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一、选择题
1. 已知一元二次方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$的两根为$x_1, x_2$，则下列关系式正确的是(
A.$x_1 + x_2 = 3$
B.$x_1 + x_2 = \frac{3}{2}$
C.$x_1 · x_2 = 1$
D.$x_1 · x_2 = -1$
1. 已知一元二次方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$的两根为$x_1, x_2$，则下列关系式正确的是(
B
)A.$x_1 + x_2 = 3$
B.$x_1 + x_2 = \frac{3}{2}$
C.$x_1 · x_2 = 1$
D.$x_1 · x_2 = -1$
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根$x_1,x_2$满足的数量关系：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；接下来从给定方程中确定$a、b、c$的取值，分别代入公式计算两根和与两根积，最后和选项对比选出正确答案即可。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则有：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
已知方程$2x^2-3x+1=0$，可得$a=2$，$b=-3$，$c=1$，代入公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-3)}{2}=\frac{3}{2}$
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$
对比选项可知，只有B选项的关系式正确。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的核心是准确识别一元二次方程的各项系数，再代入根与系数的关系公式计算即可，出错点多为一次项系数的符号处理错误，计算时要注意符号判断。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根$x_1,x_2$满足的数量关系：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；接下来从给定方程中确定$a、b、c$的取值，分别代入公式计算两根和与两根积，最后和选项对比选出正确答案即可。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，则有：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
已知方程$2x^2-3x+1=0$，可得$a=2$，$b=-3$，$c=1$，代入公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-3)}{2}=\frac{3}{2}$
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$
对比选项可知，只有B选项的关系式正确。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的核心是准确识别一元二次方程的各项系数，再代入根与系数的关系公式计算即可，出错点多为一次项系数的符号处理错误，计算时要注意符号判断。
【难度系数】
0.8
2. 已知$2-\sqrt{5}$是一元二次方程$x^2 -4x +c=0$的一个根，则方程的另一个根是（
A.$2+\sqrt{5}$
B.$2-\sqrt{5}$
C.$1+\sqrt{5}$
D.$1-\sqrt{5}$
A
）A.$2+\sqrt{5}$
B.$2-\sqrt{5}$
C.$1+\sqrt{5}$
D.$1-\sqrt{5}$
答案
2. A
解析
【分析】
拿到本题，可通过两种方法求解：方法一是将已知根代入原方程求出参数c，再解方程得到另一个根，但计算相对繁琐；方法二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）快速计算，为最优解法。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，本题已知一个根，用两根之和减去已知根即可直接得到另一个根。
【解析】
设方程的两个根为$x_1$、$x_2$，其中$x_1=2-\sqrt{5}$。
对于一元二次方程$x^2 -4x +c=0$，对应系数$a=1$，$b=-4$。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4$。
因此另一个根$x_2=4 - x_1$，代入$x_1=2-\sqrt{5}$得：
$x_2=4-(2-\sqrt{5})=4-2+\sqrt{5}=2+\sqrt{5}$。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，掌握两根之和、两根之积与方程系数的对应关系，可大幅提升解题效率，避免不必要的计算。
【难度系数】
0.8
拿到本题，可通过两种方法求解：方法一是将已知根代入原方程求出参数c，再解方程得到另一个根，但计算相对繁琐；方法二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）快速计算，为最优解法。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，本题已知一个根，用两根之和减去已知根即可直接得到另一个根。
