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4. 定义:一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$,若根的判别式$\Delta=b^2-4ac$是一个完全平方数(式),则此方程叫完美方程.
(1)判断下列方程一定是完美方程的是
①$x^2-4x-2=0$;②$x^2+(m+1)x+m=0$.
(2)若关于$x$的一元二次方程$x^2-2(n-1)x+n^2-2n=0$,试证明:此方程一定是完美方程.
(1)判断下列方程一定是完美方程的是
②
(直接填序号);①$x^2-4x-2=0$;②$x^2+(m+1)x+m=0$.
(2)若关于$x$的一元二次方程$x^2-2(n-1)x+n^2-2n=0$,试证明:此方程一定是完美方程.
答案
4. (1)② (2)$x^2-2(n-1)x+n^2-2n=0,b^2-4ac=[2(n-1)^2-4(n^2-2n)=4n^2-8n+4-4n^2+8n=4$,且4是完全平方数,此方程一定是完美方程
解析
【分析】
本题围绕新定义“完美方程”展开，解题核心是紧扣定义要求：先求出一元二次方程的根的判别式Δ，再判断Δ是否为完全平方数（式）即可。第(1)问分别计算两个方程的Δ后逐一判断即可；第(2)问先确定方程中a、b、c的取值，代入Δ的计算公式化简，最后验证化简结果为完全平方数即可完成证明。
【解析】
(1) 分别计算两个方程的根的判别式：
① 对于方程$x^2-4x-2=0$，$a=1,b=-4,c=-2$，$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(-2) = 16 + 8 = 24$，24不是完全平方数，因此①不是完美方程；
② 对于方程$x^2+(m+1)x+m=0$，$a=1,b=m+1,c=m$，$\Delta = (m+1)^2 - 4×1× m = m^2 + 2m + 1 - 4m = (m-1)^2$，$(m-1)^2$是完全平方式，因此②是完美方程。
综上选②。
(2) 证明：对于方程$x^2-2(n-1)x+n^2-2n=0$，$a=1$，$b=-2(n-1)$，$c=n^2-2n$，
代入判别式公式得：
$\Delta = [-2(n-1)]^2 - 4×1×(n^2-2n)$
$=4(n^2 - 2n +1) - 4n^2 + 8n$
$=4n^2 - 8n +4 -4n^2 +8n$
$=4$
4是完全平方数，因此该方程一定是完美方程。
【答案】
(1) ②
(2) 该方程判别式$\Delta=4$为完全平方数，故一定是完美方程。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 完全平方数（式）判定
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题关键是准确理解新定义的要求，熟练掌握一元二次方程根的判别式的计算方法，计算过程中注意去括号的符号规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
本题围绕新定义“完美方程”展开，解题核心是紧扣定义要求：先求出一元二次方程的根的判别式Δ，再判断Δ是否为完全平方数（式）即可。第(1)问分别计算两个方程的Δ后逐一判断即可；第(2)问先确定方程中a、b、c的取值，代入Δ的计算公式化简，最后验证化简结果为完全平方数即可完成证明。
【解析】
(1) 分别计算两个方程的根的判别式：
① 对于方程$x^2-4x-2=0$，$a=1,b=-4,c=-2$，$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(-2) = 16 + 8 = 24$，24不是完全平方数，因此①不是完美方程；
② 对于方程$x^2+(m+1)x+m=0$，$a=1,b=m+1,c=m$，$\Delta = (m+1)^2 - 4×1× m = m^2 + 2m + 1 - 4m = (m-1)^2$，$(m-1)^2$是完全平方式，因此②是完美方程。
综上选②。
(2) 证明：对于方程$x^2-2(n-1)x+n^2-2n=0$，$a=1$，$b=-2(n-1)$，$c=n^2-2n$，
代入判别式公式得：
$\Delta = [-2(n-1)]^2 - 4×1×(n^2-2n)$
$=4(n^2 - 2n +1) - 4n^2 + 8n$
$=4n^2 - 8n +4 -4n^2 +8n$
$=4$
4是完全平方数，因此该方程一定是完美方程。
【答案】
(1) ②
(2) 该方程判别式$\Delta=4$为完全平方数，故一定是完美方程。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 完全平方数（式）判定
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题关键是准确理解新定义的要求，熟练掌握一元二次方程根的判别式的计算方法，计算过程中注意去括号的符号规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
5. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(k+1)x+2k-2=0$.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若$△ ABC$的两边$AB$,$AC$的长是这个方程的两个实数根. 第三边$BC$的长为6,当$△ ABC$是等腰三角形时,求$k$的值.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若$△ ABC$的两边$AB$,$AC$的长是这个方程的两个实数根. 第三边$BC$的长为6,当$△ ABC$是等腰三角形时,求$k$的值.
