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一、选择题
1. 对于$\sqrt{a}$,以下说法正确的是(
A.它表示实数$a$的算术平方根
B.它表示非正实数$a$的算术平方根
C.它表示正实数$a$的算术平方根
D.它表示非负实数$a$的算术平方根
1. 对于$\sqrt{a}$,以下说法正确的是(
D
)A.它表示实数$a$的算术平方根
B.它表示非正实数$a$的算术平方根
C.它表示正实数$a$的算术平方根
D.它表示非负实数$a$的算术平方根
答案
1. D
解析
【分析】
解题首先要明确两个核心概念：一是二次根式有意义的条件，即被开方数必须是非负数（$a≥0$）；二是算术平方根的定义，若一个非负数$x$的平方等于$a$，则$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$。接下来逐一核对四个选项的描述是否符合这两个概念即可得出正确答案。
【解析】
根据二次根式和算术平方根的定义可知：
形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，其中被开方数$a$必须为非负实数，$\sqrt{a}$表示的就是非负实数$a$的算术平方根，算术平方根的结果也为非负数。
对各选项逐一分析：
A选项：未限定$a$的取值范围，若$a$为负数，$\sqrt{a}$无意义，描述错误；
B选项：“非正实数$a$”即$a≤0$，当$a$为负数时$\sqrt{a}$无意义，描述错误；
C选项：漏掉了$a=0$的情况，$\sqrt{0}=0$有意义，0不属于正实数，描述错误；
D选项：非负实数即$a≥0$，符合$\sqrt{a}$有意义的条件，且$\sqrt{a}$就是非负实数$a$的算术平方根，描述正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的定义，算术平方根的概念，二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念考察题，易错点是容易遗漏$a=0$的特殊情况，或记错被开方数的取值范围，只要准确掌握相关基础定义就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确两个核心概念：一是二次根式有意义的条件，即被开方数必须是非负数（$a≥0$）；二是算术平方根的定义，若一个非负数$x$的平方等于$a$，则$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$。接下来逐一核对四个选项的描述是否符合这两个概念即可得出正确答案。
【解析】
根据二次根式和算术平方根的定义可知：
形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，其中被开方数$a$必须为非负实数，$\sqrt{a}$表示的就是非负实数$a$的算术平方根，算术平方根的结果也为非负数。
对各选项逐一分析：
A选项：未限定$a$的取值范围，若$a$为负数，$\sqrt{a}$无意义，描述错误；
B选项：“非正实数$a$”即$a≤0$，当$a$为负数时$\sqrt{a}$无意义，描述错误；
C选项：漏掉了$a=0$的情况，$\sqrt{0}=0$有意义，0不属于正实数，描述错误；
D选项：非负实数即$a≥0$，符合$\sqrt{a}$有意义的条件，且$\sqrt{a}$就是非负实数$a$的算术平方根，描述正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的定义，算术平方根的概念，二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念考察题，易错点是容易遗漏$a=0$的特殊情况，或记错被开方数的取值范围，只要准确掌握相关基础定义就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
2. 下列二次根式中，$x$的取值范围为$x≥2$的是(
A.$\sqrt{2-x}$
B.$\sqrt{2+x}$
C.$\sqrt{x-2}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{x-2}}$
C
)A.$\sqrt{2-x}$
B.$\sqrt{2+x}$
C.$\sqrt{x-2}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{x-2}}$
答案
2. C
解析