【解析】
设方程的两个根为$x_1$、$x_2$，其中$x_1=2-\sqrt{5}$。
对于一元二次方程$x^2 -4x +c=0$，对应系数$a=1$，$b=-4$。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4$。
因此另一个根$x_2=4 - x_1$，代入$x_1=2-\sqrt{5}$得：
$x_2=4-(2-\sqrt{5})=4-2+\sqrt{5}=2+\sqrt{5}$。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，掌握两根之和、两根之积与方程系数的对应关系，可大幅提升解题效率，避免不必要的计算。
【难度系数】
0.8
3. 已知关于$x$的方程$x^2+(2m-1)x+m^2=0$的两实数根为$x_1,x_2$,若$x_1+x_2=5$,则$m$的值为(
A.$-2$
B.$5$
C.$\sqrt{5}$或$-\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}$
A
)A.$-2$
B.$5$
C.$\sqrt{5}$或$-\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}$
答案
3. A
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：方程有两个实数根，因此首先要保证根的判别式非负；其次利用一元二次方程根与系数的关系写出两根之和的表达式，结合题目给出的两根之和等于5列方程求解m，最后代入判别式验证得到的m是否符合有实根的条件，舍去不符合的取值即可得到正确答案。
【解析】
解：
∵方程$x^2+(2m-1)x+m^2=0$有两个实数根$x_1,x_2$
∴首先判别式$\Delta ≥ 0$，即：
$\Delta=(2m-1)^2 - 4×1× m^2 ≥ 0$
展开得：$4m^2 -4m +1 -4m^2 ≥ 0$
化简得：$-4m +1 ≥ 0$，解得$m ≤ \frac{1}{4}$
根据韦达定理，两根之和$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -(2m-1) = 1-2m$
已知$x_1+x_2=5$，因此列方程：
$1-2m=5$
解得：$m=-2$
验证：$m=-2$满足$m ≤ \frac{1}{4}$，符合题意；其余选项中$m=5$、$m=\pm\sqrt{5}$均大于$\frac{1}{4}$，此时判别式为负，无实根，均排除。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是易错题，解题时容易忽略“方程有两个实数根”的前提条件，直接用韦达定理求解m而错选，因此求解后一定要代入判别式验证根的存在性，再确定最终取值。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确已知条件：方程有两个实数根，因此首先要保证根的判别式非负；其次利用一元二次方程根与系数的关系写出两根之和的表达式，结合题目给出的两根之和等于5列方程求解m，最后代入判别式验证得到的m是否符合有实根的条件，舍去不符合的取值即可得到正确答案。
【解析】
解：
∵方程$x^2+(2m-1)x+m^2=0$有两个实数根$x_1,x_2$
∴首先判别式$\Delta ≥ 0$，即：
$\Delta=(2m-1)^2 - 4×1× m^2 ≥ 0$
展开得：$4m^2 -4m +1 -4m^2 ≥ 0$
化简得：$-4m +1 ≥ 0$，解得$m ≤ \frac{1}{4}$
根据韦达定理，两根之和$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -(2m-1) = 1-2m$
已知$x_1+x_2=5$，因此列方程：
$1-2m=5$
解得：$m=-2$
验证：$m=-2$满足$m ≤ \frac{1}{4}$，符合题意；其余选项中$m=5$、$m=\pm\sqrt{5}$均大于$\frac{1}{4}$，此时判别式为负，无实根，均排除。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是易错题，解题时容易忽略“方程有两个实数根”的前提条件，直接用韦达定理求解m而错选，因此求解后一定要代入判别式验证根的存在性，再确定最终取值。
【难度系数】
0.6
4. 已知$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 - ax - 2 = 0$的两根，下列结论一定正确的是(
A.$x_1 ≠ x_2$
B.$x_1 + x_2 ＞ 0$
C.$x_1 · x_2 ＞ 0$
D.$x_1 ＜ 0,x_2 ＜ 0$
A
)A.$x_1 ≠ x_2$
B.$x_1 + x_2 ＞ 0$
C.$x_1 · x_2 ＞ 0$
D.$x_1 ＜ 0,x_2 ＜ 0$
答案
4. A
解析
【分析】
要判断各选项的正确性，我们可以先通过根的判别式判断根的个数，再结合根与系数的关系（韦达定理）分析两根的和、积的符号，进而判断两根的符号特征。首先验证A选项是否正确，再依次推导B、C、D选项即可得出答案。
【解析】
逐个分析各选项：
1. 验证选项A：对于方程$x^2 - ax - 2 = 0$，根的判别式$\Delta = (-a)^2 - 4×1×(-2) = a^2 + 8$。因为$a^2≥0$恒成立，因此$\Delta = a^2 + 8 ≥8＞0$，方程总有两个不相等的实数根，即$x_1≠ x_2$，A结论一定正确。