答案
(1)证明:
∵Δ=[-(k+1)]²-4(2k-2)=$k^2+2k+1-8k+8=k^2-6k+9=(k-3)^2≥0$
∴方程总有两个实数根 (2)原方程分解因式得:$(x-2)[x-(k-1)]=0$
∴$x_1=2,x_2=k-1$. 当等腰三角形的腰是2时,2+2＜6,不合题意
∴等腰三角形的腰是6
∴$k-1=6$
∴$k=7$
∵Δ=[-(k+1)]²-4(2k-2)=$k^2+2k+1-8k+8=k^2-6k+9=(k-3)^2≥0$
∴方程总有两个实数根 (2)原方程分解因式得:$(x-2)[x-(k-1)]=0$
∴$x_1=2,x_2=k-1$. 当等腰三角形的腰是2时,2+2＜6,不合题意
∴等腰三角形的腰是6
∴$k-1=6$
∴$k=7$
解析
【分析】
(1)要证明一元二次方程总有两个实数根，核心思路是验证根的判别式Δ≥0：先写出Δ的表达式，再化简判断其取值范围即可。(2)先通过因式分解求出方程的两个根，再结合等腰三角形两腰相等的性质分情况讨论腰长的两种可能，最后用三角形三边关系验证所得边长能否构成三角形，舍去不符合要求的情况，即可求出k的值。
【解析】
(1)证明：对于一元二次方程$x^2-(k+1)x+2k-2=0$，
根的判别式$\Delta = [-(k+1)]^2 - 4×1×(2k-2)$
$=k^2+2k+1-8k+8$
$=k^2-6k+9$
$=(k-3)^2$，
∵无论k取何值，$(k-3)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴方程总有两个实数根。
(2)解：对原方程因式分解，得：
$(x-2)[x-(k-1)]=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=k-1$。
已知△ABC为等腰三角形，BC边长为6，分两种情况讨论：
①若腰长为2时，三边长为2、2、6，
∵$2+2=4＜6$，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，无法构成三角形，故舍去该情况；
②若腰长为6时，则方程的其中一个根为6，已知方程的一个根为2，因此$k-1=6$，
解得$k=7$，此时三边长为2、6、6，满足三角形三边关系，符合题意。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)$k=7$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，因式分解法解方程，等腰三角形性质
【点评】
本题属于方程与几何的综合题型，解题时需要对等腰三角形的腰长分类讨论，同时要注意结合三角形三边关系对结果进行检验，避免出现不符合题意的增解。
【难度系数】
0.7
(1)要证明一元二次方程总有两个实数根，核心思路是验证根的判别式Δ≥0：先写出Δ的表达式，再化简判断其取值范围即可。(2)先通过因式分解求出方程的两个根，再结合等腰三角形两腰相等的性质分情况讨论腰长的两种可能，最后用三角形三边关系验证所得边长能否构成三角形，舍去不符合要求的情况，即可求出k的值。
【解析】
(1)证明：对于一元二次方程$x^2-(k+1)x+2k-2=0$，
根的判别式$\Delta = [-(k+1)]^2 - 4×1×(2k-2)$
$=k^2+2k+1-8k+8$
$=k^2-6k+9$
$=(k-3)^2$，
∵无论k取何值，$(k-3)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴方程总有两个实数根。
(2)解：对原方程因式分解，得：
$(x-2)[x-(k-1)]=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=k-1$。
已知△ABC为等腰三角形，BC边长为6，分两种情况讨论：
①若腰长为2时，三边长为2、2、6，
∵$2+2=4＜6$，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，无法构成三角形，故舍去该情况；
②若腰长为6时，则方程的其中一个根为6，已知方程的一个根为2，因此$k-1=6$，
解得$k=7$，此时三边长为2、6、6，满足三角形三边关系，符合题意。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)$k=7$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，因式分解法解方程，等腰三角形性质
【点评】
本题属于方程与几何的综合题型，解题时需要对等腰三角形的腰长分类讨论，同时要注意结合三角形三边关系对结果进行检验，避免出现不符合题意的增解。
【难度系数】
0.7
