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2. 已知$∠ A$为锐角，且$\sin A=\dfrac{15}{17}$，求$\tan A$的值.
答案
$\frac{15}{8}$
解析
【分析】
已知∠A是锐角且给出了sinA的值，要求tanA的值，我们可以结合锐角三角函数的定义来思考：sinA是直角三角形中∠A的对边与斜边的比值，我们可以先设参数表示出对边和斜边的长度，再用勾股定理求出∠A的邻边长度，最后根据正切是对边与邻边的比值，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵∠A为锐角，$\sin A=\dfrac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{15}{17}$
∴设∠A所在直角三角形中，∠A的对边长为$15k$，斜边长为$17k$（$k＞0$）
根据勾股定理，可得∠A的邻边长为：
$\sqrt{(17k)^2-(15k)^2}=\sqrt{289k^2-225k^2}=\sqrt{64k^2}=8k$（边长为正，故取正根）
又
∵$\tan A=\dfrac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{∠A的邻边}}$
∴$\tan A=\dfrac{15k}{8k}=\dfrac{15}{8}$
【答案】
$\dfrac{15}{8}$
【知识点】
锐角正弦定义、锐角正切定义、勾股定理
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础计算类题目，解题核心是熟练掌握锐角三角函数的定义，通过设参数的方法将三角函数比值转化为边长关系，结合勾股定理求解未知边长后再代入目标三角函数计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
已知∠A是锐角且给出了sinA的值，要求tanA的值，我们可以结合锐角三角函数的定义来思考：sinA是直角三角形中∠A的对边与斜边的比值，我们可以先设参数表示出对边和斜边的长度，再用勾股定理求出∠A的邻边长度，最后根据正切是对边与邻边的比值，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵∠A为锐角，$\sin A=\dfrac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{15}{17}$
∴设∠A所在直角三角形中，∠A的对边长为$15k$，斜边长为$17k$（$k＞0$）
根据勾股定理，可得∠A的邻边长为：
$\sqrt{(17k)^2-(15k)^2}=\sqrt{289k^2-225k^2}=\sqrt{64k^2}=8k$（边长为正，故取正根）
又
∵$\tan A=\dfrac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{∠A的邻边}}$
∴$\tan A=\dfrac{15k}{8k}=\dfrac{15}{8}$
【答案】
$\dfrac{15}{8}$
【知识点】
锐角正弦定义、锐角正切定义、勾股定理
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础计算类题目，解题核心是熟练掌握锐角三角函数的定义，通过设参数的方法将三角函数比值转化为边长关系，结合勾股定理求解未知边长后再代入目标三角函数计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=2BC$，求$∠ A$的三个三角函数值。
答案
$\sin A=\frac{\sqrt{5}}{5},\cos A=\frac{2\sqrt{5}}{5},\tan A=\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要计算直角三角形中锐角的三角函数值，需明确锐角三角函数的定义：正弦为对边与斜边的比值，余弦为邻边与斜边的比值，正切为对边与邻边的比值。本题仅给出两条直角边的倍数关系，可通过设参数的方式表示出三角形三边的长度，再结合勾股定理求出斜边，最后代入定义计算即可，参数会在求比值时约去，不影响最终结果。
【解析】
解：设$BC=k$（$k＞0$），由$AC=2BC$得$AC=2k$。
∵ $∠ C=90°$，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(2k)^2+k^2}=\sqrt{4k^2+k^2}=\sqrt{5k^2}=\sqrt{5}k$
根据锐角三角函数的定义：
$\sin A=\frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}=\frac{k}{\sqrt{5}k}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\cos A=\frac{∠ A\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}=\frac{2k}{\sqrt{5}k}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
$\tan A=\frac{∠ A\mathrm{的对边}}{∠ A\mathrm{的邻边}}=\frac{BC}{AC}=\frac{k}{2k}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\sin A=\frac{\sqrt{5}}{5},\cos A=\frac{2\sqrt{5}}{5},\tan A=\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 锐角三角函数的定义
2. 勾股定理
3. 二次根式化简
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题型，解题的关键是掌握利用设参数法表示边长的技巧，结合三角函数定义求解，计算时注意要将结果化为最简二次根式，同时要注意区分锐角的对边和邻边，避免混淆。
【难度系数】
0.8
要计算直角三角形中锐角的三角函数值，需明确锐角三角函数的定义：正弦为对边与斜边的比值，余弦为邻边与斜边的比值，正切为对边与邻边的比值。本题仅给出两条直角边的倍数关系，可通过设参数的方式表示出三角形三边的长度，再结合勾股定理求出斜边，最后代入定义计算即可，参数会在求比值时约去，不影响最终结果。
【解析】
解：设$BC=k$（$k＞0$），由$AC=2BC$得$AC=2k$。
∵ $∠ C=90°$，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(2k)^2+k^2}=\sqrt{4k^2+k^2}=\sqrt{5k^2}=\sqrt{5}k$
根据锐角三角函数的定义：
$\sin A=\frac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}=\frac{k}{\sqrt{5}k}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\cos A=\frac{∠ A\mathrm{的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}=\frac{2k}{\sqrt{5}k}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
$\tan A=\frac{∠ A\mathrm{的对边}}{∠ A\mathrm{的邻边}}=\frac{BC}{AC}=\frac{k}{2k}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\sin A=\frac{\sqrt{5}}{5},\cos A=\frac{2\sqrt{5}}{5},\tan A=\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 锐角三角函数的定义
2. 勾股定理
3. 二次根式化简
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题型，解题的关键是掌握利用设参数法表示边长的技巧，结合三角函数定义求解，计算时注意要将结果化为最简二次根式，同时要注意区分锐角的对边和邻边，避免混淆。
【难度系数】
0.8
4. 已知等腰$△ ABC$的两边长分别为2 cm,6 cm,求这个等腰三角形的底角的正弦值和正切值.
