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23. (10分)我们定义:如果两个多项式$M$与$N$的和为常数,则称$M$与$N$互为“对消多项式”,这个常数称为它们的“对消值”.如$M=2x^2 - x + 6$与$N=-2x^2 + x -1$互为“对消多项式”,它们的“对消值”为5.
(1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是
①$3x^2 + 2x$与$3x^2 + 2$;②$x - 6$与$-x + 2$;③$-5x^2y^3 + 2xy$与$5x^2y^3 - 2xy -1$.
(2)多项式$A=x^2 -2ax +a^2$与多项式$B=bx^2 +2x -b$($a,b$为常数)互为“对消多项式”,求它们的“对消值”.
(1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是
②③
(填序号);①$3x^2 + 2x$与$3x^2 + 2$;②$x - 6$与$-x + 2$;③$-5x^2y^3 + 2xy$与$5x^2y^3 - 2xy -1$.
(2)多项式$A=x^2 -2ax +a^2$与多项式$B=bx^2 +2x -b$($a,b$为常数)互为“对消多项式”,求它们的“对消值”.
答案
23. 解:(1)$3x^2 + 2x + 3x^2 + 2 = 6x^2 + 2x + 2$,和不是常数,故①不是“对消多项式”;
$x-6 -x +2 = -4$,和为常数,故②是“对消多项式”;
$-5x^2y^3 + 2xy +5x^2y^3 -2xy -1 = -1$,和为常数,故③是“对消多项式”.
故答案为②③.
(2)$A+B = x^2 -2ax +a^2 +bx^2 +2x -b$
$=(1+b)x^2 +(2-2a)x +a^2 -b$.
因为A与B互为“对消多项式”,所以它们的和为常数,
所以$2-2a=0,1+b=0$,
所以$a=1,b=-1$,
所以$a^2 -b =1^2 -(-1)=2$,
即它们的“对消值”为2.
$x-6 -x +2 = -4$,和为常数,故②是“对消多项式”;
$-5x^2y^3 + 2xy +5x^2y^3 -2xy -1 = -1$,和为常数,故③是“对消多项式”.
故答案为②③.
(2)$A+B = x^2 -2ax +a^2 +bx^2 +2x -b$
$=(1+b)x^2 +(2-2a)x +a^2 -b$.
因为A与B互为“对消多项式”,所以它们的和为常数,
所以$2-2a=0,1+b=0$,
所以$a=1,b=-1$,
所以$a^2 -b =1^2 -(-1)=2$,
即它们的“对消值”为2.
解析
【分析】
这是一道结合新定义的整式运算题，解题核心是先准确理解“对消多项式”和“对消值”的含义：两个多项式相加的结果为常数（即结果中不含任何未知数项），则二者互为对消多项式，所得常数就是对消值。
第(1)问思路：分别计算每组两个多项式的和，判断和是否为常数，不含未知数的即为符合要求的选项；
第(2)问思路：先将多项式A和B相加，合并同类项后，根据和为常数的要求，令所有含x的项的系数为0，列方程求出a、b的值，再代入常数项计算即可得到对消值。
【解析】
(1) 逐一计算每组多项式的和：
① $(3x^2 + 2x) + (3x^2 + 2) = 6x^2 + 2x + 2$，结果含$x^2$、$x$项，不是常数，故①不是对消多项式；
② $(x - 6) + (-x + 2) = -4$，结果为常数，故②是对消多项式；
③ $(-5x^2y^3 + 2xy) + (5x^2y^3 - 2xy - 1) = -1$，结果为常数，故③是对消多项式。
(2) 先计算A与B的和：
$\begin{aligned}A+B &= (x^2 - 2ax + a^2) + (bx^2 + 2x - b) \\&= (1+b)x^2 + (2-2a)x + a^2 - b\end{aligned}$
因为A与B互为对消多项式，所以和为常数，即所有含x的项的系数为0：
$\begin{cases}1+b=0 \\ 2-2a=0\end{cases}$
解得$a=1$，$b=-1$，代入常数项得：
$a^2 - b = 1^2 - (-1) = 2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{②③}$；(2) 它们的“对消值”为$\boldsymbol{2}$
【知识点】
整式的加减运算，新定义问题，解一元一次方程
【点评】
本题以新定义为载体，侧重考查整式加减运算的掌握程度，解题关键是准确理解新定义的内涵，将新定义规则转化为整式运算的系数条件求解，是考查知识迁移和基础运算能力的典型题型。
【难度系数】
0.7
这是一道结合新定义的整式运算题，解题核心是先准确理解“对消多项式”和“对消值”的含义：两个多项式相加的结果为常数（即结果中不含任何未知数项），则二者互为对消多项式，所得常数就是对消值。
第(1)问思路：分别计算每组两个多项式的和，判断和是否为常数，不含未知数的即为符合要求的选项；
第(2)问思路：先将多项式A和B相加，合并同类项后，根据和为常数的要求，令所有含x的项的系数为0，列方程求出a、b的值，再代入常数项计算即可得到对消值。
【解析】
(1) 逐一计算每组多项式的和：
① $(3x^2 + 2x) + (3x^2 + 2) = 6x^2 + 2x + 2$，结果含$x^2$、$x$项，不是常数，故①不是对消多项式；
② $(x - 6) + (-x + 2) = -4$，结果为常数，故②是对消多项式；
③ $(-5x^2y^3 + 2xy) + (5x^2y^3 - 2xy - 1) = -1$，结果为常数，故③是对消多项式。
(2) 先计算A与B的和：
$\begin{aligned}A+B &= (x^2 - 2ax + a^2) + (bx^2 + 2x - b) \\&= (1+b)x^2 + (2-2a)x + a^2 - b\end{aligned}$
因为A与B互为对消多项式，所以和为常数，即所有含x的项的系数为0：
$\begin{cases}1+b=0 \\ 2-2a=0\end{cases}$
解得$a=1$，$b=-1$，代入常数项得：
$a^2 - b = 1^2 - (-1) = 2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{②③}$；(2) 它们的“对消值”为$\boldsymbol{2}$
【知识点】
整式的加减运算，新定义问题，解一元一次方程
【点评】
本题以新定义为载体，侧重考查整式加减运算的掌握程度，解题关键是准确理解新定义的内涵，将新定义规则转化为整式运算的系数条件求解，是考查知识迁移和基础运算能力的典型题型。
【难度系数】
0.7