【分析】
要选出x的取值范围为$x≥2$的选项，需先明确二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数，若被开方数含有分母，还需保证分母不为0。我们只需逐一计算每个选项中x的取值范围，再和题干要求的$x≥2$对比，即可选出正确答案。
【解析】
根据二次根式有意义的规则：被开方数≥0，被开方数含分母时分母≠0，逐个分析选项：
A. 对于$\sqrt{2-x}$，需满足$2-x≥0$，解得$x≤2$，不符合题意；
B. 对于$\sqrt{2+x}$，需满足$2+x≥0$，解得$x≥-2$，不符合题意；
C. 对于$\sqrt{x-2}$，需满足$x-2≥0$，解得$x≥2$，符合题意；
D. 对于$\sqrt{\dfrac{1}{x-2}}$，需满足$\begin{cases}\dfrac{1}{x-2}≥0 \\x-2≠0 \end{cases}$，即$x-2＞0$，解得$x＞2$，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于二次根式的基础考查题，解题核心是牢记二次根式被开方数非负的性质，遇到被开方数为分式的情况时，不要遗漏分母不为0的限制条件。
【难度系数】
0.8
要选出x的取值范围为$x≥2$的选项，需先明确二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数，若被开方数含有分母，还需保证分母不为0。我们只需逐一计算每个选项中x的取值范围，再和题干要求的$x≥2$对比，即可选出正确答案。
【解析】
根据二次根式有意义的规则：被开方数≥0，被开方数含分母时分母≠0，逐个分析选项：
A. 对于$\sqrt{2-x}$，需满足$2-x≥0$，解得$x≤2$，不符合题意；
B. 对于$\sqrt{2+x}$，需满足$2+x≥0$，解得$x≥-2$，不符合题意；
C. 对于$\sqrt{x-2}$，需满足$x-2≥0$，解得$x≥2$，符合题意；
D. 对于$\sqrt{\dfrac{1}{x-2}}$，需满足$\begin{cases}\dfrac{1}{x-2}≥0 \\x-2≠0 \end{cases}$，即$x-2＞0$，解得$x＞2$，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于二次根式的基础考查题，解题核心是牢记二次根式被开方数非负的性质，遇到被开方数为分式的情况时，不要遗漏分母不为0的限制条件。
【难度系数】
0.8
3. 若式子$\frac{\sqrt{a+1}}{a-2}$有意义，则实数$a$的取值范围是(
A.$a≥ -1$
B.$a≠2$
C.$a＞2$
D.$a≥ -1$且$a≠2$
D
)A.$a≥ -1$
B.$a≠2$
C.$a＞2$
D.$a≥ -1$且$a≠2$
答案
3. D
解析
【分析】
要确定代数式有意义时字母的取值范围，首先观察代数式的结构：式子包含二次根式和分式两部分，需同时满足两个限制条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分式的分母不能为0。分别列出对应的不等式，再取两个不等式解集的公共部分，即可得到a的取值范围。
【解析】
要使式子$\frac{\sqrt{a+1}}{a-2}$有意义，需同时满足：
1. 二次根式的被开方数非负：$a+1≥0$，解得$a≥-1$；
2. 分式的分母不为0：$a-2≠0$，解得$a≠2$。
结合两个条件，实数a的取值范围是$a≥ -1$且$a≠2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，考查代数式有意义的取值范围求解，解题时需全面梳理式子中所有隐含的限制条件，避免遗漏分母不为0的要求即可正确作答。
【难度系数】
0.8
要确定代数式有意义时字母的取值范围，首先观察代数式的结构：式子包含二次根式和分式两部分，需同时满足两个限制条件：①二次根式的被开方数为非负数；②分式的分母不能为0。分别列出对应的不等式，再取两个不等式解集的公共部分，即可得到a的取值范围。
【解析】
要使式子$\frac{\sqrt{a+1}}{a-2}$有意义，需同时满足：
1. 二次根式的被开方数非负：$a+1≥0$，解得$a≥-1$；
2. 分式的分母不为0：$a-2≠0$，解得$a≠2$。
结合两个条件，实数a的取值范围是$a≥ -1$且$a≠2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，考查代数式有意义的取值范围求解，解题时需全面梳理式子中所有隐含的限制条件，避免遗漏分母不为0的要求即可正确作答。
