一、选择题
1. 已知$\sin A=\frac{1}{2}$，且$∠ A$为锐角，则$∠ A=(\quad)$

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$

1. A

【分析】
本题考查特殊锐角三角函数值的应用，解题思路清晰可按以下步骤思考：第一步先明确已知条件：①∠A是锐角，说明角度范围在0°~90°之间；②$\sin A=\frac{1}{2}$。第二步回忆我们学过的30°、45°、60°这几个常用特殊锐角的正弦值，将已知的正弦值和特殊角的正弦值做匹配，就能快速得出∠A的度数。
【解析】
根据已学的特殊锐角的正弦值可知：
$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
结合已知∠A为锐角，且$\sin A=\frac{1}{2}$，可对应得出$∠ A=30°$，对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 锐角的概念
【点评】
本题属于基础题型，侧重对基础知识的考察，只要熟练识记30°、45°、60°三个特殊锐角的三角函数值，就能快速选出正确答案，是锐角三角函数部分的常规考题。
【难度系数】
0.9

2. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=2∠ A$，则$\cos A$等于()

A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

2. C

【分析】
解题时首先结合直角三角形的性质，明确两个锐角的和为90°，再结合题目给出的∠B与∠A的倍数关系，先计算出∠A的具体度数，最后根据特殊角的余弦三角函数值即可求出结果。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴∠A + ∠B = 90°（直角三角形的两个锐角互余），
又
∵∠B = 2∠A，
∴将∠B=2∠A代入上式得：∠A + 2∠A = 90°，
即3∠A = 90°，解得∠A = 30°，
∴cosA = cos30° = $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是先利用直角三角形内角的数量关系求出∠A的度数，再结合特殊角的三角函数值作答，重点考查对基础性质和特殊三角函数值的掌握程度。
【难度系数】
0.8

3. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=∠ A$，则$\sin B$等于()

A.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

3. A

【分析】
解题首先从已知条件出发，第一步先利用直角三角形两锐角互余的性质，结合∠A=∠B的条件求出∠B的度数，第二步再根据特殊锐角的三角函数值求出sinB的结果，对应选出正确选项即可。
【解析】
解：在△ABC中，∠C=90°，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ A + ∠ B = 90°$
又已知$∠ B = ∠ A$，代入得：
$2∠ B = 90°$，解得$∠ B = 45°$
根据特殊角的三角函数值可知，$\sin45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，因此$\sin B = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，核心是对直角三角形角度关系的应用和特殊锐角三角函数值的记忆，掌握相关基础知识点就能快速解题。
【难度系数】
0.9

4. 若$∠α$为锐角，且$\cosα=\dfrac{1}{2}$，则$\tanα$等于()

A.$30°$
B.$60°$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{3}$

4. D

【分析】
解题时可按以下思路推导：第一步，先明确题目已知条件：∠α是锐角，且cosα=1/2，要求tanα的数值；第二步，回忆30°、45°、60°这几个特殊锐角的三角函数值，找到余弦值为1/2的锐角度数，即可确定∠α的大小；第三步，计算对应角度的正切值，同时注意区分选项中的角度类选项和数值类选项，排除干扰项即可得到答案。
【解析】
解：
∵ ∠α为锐角，且$\cosα=\dfrac{1}{2}$，
根据特殊锐角的三角函数值可知，$\cos60°=\dfrac{1}{2}$，
∴ $∠α=60°$，
∴ $\tanα=\tan60°=\sqrt{3}$。
又
∵ 选项A、B为角度，不符合题目求$\tanα$数值的要求，直接排除，选项C$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$是$\tan30°$的值，不符合，故答案选D。
【答案】
D
【知识点】
特殊角的三角函数值，锐角三角函数
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊锐角三角函数值的掌握情况，只要熟练记忆30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值，同时注意审题，明确所求为三角函数值而非角度，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8

5*. 计算：$\cos^2 45° + \tan 60° × \cos 30°$等于（）

A.1
B.$\sqrt{2}$
C.2
D.$\sqrt{3}$

5. C

【分析】
要计算这个式子，首先需要回忆30°、45°、60°这几个特殊锐角的三角函数值，再按照实数混合运算的顺序，先算乘方、乘法，最后算加法，逐步计算即可得到结果。
【解析】
首先写出各特殊角的三角函数值：
$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
代入原式计算：
第一步：计算乘方项 $\cos^2 45° = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
第二步：计算乘法项 $\tan60° × \cos30° = \sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$
第三步：计算求和 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$
【答案】
C
【知识点】
1.特殊角的三角函数值
2.二次根式运算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是准确识记常见特殊锐角的三角函数值，再按照运算顺序正确计算即可。
【难度系数】
0.8

二、填空题
1. 计算：$2\cos60°=$.

