【拓展思考】
下面是数学学习小组研究性学习报告的部分内容,请认真阅读,并完成相应任务.
关于“等边半正多边形”的研究报告
研究对象:等边半正多边形(新定义概念)
研究思路:类比三角形、四边形,按“概念—性质—判定”的路径,由一般到特殊进行研究.
研究方法:观察(测量、实验)—猜想—推理证明
研究内容:
【定义新概念】对于一个边数为偶数的凸多边形,若其各边都相等,且相间的内角都相等、相邻的内角不相等,我们称这个凸多边形为等边半正多边形. 如图5,我们学习过的菱形(正方形除外)就是等边半正四边形,类似地,还有等边半正六边形、等边半正八边形……

【特例研究】根据等边半正多边形的定义,对等边半正六边形研究如下:
概念理解:如图6,如果六边形ABCDEF是等边半正六边形,那么$AB=BC=CD=DE=EF=FA$,$∠A=∠C=∠E$,$∠B=∠D=∠F$,且$∠A≠∠B$.
【性质探索】
根据定义,探索等边半正六边形的性质:
(1)探索内角的性质;
(2)探索对角线的性质.
(1)任务1:等边半正六边形相邻两个内角的和为度.
(2)任务2:如图7,六边形ABCDEF是等边半正六边形. 连接对角线AD,猜想$∠BAD$与$∠FAD$的数量关系,并说明理由.
(3)任务3:如图8,已知$△ACE$是正三角形,$⊙O$是它的外接圆. 请在图8中作一个等边半正六边形ABCDEF(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法).

1. 240
2. ∠BAD=∠FAD. 理由如下:如图,连接BD,FD.
∵六边形ABCDEF是等边半正六边形,
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠C=∠E,
∴△BCD≌△FED,
∴BD=FD. 在△ABD与△AFD 中,
$\begin{cases} AB = AF,\\ BD = FD,\\ AD = AD, \end{cases}$
∴△BAD≌△FAD,
∴∠BAD=∠FAD. 对应示意图为
3. 答案不唯一,作法一: 作法二: 如上两图,六边形ABCDEF即为所求.

【分析】
任务1：先利用多边形内角和公式求出六边形总内角和，再结合等边半正六边形“相间内角相等”的性质，将内角和转化为3组相邻内角的和，化简计算即可得到结果。
任务2：要证明∠BAD=∠FAD，可通过证明两角所在的三角形全等实现。已知等边半正六边形各边相等、相间内角相等，因此可连接BD、FD，先证△BCD≌△FED得到BD=FD，再用SSS证明△ABD≌△AFD，即可推出两角相等。
任务3：作图需满足等边半正六边形的定义：各边相等、相间内角相等、相邻内角不等。结合已知正△ACE的外接圆，通过截取等长弦得到B、D、F三点，顺次连接即可得到符合要求的图形。
【解析】
(1) 根据多边形内角和公式，$n$边形内角和为$(n-2)×180°$，则六边形内角和为$(6-2)×180°=720°$。
由等边半正六边形的定义可知$∠ A=∠ C=∠ E$，$∠ B=∠ D=∠ F$，因此内角和可写为$3(∠ A+∠ B)=720°$，解得$∠ A+∠ B=240°$。
(2) $∠ BAD=∠ FAD$，理由如下：
连接$BD$，$FD$。
∵六边形$ABCDEF$是等边半正六边形，
∴$AB=BC=CD=DE=EF=FA$，$∠ C=∠ E$，
在$△ BCD$和$△ FED$中：
$\begin{cases} BC=FE \\ ∠ C=∠ E \\ CD=ED \end{cases}$
∴$△ BCD≌△ FED(\mathrm{SAS})$，
∴$BD=FD$。
在$△ ABD$和$△ AFD$中：
$\begin{cases} AB=AF \\ BD=FD \\ AD=AD \end{cases}$
∴$△ ABD≌△ AFD(\mathrm{SSS})$，
∴$∠ BAD=∠ FAD$。
(3) 参考作图如下，六边形$ABCDEF$即为所求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{240}$
(2) $\boldsymbol{∠ BAD=∠ FAD}$，理由见解析，对应示意图为
(3) 答案不唯一，参考作图：、，六边形$ABCDEF$即为所求。
【知识点】
多边形内角和公式；全等三角形的判定与性质；尺规作图
【点评】
本题以新定义“等边半正多边形”为载体，综合考查了多边形性质、三角形全等、尺规作图多个考点，解题核心是准确理解新定义内涵，将新定义问题转化为已学的常规几何问题求解，能有效考查知识迁移应用和几何推理能力。
【难度系数】
0.65