【难度系数】
0.8
4. 已知$x,y$满足$\sqrt{4x -5y}+\sqrt{x - y -1}=0$，则$x,y$的值为(
A.$x=2,y=1$
B.$x=3,y=2$
C.$x=5,y=4$
D.$x=4,y=5$
C
)A.$x=2,y=1$
B.$x=3,y=2$
C.$x=5,y=4$
D.$x=4,y=5$
答案
4. C
解析
【分析】
二次根式具有非负性，即$\sqrt{a}\ge0(a\ge0)$，两个非负数相加和为0时，仅当两个非负数各自都为0时等式成立。因此我们可以根据这个性质列出关于$x,y$的二元一次方程组，解方程组得到$x,y$的值后匹配选项即可。
【解析】
解：$\because$二次根式的结果为非负数
$\therefore\sqrt{4x-5y}\ge0$，$\sqrt{x-y-1}\ge0$
又$\because\sqrt{4x -5y}+\sqrt{x - y -1}=0$
$\therefore$可列方程组：
$\begin{cases}4x-5y=0&①\\x-y-1=0&②\end{cases}$
由②得：$x=y+1$ ③
将③代入①得：$4(y+1)-5y=0$
展开计算：$4y+4-5y=0$，解得$y=4$
将$y=4$代入③得：$x=4+1=5$
即$\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的非负性，解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握非负数的性质，明确几个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0，据此列方程求解即可。
【难度系数】
0.8
二次根式具有非负性，即$\sqrt{a}\ge0(a\ge0)$，两个非负数相加和为0时，仅当两个非负数各自都为0时等式成立。因此我们可以根据这个性质列出关于$x,y$的二元一次方程组，解方程组得到$x,y$的值后匹配选项即可。
【解析】
解：$\because$二次根式的结果为非负数
$\therefore\sqrt{4x-5y}\ge0$，$\sqrt{x-y-1}\ge0$
又$\because\sqrt{4x -5y}+\sqrt{x - y -1}=0$
$\therefore$可列方程组：
$\begin{cases}4x-5y=0&①\\x-y-1=0&②\end{cases}$
由②得：$x=y+1$ ③
将③代入①得：$4(y+1)-5y=0$
展开计算：$4y+4-5y=0$，解得$y=4$
将$y=4$代入③得：$x=4+1=5$
即$\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的非负性，解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握非负数的性质，明确几个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0，据此列方程求解即可。
【难度系数】
0.8
5*. 若$m=\sqrt{2n-5}+\sqrt{5-2n}+2$，则$n^{-m}=$(
A.$\dfrac{4}{25}$
B.$\dfrac{25}{4}$
C.$-\dfrac{25}{4}$
D.$-\dfrac{4}{25}$
A
)A.$\dfrac{4}{25}$
B.$\dfrac{25}{4}$
C.$-\dfrac{25}{4}$
D.$-\dfrac{4}{25}$
答案
5. A
解析
【分析】
解题时首先要回忆二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数。本题中两个二次根式的被开方数2n-5和5-2n互为相反数，要同时满足非负，只能二者都为0，由此先求出n的值，再代入原式求出m的值，最后根据负整数指数幂的运算规则计算$n^{-m}$即可。
【解析】
要使二次根式有意义，则被开方数为非负数，可得不等式组：
$\begin{cases}2n-5≥0 \\5-2n≥0 \end{cases}$
解第一个不等式得$n≥\frac{5}{2}$，解第二个不等式得$n≤\frac{5}{2}$，因此$n=\frac{5}{2}$。
将$n=\frac{5}{2}$代入$m=\sqrt{2n-5}+\sqrt{5-2n}+2$，得：
$m=\sqrt{0}+\sqrt{0}+2=2$
再计算$n^{-m}$：