2. 验证选项B：根据根与系数的关系，$x_1+x_2=a$，$a$的取值不确定，可能为正、负或者0，因此$x_1+x_2＞0$不一定成立，B结论错误。
3. 验证选项C：根据根与系数的关系，$x_1· x_2=-2＜0$，因此C结论错误。
4. 验证选项D：由$x_1· x_2=-2＜0$可知，两根异号，即一个为正、一个为负，不可能都小于0，D结论错误。
综上只有A选项的结论一定正确。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题时要注意参数$a$的取值是任意的，不要默认$a$的符号，通过根的乘积符号可以快速判断两根的符号关系。
【难度系数】
0.7
要判断各选项的正确性，我们可以先通过根的判别式判断根的个数，再结合根与系数的关系（韦达定理）分析两根的和、积的符号，进而判断两根的符号特征。首先验证A选项是否正确，再依次推导B、C、D选项即可得出答案。
【解析】
逐个分析各选项：
1. 验证选项A：对于方程$x^2 - ax - 2 = 0$，根的判别式$\Delta = (-a)^2 - 4×1×(-2) = a^2 + 8$。因为$a^2≥0$恒成立，因此$\Delta = a^2 + 8 ≥8＞0$，方程总有两个不相等的实数根，即$x_1≠ x_2$，A结论一定正确。
2. 验证选项B：根据根与系数的关系，$x_1+x_2=a$，$a$的取值不确定，可能为正、负或者0，因此$x_1+x_2＞0$不一定成立，B结论错误。
3. 验证选项C：根据根与系数的关系，$x_1· x_2=-2＜0$，因此C结论错误。
4. 验证选项D：由$x_1· x_2=-2＜0$可知，两根异号，即一个为正、一个为负，不可能都小于0，D结论错误。
综上只有A选项的结论一定正确。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题时要注意参数$a$的取值是任意的，不要默认$a$的符号，通过根的乘积符号可以快速判断两根的符号关系。
【难度系数】
0.7
5. 下列一元二次方程两实数根的和为-4的是(
A.$x^2+2x-4=0$
B.$x^2-4x+4=0$
C.$x^2+4x-10=0$
D.$x^2-4x-5=0$
C
)A.$x^2+2x-4=0$
B.$x^2-4x+4=0$
C.$x^2+4x-10=0$
D.$x^2-4x-5=0$
答案
5. C
解析
【分析】
解决这道题的核心是运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。解题思路如下：首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程存在两个实数根，则两根之和为$-\frac{b}{a}$。我们只需逐个计算每个选项对应方程的两根之和，同时验证方程是否有实数根，即可选出符合要求的选项。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当方程有两个实数根时，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，且判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$。
对各选项逐一分析：
选项A：方程$x^2+2x-4=0$中，$a=1$，$b=2$，两根之和为$-\frac{2}{1}=-2≠-4$，不符合要求，排除；
选项B：方程$x^2-4x+4=0$中，$a=1$，$b=-4$，两根之和为$-\frac{-4}{1}=4≠-4$，不符合要求，排除；
选项C：方程$x^2+4x-10=0$中，$a=1$，$b=4$，两根之和为$-\frac{4}{1}=-4$；验证判别式$\Delta=4^2-4×1×(-10)=56＞0$，方程有两个实数根，符合要求；
选项D：方程$x^2-4x-5=0$中，$a=1$，$b=-4$，两根之和为$-\frac{-4}{1}=4≠-4$，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程判别式
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确记忆韦达定理的内容，特别要注意计算两根之和时不要搞错一次项系数的符号，必要时可结合判别式验证方程根的情况，避免误判。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心是运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。解题思路如下：首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程存在两个实数根，则两根之和为$-\frac{b}{a}$。我们只需逐个计算每个选项对应方程的两根之和，同时验证方程是否有实数根，即可选出符合要求的选项。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当方程有两个实数根时，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，且判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$。
对各选项逐一分析：
选项A：方程$x^2+2x-4=0$中，$a=1$，$b=2$，两根之和为$-\frac{2}{1}=-2≠-4$，不符合要求，排除；
选项B：方程$x^2-4x+4=0$中，$a=1$，$b=-4$，两根之和为$-\frac{-4}{1}=4≠-4$，不符合要求，排除；
选项C：方程$x^2+4x-10=0$中，$a=1$，$b=4$，两根之和为$-\frac{4}{1}=-4$；验证判别式$\Delta=4^2-4×1×(-10)=56＞0$，方程有两个实数根，符合要求；