答案
$\frac{\sqrt{35}}{6},\sqrt{35}$
解析
【分析】
首先要确定等腰三角形的三边长：已知两边长为2cm和6cm，需根据三角形三边关系（两边之和大于第三边）判断腰长，排除不能构成三角形的情况，确定腰长为6cm、底边长为2cm。接下来求底角的三角函数值，需构造直角三角形：利用等腰三角形“三线合一”的性质，过顶点作底边的高，将等腰三角形分为两个全等的直角三角形，再用勾股定理求出高的长度，最后根据锐角三角函数的定义（正弦=对边/斜边，正切=对边/邻边）计算底角的正弦值和正切值。
【解析】
解：①确定等腰△ABC的三边长：
若腰长为2cm，底边长为6cm，此时$2+2=4＜6$，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去；
若腰长为6cm，底边长为2cm，此时$6+6＞2$，$6+2＞6$，满足三边关系，即△ABC的腰$AB=AC=6\mathrm{cm}$，底边$BC=2\mathrm{cm}$。
②过点A作$AD⊥ BC$于点D，根据等腰三角形三线合一的性质，D为BC中点，
∴$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1\mathrm{cm}$。
③在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=6\mathrm{cm}$，$BD=1\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{6^2-1^2}=\sqrt{35}\mathrm{cm}$。
④底角为$∠ B$，根据锐角三角函数定义：
$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{35}}{6}$，
$\tan B=\frac{AD}{BD}=\sqrt{35}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{35}}{6},\sqrt{35}$
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数定义
【点评】
本题易错点是未先根据三角形三边关系判断腰长，直接默认腰长为2cm导致计算错误；解题时需先确定三角形的有效边长，再结合等腰三角形性质构造直角三角形，利用三角函数定义计算即可。
【难度系数】
0.7
首先要确定等腰三角形的三边长：已知两边长为2cm和6cm，需根据三角形三边关系（两边之和大于第三边）判断腰长，排除不能构成三角形的情况，确定腰长为6cm、底边长为2cm。接下来求底角的三角函数值，需构造直角三角形：利用等腰三角形“三线合一”的性质，过顶点作底边的高，将等腰三角形分为两个全等的直角三角形，再用勾股定理求出高的长度，最后根据锐角三角函数的定义（正弦=对边/斜边，正切=对边/邻边）计算底角的正弦值和正切值。
【解析】
解：①确定等腰△ABC的三边长：
若腰长为2cm，底边长为6cm，此时$2+2=4＜6$，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去；
若腰长为6cm，底边长为2cm，此时$6+6＞2$，$6+2＞6$，满足三边关系，即△ABC的腰$AB=AC=6\mathrm{cm}$，底边$BC=2\mathrm{cm}$。
②过点A作$AD⊥ BC$于点D，根据等腰三角形三线合一的性质，D为BC中点，
∴$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1\mathrm{cm}$。
③在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=6\mathrm{cm}$，$BD=1\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{6^2-1^2}=\sqrt{35}\mathrm{cm}$。
④底角为$∠ B$，根据锐角三角函数定义：
$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{35}}{6}$，
$\tan B=\frac{AD}{BD}=\sqrt{35}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{35}}{6},\sqrt{35}$
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数定义
【点评】
本题易错点是未先根据三角形三边关系判断腰长，直接默认腰长为2cm导致计算错误；解题时需先确定三角形的有效边长，再结合等腰三角形性质构造直角三角形，利用三角函数定义计算即可。
【难度系数】
0.7