$n^{-m}=(\frac{5}{2})^{-2}=\frac{1}{(\frac{5}{2})^2}=\frac{1}{\frac{25}{4}}=\frac{4}{25}$
【答案】
A
【知识点】
1.二次根式有意义的条件 2.负整数指数幂运算 3.代数式求值
【点评】
本题是二次根式的典型基础题，解题关键是抓住互为相反数的两个数同时非负时只能都为0的特点求出n的值，再依次代入计算即可，需熟练掌握二次根式的性质和负指数幂的运算规则。
【难度系数】
0.7
解题时首先要回忆二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数。本题中两个二次根式的被开方数2n-5和5-2n互为相反数，要同时满足非负，只能二者都为0，由此先求出n的值，再代入原式求出m的值，最后根据负整数指数幂的运算规则计算$n^{-m}$即可。
【解析】
要使二次根式有意义，则被开方数为非负数，可得不等式组：
$\begin{cases}2n-5≥0 \\5-2n≥0 \end{cases}$
解第一个不等式得$n≥\frac{5}{2}$，解第二个不等式得$n≤\frac{5}{2}$，因此$n=\frac{5}{2}$。
将$n=\frac{5}{2}$代入$m=\sqrt{2n-5}+\sqrt{5-2n}+2$，得：
$m=\sqrt{0}+\sqrt{0}+2=2$
再计算$n^{-m}$：
$n^{-m}=(\frac{5}{2})^{-2}=\frac{1}{(\frac{5}{2})^2}=\frac{1}{\frac{25}{4}}=\frac{4}{25}$
【答案】
A
【知识点】
1.二次根式有意义的条件 2.负整数指数幂运算 3.代数式求值
【点评】
本题是二次根式的典型基础题，解题关键是抓住互为相反数的两个数同时非负时只能都为0的特点求出n的值，再依次代入计算即可，需熟练掌握二次根式的性质和负指数幂的运算规则。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 在式子$\sqrt{-7}$，$\sqrt[3]{2m}$，$\sqrt{x^2 +1}$，$\sqrt{a^2 -1}$中，一定是二次根式的是
1. 在式子$\sqrt{-7}$，$\sqrt[3]{2m}$，$\sqrt{x^2 +1}$，$\sqrt{a^2 -1}$中，一定是二次根式的是
$\sqrt{x^2 + 1}$
。答案
1. $\sqrt{x^2 + 1}$
解析
【分析】
要判断哪个式子一定是二次根式，首先需明确二次根式的两个判定条件：①含有二次根号（根指数为2，通常省略不写）；②被开方数是非负数（大于等于0）。且题目要求“一定是”，意味着无论式子中的字母取任意有意义的实数值，都要满足被开方数非负的要求。我们可以逐个分析给出的四个式子：首先排除根指数不是2的式子，再排除被开方数可能小于0的式子，最终得到符合要求的答案。
【解析】
根据二次根式的定义逐一判断：
1. 对于$\sqrt{-7}$：被开方数为$-7＜0$，在实数范围内无意义，不属于二次根式；
2. 对于$\sqrt[3]{2m}$：根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式根指数为2的要求，不是二次根式；
3. 对于$\sqrt{x^2 +1}$：由平方的非负性可知，任意实数的平方都满足$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1＞0$，同时该式子根指数为2，完全符合二次根式的定义，无论$x$取何值都成立，因此一定是二次根式；
4. 对于$\sqrt{a^2 -1}$：当$|a|＜1$时（例如$a=0$），$a^2-1=-1＜0$，此时式子无意义，因此它不一定是二次根式。
综上，一定是二次根式的是$\sqrt{x^2 +1}$。
【答案】
$\sqrt{x^2 + 1}$
【知识点】
二次根式的定义，平方的非负性
【点评】
本题是二次根式判定的基础题，解题的核心是牢牢抓住二次根式的两个判定条件，尤其注意“一定是”的要求是式子在字母取所有有效值时都满足被开方数非负，避免忽略字母取值对被开方数符号的影响。
【难度系数】
0.8
要判断哪个式子一定是二次根式，首先需明确二次根式的两个判定条件：①含有二次根号（根指数为2，通常省略不写）；②被开方数是非负数（大于等于0）。且题目要求“一定是”，意味着无论式子中的字母取任意有意义的实数值，都要满足被开方数非负的要求。我们可以逐个分析给出的四个式子：首先排除根指数不是2的式子，再排除被开方数可能小于0的式子，最终得到符合要求的答案。
【解析】
