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1.一个直七棱柱如图所示，观察这个直七棱柱，回答下列问题：
(1)这个直七棱柱共有多少个面？
(2)这个直七棱柱共有多少条棱？共有多少个顶点？
(3)通过对棱柱的观察，请说出n棱柱的顶点数与n的关系以及n棱柱棱的条数与n的关系。
(1)这个直七棱柱共有多少个面？
(2)这个直七棱柱共有多少条棱？共有多少个顶点？
(3)通过对棱柱的观察，请说出n棱柱的顶点数与n的关系以及n棱柱棱的条数与n的关系。
答案
解：
(1) 直七棱柱有7个侧面，上、下共2个底面，总面数为7+2=9。
答：这个直七棱柱共有9个面。
(2) 直七棱柱的上底面有7条棱、7个顶点，下底面有7条棱、7个顶点，侧棱共有7条。
总棱数为7+7+7=21，总顶点数为7+7=14。
答：这个直七棱柱共有21条棱，14个顶点。
(3) n棱柱的上、下底面都是n边形，因此顶点数为2n，即n棱柱的顶点数与n的关系为：顶点数=2n；
n棱柱上、下底面各有n条棱，侧棱共有n条，总棱数为3n，即n棱柱棱的条数与n的关系为：棱的条数=3n。
(1) 直七棱柱有7个侧面，上、下共2个底面，总面数为7+2=9。
答：这个直七棱柱共有9个面。
(2) 直七棱柱的上底面有7条棱、7个顶点，下底面有7条棱、7个顶点，侧棱共有7条。
总棱数为7+7+7=21，总顶点数为7+7=14。
答：这个直七棱柱共有21条棱，14个顶点。
(3) n棱柱的上、下底面都是n边形，因此顶点数为2n，即n棱柱的顶点数与n的关系为：顶点数=2n；
n棱柱上、下底面各有n条棱，侧棱共有n条，总棱数为3n，即n棱柱棱的条数与n的关系为：棱的条数=3n。
解析
【分析】
解题时先明确直棱柱的结构特点：直棱柱有两个互相平行且全等的上下底面，侧面都是长方形，侧棱都垂直于底面。对于这道题：
(1)计算面数时，分别数出侧面数量和底面数量相加即可；
(2)计算棱数和顶点数时，分别统计上底面、下底面的棱和顶点，再加侧棱的数量，求和得到总数；
(3)把七棱柱的计数规律中的7替换为n，即可归纳得到n棱柱的顶点数、棱数和n的关系。
【解析】
(1) 直七棱柱的侧面数量和底面边数相等，有7个侧面，加上上下2个底面，总面数为：$7+2=9$（个）
答：这个直七棱柱共有9个面。
(2) 直七棱柱的上底面有7条棱、7个顶点，下底面和上底面完全相同，也有7条棱、7个顶点，另外还有7条垂直于底面的侧棱。
总棱数：$7+7+7=21$（条），总顶点数：$7+7=14$（个）
答：这个直七棱柱共有21条棱，14个顶点。
(3) 对n棱柱进行分析：上下底面都是n边形，每个n边形有n个顶点，因此总顶点数为$2n$，即顶点数$=2n$；
上下底面各有n条棱，另外还有n条侧棱，总棱数为$n+n+n=3n$，即棱的条数$=3n$。
【答案】
(1)9个；(2)21条棱，14个顶点；(3)顶点数为$2n$，棱的条数为$3n$
【知识点】
1. 直棱柱的结构特征
2. 棱柱元素计数
3. n棱柱规律归纳
【点评】
本题以直七棱柱为载体，考查对棱柱结构的认识，从特殊棱柱的计数推广到一般n棱柱的规律，需要学生掌握棱柱的基本构成，学会从特殊到一般的归纳方法，是立体几何入门的基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时先明确直棱柱的结构特点：直棱柱有两个互相平行且全等的上下底面，侧面都是长方形，侧棱都垂直于底面。对于这道题：
(1)计算面数时，分别数出侧面数量和底面数量相加即可；
(2)计算棱数和顶点数时，分别统计上底面、下底面的棱和顶点，再加侧棱的数量，求和得到总数；
(3)把七棱柱的计数规律中的7替换为n，即可归纳得到n棱柱的顶点数、棱数和n的关系。
【解析】
(1) 直七棱柱的侧面数量和底面边数相等，有7个侧面，加上上下2个底面，总面数为：$7+2=9$（个）
答：这个直七棱柱共有9个面。
(2) 直七棱柱的上底面有7条棱、7个顶点，下底面和上底面完全相同，也有7条棱、7个顶点，另外还有7条垂直于底面的侧棱。