选项D：方程$x^2-4x-5=0$中，$a=1$，$b=-4$，两根之和为$-\frac{-4}{1}=4≠-4$，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程判别式
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确记忆韦达定理的内容，特别要注意计算两根之和时不要搞错一次项系数的符号，必要时可结合判别式验证方程根的情况，避免误判。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 关于$x$的一元二次方程$x^2+bx+c=0$的两个实数根分别为1和-2，则$b=$
1. 关于$x$的一元二次方程$x^2+bx+c=0$的两个实数根分别为1和-2，则$b=$
1
，$c=$-2
。答案
1. 1,-2
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：一是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），已知两根直接代入对应公式即可快速算出系数b、c，是最简便的解法；二是将两根分别代入原方程，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组也可求出结果，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
我们选用更简便的根与系数关系求解：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两个实数根为$x_1$、$x_2$，则满足关系：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中方程为$x^2+bx+c=0$，可得$a=1$，已知两根$x_1=1$，$x_2=-2$，代入公式：
1. 求b：$1+(-2)=-\frac{b}{1}$，即$-1=-b$，解得$b=1$；
2. 求c：$1×(-2)=\frac{c}{1}$，直接得$c=-2$。
【答案】
1，-2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，掌握韦达定理可大幅减少计算量，是该章节必须熟练运用的基础技能。
【难度系数】
0.9
本题可通过两种思路求解：一是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），已知两根直接代入对应公式即可快速算出系数b、c，是最简便的解法；二是将两根分别代入原方程，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组也可求出结果，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
我们选用更简便的根与系数关系求解：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两个实数根为$x_1$、$x_2$，则满足关系：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中方程为$x^2+bx+c=0$，可得$a=1$，已知两根$x_1=1$，$x_2=-2$，代入公式：
1. 求b：$1+(-2)=-\frac{b}{1}$，即$-1=-b$，解得$b=1$；
2. 求c：$1×(-2)=\frac{c}{1}$，直接得$c=-2$。
【答案】
1，-2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，掌握韦达定理可大幅减少计算量，是该章节必须熟练运用的基础技能。
【难度系数】
0.9
2. 已知α、β是方程$x^2 + 2026x -1=0$的两个根，则α+β+αβ=
-2 027
.答案
2. -2 027
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的两个根，求关于两根的代数式的值，解题核心是运用一元二次方程根与系数的关系求解。首先先确定一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再根据根与系数的关系分别求出两根之和α+β、两根之积αβ，最后将所得结果代入待求代数式计算即可。
【解析】
解：已知α、β是方程$x^2 + 2026x -1=0$的两个根，该方程中$a=1$，$b=2026$，$c=-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$α+β = -\frac{b}{a} = -\frac{2026}{1} = -2026$，
$αβ = \frac{c}{a} = \frac{-1}{1} = -1$。
将上述结果代入$α+β+αβ$得：
$α+β+αβ = -2026 + (-1) = -2027$。
【答案】
-2027
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，考查根与系数关系的直接应用，解题时需注意准确识别方程各项系数的符号，避免因符号判断错误导致计算失误。
【难度系数】
0.9
本题已知一元二次方程的两个根，求关于两根的代数式的值，解题核心是运用一元二次方程根与系数的关系求解。首先先确定一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再根据根与系数的关系分别求出两根之和α+β、两根之积αβ，最后将所得结果代入待求代数式计算即可。
【解析】