根据二次根式的定义逐一判断：
1. 对于$\sqrt{-7}$：被开方数为$-7＜0$，在实数范围内无意义，不属于二次根式；
2. 对于$\sqrt[3]{2m}$：根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式根指数为2的要求，不是二次根式；
3. 对于$\sqrt{x^2 +1}$：由平方的非负性可知，任意实数的平方都满足$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1＞0$，同时该式子根指数为2，完全符合二次根式的定义，无论$x$取何值都成立，因此一定是二次根式；
4. 对于$\sqrt{a^2 -1}$：当$|a|＜1$时（例如$a=0$），$a^2-1=-1＜0$，此时式子无意义，因此它不一定是二次根式。
综上，一定是二次根式的是$\sqrt{x^2 +1}$。
【答案】
$\sqrt{x^2 + 1}$
【知识点】
二次根式的定义，平方的非负性
【点评】
本题是二次根式判定的基础题，解题的核心是牢牢抓住二次根式的两个判定条件，尤其注意“一定是”的要求是式子在字母取所有有效值时都满足被开方数非负，避免忽略字母取值对被开方数符号的影响。
【难度系数】
0.8
2. 当x
＜-7
时，式子$\sqrt{x+7}$在实数范围内无意义。答案
2. x＜-7
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆二次根式的性质：二次根式$\sqrt{a}$在实数范围内有意义的条件是被开方数$a$为非负数（即$a≥0$），反过来，若被开方数$a＜0$，则二次根式在实数范围内无意义。因此我们只需要让题中二次根式的被开方数$x+7$小于0，解该不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】
解：
∵二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数为非负数
∴当被开方数小于0时，二次根式在实数范围内无意义
式子$\sqrt{x+7}$的被开方数为$x+7$，令$x+7＜0$
解不等式得：$x＜-7$
【答案】
$x＜-7$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念题，主要考察二次根式相关规则的逆向应用，只要牢记二次根式被开方数的取值要求，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先回忆二次根式的性质：二次根式$\sqrt{a}$在实数范围内有意义的条件是被开方数$a$为非负数（即$a≥0$），反过来，若被开方数$a＜0$，则二次根式在实数范围内无意义。因此我们只需要让题中二次根式的被开方数$x+7$小于0，解该不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】
解：
∵二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数为非负数
∴当被开方数小于0时，二次根式在实数范围内无意义
式子$\sqrt{x+7}$的被开方数为$x+7$，令$x+7＜0$
解不等式得：$x＜-7$
【答案】
$x＜-7$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念题，主要考察二次根式相关规则的逆向应用，只要牢记二次根式被开方数的取值要求，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
3. 函数$y=\sqrt{3-x}$中，自变量$x$的取值范围是
$x≤3$
。答案
3. $x≤3$
解析
【分析】
要确定带二次根号的函数自变量的取值范围，首先回忆二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数。因此我们只需让根号内的表达式大于等于0，列出对应的一元一次不等式，求解不等式就能得到x的取值范围。
【解析】
∵ 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数
∴ 对于函数$y=\sqrt{3-x}$，需满足被开方数$3-x≥0$
解不等式：
移项得 $-x≥-3$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得 $x≤3$
【答案】
$x≤3$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 函数自变量取值范围