总棱数：$7+7+7=21$（条），总顶点数：$7+7=14$（个）
答：这个直七棱柱共有21条棱，14个顶点。
(3) 对n棱柱进行分析：上下底面都是n边形，每个n边形有n个顶点，因此总顶点数为$2n$，即顶点数$=2n$；
上下底面各有n条棱，另外还有n条侧棱，总棱数为$n+n+n=3n$，即棱的条数$=3n$。
【答案】
(1)9个；(2)21条棱，14个顶点；(3)顶点数为$2n$，棱的条数为$3n$
【知识点】
1. 直棱柱的结构特征
2. 棱柱元素计数
3. n棱柱规律归纳
【点评】
本题以直七棱柱为载体，考查对棱柱结构的认识，从特殊棱柱的计数推广到一般n棱柱的规律，需要学生掌握棱柱的基本构成，学会从特殊到一般的归纳方法，是立体几何入门的基础题型。
【难度系数】
0.9
【例2】将各选项中的平面图形绕轴旋转一周，能形成图中所示的立体图形的是（）
【规律方法】
球可看成由半圆形绕直径所在的直线旋转一周得到的，圆柱可看成由长方形绕某条边所在的直线旋转一周得到的，圆锥可看成由直角三角形绕着一条直角边所在的直线旋转一周得到的，圆台可看成由直角梯形绕其较短腰所在的直线旋转一周得到的。
【规律方法】
球可看成由半圆形绕直径所在的直线旋转一周得到的，圆柱可看成由长方形绕某条边所在的直线旋转一周得到的，圆锥可看成由直角三角形绕着一条直角边所在的直线旋转一周得到的，圆台可看成由直角梯形绕其较短腰所在的直线旋转一周得到的。
答案
A
解析
【分析】
本题考查平面图形旋转形成立体图形的相关知识，解题思路如下：首先回忆常见平面图形旋转得到立体图形的规律，再将题干的组合立体拆解为基础立体，判断各基础立体对应的平面图形，最后对比选项找到符合要求的答案。题干中的立体是下方圆柱、上方圆锥的组合体，圆柱由长方形绕边旋转得到，圆锥由直角三角形绕直角边旋转得到，因此对应的平面图形应为下方长方形、上方直角三角形，且二者共享一条边作为旋转轴，只有选项A符合该特征。
【解析】
根据“面动成体”的原理分析：
1. 题干给出的立体是圆柱与圆锥的组合体，下方为圆柱，上方为圆锥，且圆锥底面和圆柱上底面完全重合。
2. 对选项A，下方的长方形绕公共旋转轴旋转一周得到圆柱，上方的直角三角形绕公共旋转轴旋转一周得到圆锥，所得组合立体与题干图形完全一致。
3. 其余选项旋转后得到的立体图形均与题干不符，因此正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
面动成体，圆柱的形成，圆锥的形成
【点评】
本题侧重考查旋转体的形成规律，解题关键是熟练掌握常见基础旋转体对应的平面图形，将组合立体拆解后对应分析即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查平面图形旋转形成立体图形的相关知识，解题思路如下：首先回忆常见平面图形旋转得到立体图形的规律，再将题干的组合立体拆解为基础立体，判断各基础立体对应的平面图形，最后对比选项找到符合要求的答案。题干中的立体是下方圆柱、上方圆锥的组合体，圆柱由长方形绕边旋转得到，圆锥由直角三角形绕直角边旋转得到，因此对应的平面图形应为下方长方形、上方直角三角形，且二者共享一条边作为旋转轴，只有选项A符合该特征。
【解析】
根据“面动成体”的原理分析：
1. 题干给出的立体是圆柱与圆锥的组合体，下方为圆柱，上方为圆锥，且圆锥底面和圆柱上底面完全重合。
2. 对选项A，下方的长方形绕公共旋转轴旋转一周得到圆柱，上方的直角三角形绕公共旋转轴旋转一周得到圆锥，所得组合立体与题干图形完全一致。
3. 其余选项旋转后得到的立体图形均与题干不符，因此正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
面动成体，圆柱的形成，圆锥的形成
【点评】
本题侧重考查旋转体的形成规律，解题关键是熟练掌握常见基础旋转体对应的平面图形，将组合立体拆解后对应分析即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.下列选项中，将三角形绕轴旋转一周，可以得到图中所示的立体图形的是（
