的度数，判断出三角形是含30°角的直角三角形；再根据30°角对的直角边是最短边，结合特殊直角三角形的边长关系求出三条边的长度；接下来回忆直角三角形外接圆的性质：外接圆直径等于斜边长度，即可算出外接圆半径，进而求出周长；最后代入直角三角形内切圆半径公式，就能算出内切圆的半径。
【解析】
1. 求三角形的内角度数：
设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，根据三角形内角和定理得：
$x+2x+3x=180°$
解得$x=30°$，因此三个内角分别为$30°$、$60°$、$90°$，即$△ ABC$是直角三角形。
2. 求三角形三边长：
$30°$角对应的直角边是最短边，长度为$a$，因此斜边长为$2a$（直角三角形中$30°$角对的直角边等于斜边的一半）；
另一条直角边长为$\sqrt{(2a)^2-a^2}=\sqrt{3}a$。
3. 求外接圆周长：
直角三角形外接圆的直径等于斜边长度，因此外接圆半径$R=\frac{2a}{2}=a$，
外接圆周长为$2π R=2π a$。
4. 求内切圆半径：
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{两条直角边的和-斜边}{2}$，代入数值得：
$r=\frac{a+\sqrt{3}a-2a}{2}=\frac{(\sqrt{3}-1)a}{2}$
【答案】
$2aπ$，$\frac{\sqrt{3}-1}{2}a$
【知识点】
三角形内角和定理、直角三角形的性质、三角形的外接圆与内切圆
【点评】
本题是特殊直角三角形与圆的性质结合的基础综合题，解题关键是先通过角度比例判断三角形的类型，再结合对应的几何性质计算，解题过程中要注意区分外接圆和内切圆的相关性质，避免混淆。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的角度比入手，结合三角形内角和为180°，先算出三个内角的度数，判断出三角形是含30°角的直角三角形；再根据30°角对的直角边是最短边，结合特殊直角三角形的边长关系求出三条边的长度；接下来回忆直角三角形外接圆的性质：外接圆直径等于斜边长度，即可算出外接圆半径，进而求出周长；最后代入直角三角形内切圆半径公式，就能算出内切圆的半径。
【解析】
1. 求三角形的内角度数：
设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，根据三角形内角和定理得：
$x+2x+3x=180°$
解得$x=30°$，因此三个内角分别为$30°$、$60°$、$90°$，即$△ ABC$是直角三角形。
2. 求三角形三边长：
$30°$角对应的直角边是最短边，长度为$a$，因此斜边长为$2a$（直角三角形中$30°$角对的直角边等于斜边的一半）；
另一条直角边长为$\sqrt{(2a)^2-a^2}=\sqrt{3}a$。
3. 求外接圆周长：
直角三角形外接圆的直径等于斜边长度，因此外接圆半径$R=\frac{2a}{2}=a$，
外接圆周长为$2π R=2π a$。
4. 求内切圆半径：
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{两条直角边的和-斜边}{2}$，代入数值得：
$r=\frac{a+\sqrt{3}a-2a}{2}=\frac{(\sqrt{3}-1)a}{2}$
【答案】
$2aπ$，$\frac{\sqrt{3}-1}{2}a$
【知识点】
三角形内角和定理、直角三角形的性质、三角形的外接圆与内切圆
【点评】
本题是特殊直角三角形与圆的性质结合的基础综合题，解题关键是先通过角度比例判断三角形的类型，再结合对应的几何性质计算，解题过程中要注意区分外接圆和内切圆的相关性质，避免混淆。
【难度系数】
0.7
3. 边长为a的正六边形的内切圆的半径为
$\frac{\sqrt{3}}{2}a$
.答案
3. $\frac{\sqrt{3}}{2}a$
解析
【分析】
解题时先回忆正六边形的性质：正六边形的边长与它的外接圆半径相等，内切圆的半径是正六边形的中心到任意一条边的距离，也就是边心距。我们可以把正六边形分割成6个全等的边长为a的等边三角形，内切圆半径就等于等边三角形的高，接下来用勾股定理计算等边三角形的高即可得到结果。
【解析】
解：已知正六边形的边长为$a$，
正六边形可分割为6个边长为$a$的全等等边三角形，正六边形的内切圆半径就是等边三角形的高（即正六边形的边心距）。
设内切圆半径为$r$，等边三角形边长的一半为$\frac{a}{2}$，根据勾股定理可得：
$r=\sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}a$
【知识点】
正多边形与圆的关系、正六边形的性质、勾股定理
【点评】
本题是基础题，解题核心是将正六边形内切圆半径转化为其边心距，也就是分割出的等边三角形的高，只要熟练掌握正多边形的基本性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆正六边形的性质：正六边形的边长与它的外接圆半径相等，内切圆的半径是正六边形的中心到任意一条边的距离，也就是边心距。我们可以把正六边形分割成6个全等的边长为a的等边三角形，内切圆半径就等于等边三角形的高，接下来用勾股定理计算等边三角形的高即可得到结果。
【解析】
解：已知正六边形的边长为$a$，
正六边形可分割为6个边长为$a$的全等等边三角形，正六边形的内切圆半径就是等边三角形的高（即正六边形的边心距）。
设内切圆半径为$r$，等边三角形边长的一半为$\frac{a}{2}$，根据勾股定理可得：
$r=\sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}a$
【知识点】
正多边形与圆的关系、正六边形的性质、勾股定理
【点评】
本题是基础题，解题核心是将正六边形内切圆半径转化为其边心距，也就是分割出的等边三角形的高，只要熟练掌握正多边形的基本性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
4: 如图2，$\odot O$与正五边形$ABCDE$的边$AB$、$DE$分别相切于点$B$、$D$，则劣弧$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角$∠ BOD$的大小为________度。