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对二次根式成立条件的掌握，只要牢记被开方数为非负数，正确求解一元一次不等式即可得分。
【难度系数】
0.9
要确定带二次根号的函数自变量的取值范围，首先回忆二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数。因此我们只需让根号内的表达式大于等于0，列出对应的一元一次不等式，求解不等式就能得到x的取值范围。
【解析】
∵ 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数
∴ 对于函数$y=\sqrt{3-x}$，需满足被开方数$3-x≥0$
解不等式：
移项得 $-x≥-3$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得 $x≤3$
【答案】
$x≤3$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 函数自变量取值范围
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对二次根式成立条件的掌握，只要牢记被开方数为非负数，正确求解一元一次不等式即可得分。
【难度系数】
0.9
4. 若$\sqrt{x-2y}$有意义，则$x,y$应满足的条件是
$x≥2y$
。答案
4. $x≥2y$
解析
【分析】
解决本题首先要明确二次根式有意义的判定规则：二次根式的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义。本题中二次根式的被开方数是$x-2y$，因此只需令该被开方数大于等于0，再整理不等式即可得到$x$、$y$需要满足的条件。
【解析】
解：根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，可得：
$x-2y≥0$
对不等式移项变形，得：
$x≥2y$
【答案】
$x≥2y$
【知识点】
二次根式有意义的条件；不等式的基本性质
【点评】
本题是二次根式章节的基础常规题，核心考查对二次根式成立条件的记忆和简单不等式的变形能力，解题关键是牢记“被开方数非负”的核心要求，移项时注意符号变换即可。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确二次根式有意义的判定规则：二次根式的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义。本题中二次根式的被开方数是$x-2y$，因此只需令该被开方数大于等于0，再整理不等式即可得到$x$、$y$需要满足的条件。
【解析】
解：根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，可得：
$x-2y≥0$
对不等式移项变形，得：
$x≥2y$
【答案】
$x≥2y$
【知识点】
二次根式有意义的条件；不等式的基本性质
【点评】
本题是二次根式章节的基础常规题，核心考查对二次根式成立条件的记忆和简单不等式的变形能力，解题关键是牢记“被开方数非负”的核心要求，移项时注意符号变换即可。
【难度系数】
0.9
三、解答题
1. x取怎样的实数时，下列二次根式有意义？
（1）$\sqrt{2x - 1}$；
（2）$\frac{x - 2}{\sqrt{x - 2}}$；
（3）$\sqrt{-x^2}$；
（4）$\sqrt{4 + 2x^2}$；
（5）$\sqrt{-x}$；
（6）$\sqrt{\frac{1}{6 - 3x}}$；
1. x取怎样的实数时，下列二次根式有意义？
（1）$\sqrt{2x - 1}$；
（2）$\frac{x - 2}{\sqrt{x - 2}}$；
（3）$\sqrt{-x^2}$；
（4）$\sqrt{4 + 2x^2}$；
（5）$\sqrt{-x}$；
（6）$\sqrt{\frac{1}{6 - 3x}}$；
答案
1. (1)$x≥\dfrac{1}{2}$ (2)$x＞2$ (3)$x=0$ (4)$x$为任意实数 (5)$x≤0$ (6)$x＜2$
解析
【分析】
要判断二次根式有意义的x的取值范围，核心依据是：①二次根式的被开方数必须是非负数；②如果式子中含有分母，分母不能为0。解题时逐个分析每个式子的结构，根据结构列出对应的不等式（组），解不等式（组）即可得到x的取值范围：
（1）仅含单个二次根式，直接令被开方数≥0列不等式；