A
B
C
D
B
）A
B
C
D
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先要明确目标立体图形的构成：它是两个底面完全相同的圆锥，将底面重合拼接形成的组合体。再结合“面动成体”的原理思考：圆锥由直角三角形绕直角边旋转一周得到，要得到两个共底的圆锥，说明旋转的平面三角形需要满足两个顶点在旋转轴上、第三个顶点在轴外，旋转时轴外的顶点会形成公共底面的圆周，两条连接轴上顶点和轴外顶点的边会分别形成上下两个圆锥的侧面。最后逐一分析各选项旋转后得到的图形，匹配目标图形即可。
【解析】
首先分析题干中的立体图形：该图形是两个底面大小相等的圆锥底面重合拼接而成的组合体。
逐一分析选项：
选项A：等腰三角形绕其对称轴（即图中轴）旋转一周，会得到1个独立的圆锥，不符合要求；
选项B：该三角形有两个顶点在旋转轴上，第三个顶点在轴外侧，绕轴旋转一周时，外侧顶点旋转形成两个圆锥的公共底面圆周，两条连接轴上顶点和外侧顶点的边分别旋转形成上下两个圆锥的侧面，正好得到题干所示的立体图形，符合要求；
选项C：直角三角形绕直角边（即图中轴）旋转一周，会得到1个小圆锥，不符合要求；
选项D：直角三角形绕直角边（即图中轴）旋转一周，会得到1个小圆锥，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
面动成体；旋转体的形成；圆锥的特征
【点评】
本题主要考查平面图形旋转形成立体图形的相关知识，解题核心是先拆解目标立体的构成，再结合空间想象判断各选项旋转后的图形，对空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确目标立体图形的构成：它是两个底面完全相同的圆锥，将底面重合拼接形成的组合体。再结合“面动成体”的原理思考：圆锥由直角三角形绕直角边旋转一周得到，要得到两个共底的圆锥，说明旋转的平面三角形需要满足两个顶点在旋转轴上、第三个顶点在轴外，旋转时轴外的顶点会形成公共底面的圆周，两条连接轴上顶点和轴外顶点的边会分别形成上下两个圆锥的侧面。最后逐一分析各选项旋转后得到的图形，匹配目标图形即可。
【解析】
首先分析题干中的立体图形：该图形是两个底面大小相等的圆锥底面重合拼接而成的组合体。
逐一分析选项：
选项A：等腰三角形绕其对称轴（即图中轴）旋转一周，会得到1个独立的圆锥，不符合要求；
选项B：该三角形有两个顶点在旋转轴上，第三个顶点在轴外侧，绕轴旋转一周时，外侧顶点旋转形成两个圆锥的公共底面圆周，两条连接轴上顶点和外侧顶点的边分别旋转形成上下两个圆锥的侧面，正好得到题干所示的立体图形，符合要求；
选项C：直角三角形绕直角边（即图中轴）旋转一周，会得到1个小圆锥，不符合要求；
选项D：直角三角形绕直角边（即图中轴）旋转一周，会得到1个小圆锥，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
面动成体；旋转体的形成；圆锥的特征
【点评】
本题主要考查平面图形旋转形成立体图形的相关知识，解题核心是先拆解目标立体的构成，再结合空间想象判断各选项旋转后的图形，对空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
1.如图，在下面四个立体图形中，含有曲面的立体图形的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先明确判断标准：面分为平面和曲面，曲面是带有弧度、不平整的面。接下来只需逐个分析四个立体图形的面的构成，判断每个图形是否含有曲面，最后统计含曲面的图形个数即可得到答案。
【解析】
逐个分析四个立体图形：
1. 第一个是正方体，它的6个面都是正方形，全部为平面，不含曲面；
2. 第二个是球，整个表面都是曲面，含有曲面；
3. 第三个是圆锥，底面为圆形（平面），侧面是曲面，含有曲面；
4. 第四个是五棱柱，上下底面是五边形、侧面是长方形，所有面都是平面，不含曲面。
综上，含有曲面的立体图形是球和圆锥，共2个。
【答案】
B
【知识点】