1. 1

【分析】
本题考查特殊角的三角函数值的应用，解题思路如下：第一步，回忆特殊锐角（30°、45°、60°）的余弦值，确定$\cos60°$的具体数值；第二步，将$\cos60°$的值代入式子，进行乘法运算即可得到结果。
【解析】
根据特殊角的三角函数值可得：$\cos60°=\frac{1}{2}$，
代入原式计算得：$2\cos60°=2×\frac{1}{2}=1$。
【答案】
1
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数的乘法运算
【点评】
本题属于基础题，重点考查对特殊锐角三角函数值的识记，只要熟练掌握30°、45°、60°三类特殊锐角的三角函数值，就能快速准确得出答案，是高频基础考点。
【难度系数】
0.9

2. 在$△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AB=AC$，则$\tan B$的值为.

2. 1

【分析】
首先根据已知条件∠A=90°且AB=AC，可判断△ABC是等腰直角三角形，再结合锐角正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值，找到∠B的对边和邻边，结合AB=AC的等量关系即可求出tanB的值，也可以先求出∠B的度数为45°，直接利用特殊角的三角函数值得出结果。
【解析】
解：方法一（利用正切定义求解）：
∵ 在△ABC中，∠A=90°，
∴ △ABC是直角三角形，
根据锐角正切的定义，$\tan B = \frac{∠B的对边}{∠B的邻边} = \frac{AC}{AB}$，
又
∵ AB=AC，
∴ $\frac{AC}{AB} = 1$，即$\tan B = 1$。
方法二（利用特殊角三角函数值求解）：
∵ 在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，
∴ △ABC是等腰直角三角形，
∴ ∠B=45°，
∴ $\tan B = \tan45° = 1$。
【答案】
1
【知识点】
1. 等腰直角三角形的性质
2. 正切的定义
3. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，主要结合等腰直角三角形的性质考查锐角正切的计算，两种解题方法都很直观，熟练掌握基础定义和特殊角的三角函数值即可快速解题。
【难度系数】
0.9

3. 已知α为锐角，$\sin(α - 10°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$，则α=。

3. 70°

【分析】
解题时首先从已知的特殊三角函数值入手，回忆正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的特殊锐角是60°；再结合题目中α是锐角的限制条件，可确定α-10°的取值范围在-10°到80°之间，只有60°符合要求，最后列简单的一元一次方程即可求出α的值。
【解析】
解：
∵ 特殊角的三角函数值中，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，且$\sin(α - 10°)=\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴ $α - 10°=60°$
解得：$α=60°+10°=70°$
验证：70°是锐角，符合题目条件。
【答案】
70°
【知识点】
1. 特殊角的三角函数值
2. 锐角的定义
【点评】
本题是基础题，主要考查对特殊角三角函数值的记忆，解题时注意结合角的取值范围验证解的合理性即可。
【难度系数】
0.9

4*. 在$△ ABC$中,锐角$∠ A,∠ B$满足关系式$|2\cos A - \sqrt{2}| + (\tan B - 1)^2=0$,则$△ ABC$形状是三角形.

4. 等腰直角

【分析】
首先回忆非负数的性质：绝对值和完全平方数都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数的值均为0。据此可先列出关于cosA和tanB的等式，求解得到cosA、tanB的具体值，再结合∠A、∠B都是锐角的条件，对照特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，最后利用三角形内角和算出∠C的度数，就能判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵ $|2\cos A - \sqrt{2}| ≥ 0$，$(\tan B - 1)^2 ≥ 0$，且$|2\cos A - \sqrt{2}| + (\tan B - 1)^2=0$
∴ $2\cos A - \sqrt{2}=0$，$\tan B - 1=0$
解得：$\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan B=1$
又
∵∠A、∠B均为锐角
∴ $∠ A=45°$，$∠ B=45°$
∴ $∠ C=180° - ∠ A - ∠ B=180° - 45° - 45°=90°$
因此△ABC同时满足有一个直角、两个底角相等，是等腰直角三角形。
【答案】
等腰直角
【知识点】
非负数的性质；特殊角的三角函数值；三角形内角和
【点评】
本题是基础综合题，解题核心是先利用非负性求出两个锐角的三角函数值，再结合特殊角的三角函数值得到角度，最终判断三角形形状，难度较低，主要考查基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.8

三、解答题
1. 计算：
（1）$\cos45° - 2\sin60° + \tan60°$；
（2）$\sin60° - \cos30° - \tan60°$；
（3） $- \tan45°$；
（4）$\sqrt{2}\sin45° - 2\sqrt{3}\cos30° + \tan45°$；
（5）$\sin^230° + \cos^230°$；
（6）$4\cos60° + 2\sin30° - 3\tan30°$。

1. (1) $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (2) $-\sqrt{3}$ (3) 0 (4) $-1$ (5) 1 (6) $3-\sqrt{3}$

【分析】
本题是含特殊锐角三角函数的计算问题，解题思路清晰：首先回忆45°角的正弦、余弦、正切的对应函数值，再将数值代入原式，先计算分式部分的商，再计算减法，最终化简得到结果。
【解析】
解：根据特殊角的三角函数值可知：$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan45°=1$。
将上述值代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} - 1\\&=1 - 1\\&=0\end{aligned}$
【答案】
0
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数混合运算
【点评】
本题属于基础计算题，核心要求是准确记忆30°、45°、60°这类常见特殊锐角的三角函数值，掌握基础的分式运算和减法规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.9