（2）二次根式在分母位置，需同时满足被开方数＞0（保证根式有意义且分母不为0）；
（3）被开方数是含平方的负式，结合平方的非负性求解；
（4）被开方数是平方加正数，利用平方非负性判断恒正；
（5）被开方数是负的x，直接列不等式求解；
（6）被开方数是分式，需保证分式本身为正，即分母＞0。
【解析】
判断二次根式有意义的核心规则：二次根式$\sqrt{a}$有意义的条件是$a≥0$；若式子含分母，还需满足分母不为0。
（1）要使$\sqrt{2x - 1}$有意义，则被开方数满足：
$2x-1≥0$
解得：$x≥\frac{1}{2}$
（2）要使$\frac{x - 2}{\sqrt{x - 2}}$有意义，分母$\sqrt{x-2}$不能为0且根式有意义，则：
$x-2＞0$
解得：$x＞2$
（3）要使$\sqrt{-x^2}$有意义，则被开方数满足：
$-x^2≥0$，即$x^2≤0$
又$\because x^2≥0$恒成立，$\therefore x^2=0$，即$x=0$
（4）要使$\sqrt{4 + 2x^2}$有意义，则被开方数满足：
$4+2x^2≥0$
$\because x^2≥0$恒成立，$\therefore 4+2x^2≥4＞0$恒成立
$\therefore x$为任意实数时，该式都有意义
（5）要使$\sqrt{-x}$有意义，则被开方数满足：
$-x≥0$
解得：$x≤0$
（6）要使$\sqrt{\frac{1}{6 - 3x}}$有意义，被开方数为非负数且分母不为0，则：
$\frac{1}{6-3x}＞0$，即$6-3x＞0$
解得：$x＜2$
【答案】
(1)$x≥\dfrac{1}{2}$ (2)$x＞2$ (3)$x=0$ (4)$x$为任意实数 (5)$x≤0$ (6)$x＜2$
【知识点】
二次根式有意义的条件、解一元一次不等式、分式有意义的条件
【点评】
本题是二次根式意义的基础应用题型，解题时要注意根据式子的结构列出对应的限制条件，尤其要注意根号在分母、被开方数是分式这两类特殊情况，不要遗漏分母不为0的要求，掌握规则后即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断二次根式有意义的x的取值范围，核心依据是：①二次根式的被开方数必须是非负数；②如果式子中含有分母，分母不能为0。解题时逐个分析每个式子的结构，根据结构列出对应的不等式（组），解不等式（组）即可得到x的取值范围：
（1）仅含单个二次根式，直接令被开方数≥0列不等式；
（2）二次根式在分母位置，需同时满足被开方数＞0（保证根式有意义且分母不为0）；
（3）被开方数是含平方的负式，结合平方的非负性求解；
（4）被开方数是平方加正数，利用平方非负性判断恒正；
（5）被开方数是负的x，直接列不等式求解；
（6）被开方数是分式，需保证分式本身为正，即分母＞0。
【解析】
判断二次根式有意义的核心规则：二次根式$\sqrt{a}$有意义的条件是$a≥0$；若式子含分母，还需满足分母不为0。
（1）要使$\sqrt{2x - 1}$有意义，则被开方数满足：
$2x-1≥0$
解得：$x≥\frac{1}{2}$
（2）要使$\frac{x - 2}{\sqrt{x - 2}}$有意义，分母$\sqrt{x-2}$不能为0且根式有意义，则：
$x-2＞0$
解得：$x＞2$
（3）要使$\sqrt{-x^2}$有意义，则被开方数满足：
$-x^2≥0$，即$x^2≤0$
又$\because x^2≥0$恒成立，$\therefore x^2=0$，即$x=0$
（4）要使$\sqrt{4 + 2x^2}$有意义，则被开方数满足：
$4+2x^2≥0$
$\because x^2≥0$恒成立，$\therefore 4+2x^2≥4＞0$恒成立
$\therefore x$为任意实数时，该式都有意义
（5）要使$\sqrt{-x}$有意义，则被开方数满足：
$-x≥0$
解得：$x≤0$
（6）要使$\sqrt{\frac{1}{6 - 3x}}$有意义，被开方数为非负数且分母不为0，则：
$\frac{1}{6-3x}＞0$，即$6-3x＞0$
解得：$x＜2$
【答案】
(1)$x≥\dfrac{1}{2}$ (2)$x＞2$ (3)$x=0$ (4)$x$为任意实数 (5)$x≤0$ (6)$x＜2$
【知识点】
二次根式有意义的条件、解一元一次不等式、分式有意义的条件
【点评】
本题是二次根式意义的基础应用题型，解题时要注意根据式子的结构列出对应的限制条件，尤其要注意根号在分母、被开方数是分式这两类特殊情况，不要遗漏分母不为0的要求，掌握规则后即可快速求解。
【难度系数】
0.8