立体图形的识别；平面与曲面的区分
【点评】
本题考查对常见立体图形特征的掌握，解题关键是明确平面和曲面的区别，熟悉常见立体图形的面的构成，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确判断标准：面分为平面和曲面，曲面是带有弧度、不平整的面。接下来只需逐个分析四个立体图形的面的构成，判断每个图形是否含有曲面，最后统计含曲面的图形个数即可得到答案。
【解析】
逐个分析四个立体图形：
1. 第一个是正方体，它的6个面都是正方形，全部为平面，不含曲面；
2. 第二个是球，整个表面都是曲面，含有曲面；
3. 第三个是圆锥，底面为圆形（平面），侧面是曲面，含有曲面；
4. 第四个是五棱柱，上下底面是五边形、侧面是长方形，所有面都是平面，不含曲面。
综上，含有曲面的立体图形是球和圆锥，共2个。
【答案】
B
【知识点】
立体图形的识别；平面与曲面的区分
【点评】
本题考查对常见立体图形特征的掌握，解题关键是明确平面和曲面的区别，熟悉常见立体图形的面的构成，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
2.(传统文化)中华武术是中国传统文化之一，
是独具民族风貌的武术文化体系.“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为(
A.点动成线，线动成面
B.线动成面，面动成体
C.点动成线，面动成体
D.点动成面，面动成线
是独具民族风貌的武术文化体系.“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为(
A
)A.点动成线，线动成面
B.线动成面，面动成体
C.点动成线，面动成体
D.点动成面，面动成线
答案
2. A
解析
【分析】
首先回忆点、线、面的动态形成规律：点运动形成线，线运动形成面，面运动形成体。接下来分别分析两句俗语对应的数学原理：①“枪挑一条线”中，枪头可以看作一个点，枪头移动的轨迹会形成一条线，对应点动成线；②“棍扫一大片”中，棍可以看作一条线，棍挥动时扫过的区域会形成一个面，对应线动成面。最后结合选项选出符合的答案即可。
【解析】
我们分别对两个描述进行数学原理分析：
1. “枪挑一条线”：枪的尖端可看作一个点，枪尖在挑动的过程中，运动的轨迹形成了一条线，符合“点动成线”的规律。
2. “棍扫一大片”：棍的形状可看作一条线，棍在挥动扫动的过程中，扫过的区域形成了一个平面，符合“线动成面”的规律。
因此这两句话对应的数学解释是点动成线，线动成面，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
点动成线；线动成面
【点评】
本题结合中华传统文化中的武术常识考查数学基础概念，情境新颖贴近生活，解题的关键是准确将生活中的物体抽象为对应的几何元素，再结合点线面的动态形成规律判断即可。
【难度系数】
0.9
首先回忆点、线、面的动态形成规律：点运动形成线，线运动形成面，面运动形成体。接下来分别分析两句俗语对应的数学原理：①“枪挑一条线”中，枪头可以看作一个点，枪头移动的轨迹会形成一条线，对应点动成线；②“棍扫一大片”中，棍可以看作一条线，棍挥动时扫过的区域会形成一个面，对应线动成面。最后结合选项选出符合的答案即可。
【解析】
我们分别对两个描述进行数学原理分析：
1. “枪挑一条线”：枪的尖端可看作一个点，枪尖在挑动的过程中，运动的轨迹形成了一条线，符合“点动成线”的规律。
2. “棍扫一大片”：棍的形状可看作一条线，棍在挥动扫动的过程中，扫过的区域形成了一个平面，符合“线动成面”的规律。
因此这两句话对应的数学解释是点动成线，线动成面，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
点动成线；线动成面
【点评】
本题结合中华传统文化中的武术常识考查数学基础概念，情境新颖贴近生活，解题的关键是准确将生活中的物体抽象为对应的几何元素，再结合点线面的动态形成规律判断即可。
【难度系数】
0.9