解：已知α、β是方程$x^2 + 2026x -1=0$的两个根，该方程中$a=1$，$b=2026$，$c=-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$α+β = -\frac{b}{a} = -\frac{2026}{1} = -2026$，
$αβ = \frac{c}{a} = \frac{-1}{1} = -1$。
将上述结果代入$α+β+αβ$得：
$α+β+αβ = -2026 + (-1) = -2027$。
【答案】
-2027
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，考查根与系数关系的直接应用，解题时需注意准确识别方程各项系数的符号，避免因符号判断错误导致计算失误。
【难度系数】
0.9
3. 若关于x的一元二次方程$x^2+bx+c=0$（b，c为常数）的两根为$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=4$，请写出一个符合条件的方程
$x^2-4x-5=0$(答案不唯一)
.答案
3. $x^2-4x-5=0$(答案不唯一)
解析
【分析】
遇到已知一元二次方程两根关系求方程的问题，首先联想到一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+bx+c=0$，两根之和等于一次项系数的相反数，据此可先求出b的取值；再根据一元二次方程有两个实根的条件（判别式$\Delta≥0$），选取任意一个符合要求的c值，即可写出满足条件的方程。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2+bx+c=0$，两根$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=-b$。
已知$x_1+x_2=4$，代入得：$-b=4$，解得$b=-4$。
要使方程有两个实数根，需满足判别式$\Delta = b^2 - 4c ≥ 0$，将$b=-4$代入得$16 - 4c ≥ 0$，即$c≤4$。
取$c=-5$（满足$c≤4$），此时对应的方程为$x^2-4x-5=0$，验证：该方程两根为5和-1，和为$5+(-1)=4$，符合题意。
【答案】
$x^2-4x-5=0$（答案不唯一）
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.一元二次方程判别式
【点评】
本题是开放性基础题，侧重考查韦达定理的基础应用，解题时先由两根之和确定一次项系数，再结合实根存在的条件选取合适的常数项即可，答案不唯一，灵活性较强。
【难度系数】
0.8
遇到已知一元二次方程两根关系求方程的问题，首先联想到一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+bx+c=0$，两根之和等于一次项系数的相反数，据此可先求出b的取值；再根据一元二次方程有两个实根的条件（判别式$\Delta≥0$），选取任意一个符合要求的c值，即可写出满足条件的方程。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2+bx+c=0$，两根$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=-b$。
已知$x_1+x_2=4$，代入得：$-b=4$，解得$b=-4$。
要使方程有两个实数根，需满足判别式$\Delta = b^2 - 4c ≥ 0$，将$b=-4$代入得$16 - 4c ≥ 0$，即$c≤4$。
取$c=-5$（满足$c≤4$），此时对应的方程为$x^2-4x-5=0$，验证：该方程两根为5和-1，和为$5+(-1)=4$，符合题意。
【答案】
$x^2-4x-5=0$（答案不唯一）
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.一元二次方程判别式
【点评】
本题是开放性基础题，侧重考查韦达定理的基础应用，解题时先由两根之和确定一次项系数，再结合实根存在的条件选取合适的常数项即可，答案不唯一，灵活性较强。
【难度系数】
0.8
4. 若关于x的一元二次方程$x^2 -8x +m=0$的两个根为$x_1,x_2$，且$x_1=3x_2$，则m的值为
12
.答案
4. 12
解析
【分析】
本题是一元二次方程根与系数关系的应用类题目，解题思路如下：首先回忆韦达定理的内容，对于给定的一元二次方程，先写出两根之和与两根之积的表达式；再结合题目给出的两根的数量关系$x_1=3x_2$，代入两根之和的表达式，先求出两个根的具体值；最后将两根代入两根之积的表达式，即可求出参数$m$的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -8x +m=0$，根据根与系数的关系（韦达定理）可得：
两根之和：$x_1+x_2=-\frac{-8}{1}=8$
两根之积：$x_1x_2=\frac{m}{1}=m$
已知$x_1=3x_2$，将其代入$x_1+x_2=8$中：
$3x_2 + x_2 =8$
合并同类项得：$4x_2=8$
解得：$x_2=2$
则$x_1=3x_2=3×2=6$
将$x_1=6$、$x_2=2$代入$x_1x_2=m$，得：
$m=6×2=12$
【答案】
12
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.一元一次方程的解法
【点评】
本题属于根与系数关系的基础考察题，解题关键是熟练掌握韦达定理的内容，结合已知的两根数量关系逐步推导即可求出结果，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