答案
4. 144
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据切线的性质，得到过切点的半径与切线垂直，即OB⊥AB、OD⊥DE，确定两个直角的度数；第二步，利用正多边形内角和公式，计算出正五边形每个内角的度数；第三步，观察∠BOD是五边形OBAED的一个内角，利用五边形内角和减去其余四个已知内角的度数，即可求出∠BOD的大小。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ A=∠ E=108°$。
2. 利用切线性质求直角：
∵AB、DE分别与$\odot O$相切于点B、D，
∴$OB⊥ AB$，$OD⊥ DE$，即$∠ OBA=∠ ODE=90°$。
3. 计算$∠ BOD$：
五边形OBAED的内角和为$(5-2)×180°=540°$，
∴$∠ BOD=540°-∠ OBA-∠ A-∠ E-∠ ODE=540°-90°-108°-108°-90°=144°$。
【答案】
144
【知识点】
切线的性质；正多边形的性质；多边形内角和定理
【点评】
本题是正多边形与圆的基础综合题，解题核心是熟练运用切线性质和多边形内角和公式，找到待求角与已知角的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，根据切线的性质，得到过切点的半径与切线垂直，即OB⊥AB、OD⊥DE，确定两个直角的度数；第二步，利用正多边形内角和公式，计算出正五边形每个内角的度数；第三步，观察∠BOD是五边形OBAED的一个内角，利用五边形内角和减去其余四个已知内角的度数，即可求出∠BOD的大小。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ A=∠ E=108°$。
2. 利用切线性质求直角：
∵AB、DE分别与$\odot O$相切于点B、D，
∴$OB⊥ AB$，$OD⊥ DE$，即$∠ OBA=∠ ODE=90°$。
3. 计算$∠ BOD$：
五边形OBAED的内角和为$(5-2)×180°=540°$，
∴$∠ BOD=540°-∠ OBA-∠ A-∠ E-∠ ODE=540°-90°-108°-108°-90°=144°$。
【答案】
144
【知识点】
切线的性质；正多边形的性质；多边形内角和定理
【点评】
本题是正多边形与圆的基础综合题，解题核心是熟练运用切线性质和多边形内角和公式，找到待求角与已知角的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 正六边形的内切圆的半径为r,求这个正六边形的面积.
1. 正六边形的内切圆的半径为r,求这个正六边形的面积.
答案
1. $2\sqrt{3}r^2$
解析
【分析】
遇到正多边形面积计算问题，通常可将正多边形分解为n个全等等腰三角形（n为边数）求解。首先回忆正六边形的性质：正六边形的中心角为360°÷6=60°，因此分割出的6个等腰三角形都是等边三角形，边长等于正六边形的边长；而正六边形的内切圆半径就是这些等边三角形的高。我们可以先通过内切圆半径r求出正六边形的边长，再计算单个等边三角形的面积，最后乘6就能得到正六边形的总面积。
【解析】
解：连接正六边形的中心与各顶点，可将正六边形分为6个全等的等边三角形，正六边形的内切圆半径r即为每个等边三角形的高。
设正六边形的边长为$a$，根据等边三角形高与边长的关系：
$r=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
解得：$a=\frac{2r}{\sqrt{3}}$
单个等边三角形的面积：
$S_1=\frac{1}{2}× a × r=\frac{1}{2}× \frac{2r}{\sqrt{3}} × r=\frac{r^2}{\sqrt{3}}$
正六边形的总面积为6个等边三角形面积之和：
$S=6S_1=6× \frac{r^2}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}r^2$
【答案】
$2\sqrt{3}r^2$
【知识点】
正多边形与圆的关系，正六边形性质，三角形面积计算
【点评】
本题是正多边形与圆相关的基础题型，解题核心是利用正六边形可分割为6个全等等边三角形的性质，将正六边形面积转化为等边三角形面积之和求解，解题时要注意区分正多边形的内切圆半径和外接圆半径，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
遇到正多边形面积计算问题，通常可将正多边形分解为n个全等等腰三角形（n为边数）求解。首先回忆正六边形的性质：正六边形的中心角为360°÷6=60°，因此分割出的6个等腰三角形都是等边三角形，边长等于正六边形的边长；而正六边形的内切圆半径就是这些等边三角形的高。我们可以先通过内切圆半径r求出正六边形的边长，再计算单个等边三角形的面积，最后乘6就能得到正六边形的总面积。
【解析】
解：连接正六边形的中心与各顶点，可将正六边形分为6个全等的等边三角形，正六边形的内切圆半径r即为每个等边三角形的高。
设正六边形的边长为$a$，根据等边三角形高与边长的关系：
$r=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
解得：$a=\frac{2r}{\sqrt{3}}$
单个等边三角形的面积：
$S_1=\frac{1}{2}× a × r=\frac{1}{2}× \frac{2r}{\sqrt{3}} × r=\frac{r^2}{\sqrt{3}}$
正六边形的总面积为6个等边三角形面积之和：
$S=6S_1=6× \frac{r^2}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}r^2$
【答案】
$2\sqrt{3}r^2$
【知识点】
正多边形与圆的关系，正六边形性质，三角形面积计算
【点评】
本题是正多边形与圆相关的基础题型，解题核心是利用正六边形可分割为6个全等等边三角形的性质，将正六边形面积转化为等边三角形面积之和求解，解题时要注意区分正多边形的内切圆半径和外接圆半径，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