本题是一元二次方程根与系数关系的应用类题目，解题思路如下：首先回忆韦达定理的内容，对于给定的一元二次方程，先写出两根之和与两根之积的表达式；再结合题目给出的两根的数量关系$x_1=3x_2$，代入两根之和的表达式，先求出两个根的具体值；最后将两根代入两根之积的表达式，即可求出参数$m$的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -8x +m=0$，根据根与系数的关系（韦达定理）可得：
两根之和：$x_1+x_2=-\frac{-8}{1}=8$
两根之积：$x_1x_2=\frac{m}{1}=m$
已知$x_1=3x_2$，将其代入$x_1+x_2=8$中：
$3x_2 + x_2 =8$
合并同类项得：$4x_2=8$
解得：$x_2=2$
则$x_1=3x_2=3×2=6$
将$x_1=6$、$x_2=2$代入$x_1x_2=m$，得：
$m=6×2=12$
【答案】
12
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.一元一次方程的解法
【点评】
本题属于根与系数关系的基础考察题，解题关键是熟练掌握韦达定理的内容，结合已知的两根数量关系逐步推导即可求出结果，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 已知方程$x^2 -5x +2=0$的两个根分别为$x_1,x_2$,不解方程试求下列各式的值:
(1) $x_1 +x_2 -x_1 · x_2$;
(2) $x_1^2 +x_2^2$.
1. 已知方程$x^2 -5x +2=0$的两个根分别为$x_1,x_2$,不解方程试求下列各式的值:
(1) $x_1 +x_2 -x_1 · x_2$;
(2) $x_1^2 +x_2^2$.
答案
1. (1) 3 (2) 21
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，无需解方程即可计算代数式的值，解题思路如下：第一步，先确定给定一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c；第二步，根据根与系数的关系直接求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1·x_2$的值；第三步，观察待求代数式的形式，对不能直接代入的代数式进行恒等变形，转化为含$x_1+x_2$、$x_1·x_2$的形式，最后代入数值计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -5x +2=0$，可知$a=1$，$b=-5$，$c=2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 5$，$x_1 · x_2 = \frac{c}{a} = 2$。
(1) 直接代入求值：
$x_1 +x_2 -x_1 · x_2 = 5 - 2 = 3$。
(2) 先利用完全平方公式变形：$x_1^2 +x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1·x_2$，再代入求值：
$x_1^2 +x_2^2 = 5^2 - 2×2 = 25 - 4 = 21$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{21}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 完全平方公式变形
3. 代数式求值
【点评】
本题是根与系数关系的常规基础题型，解题核心是牢记韦达定理，掌握常见代数式的恒等变形方法，将待求式转化为用两根和、两根积表示的形式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，无需解方程即可计算代数式的值，解题思路如下：第一步，先确定给定一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c；第二步，根据根与系数的关系直接求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1·x_2$的值；第三步，观察待求代数式的形式，对不能直接代入的代数式进行恒等变形，转化为含$x_1+x_2$、$x_1·x_2$的形式，最后代入数值计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -5x +2=0$，可知$a=1$，$b=-5$，$c=2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 5$，$x_1 · x_2 = \frac{c}{a} = 2$。
(1) 直接代入求值：
$x_1 +x_2 -x_1 · x_2 = 5 - 2 = 3$。
(2) 先利用完全平方公式变形：$x_1^2 +x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1·x_2$，再代入求值：
$x_1^2 +x_2^2 = 5^2 - 2×2 = 25 - 4 = 21$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{21}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 完全平方公式变形
3. 代数式求值
【点评】
本题是根与系数关系的常规基础题型，解题核心是牢记韦达定理，掌握常见代数式的恒等变形方法，将待求式转化为用两根和、两根积表示的形式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
