1. 下列函数:①$y=x$;②$y=\frac{1}{x}$;③$y=x^2 -2x +1$.其图象既是轴对称图形,又是中心对称图形的有 ()

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

1. C 解析:函数$y=x$ 和 $y=\frac{1}{x}$的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形;函数$y=x^2 -2x +1$的图象是轴对称图形,但不是中心对称图形,
∴共有2个.故选C.

2. (2026·黄山期中)关于二次函数$y=-x^2-2x+3$的图象,下列说法错误的是 ()

A.对称轴是直线$x=-1$
B.图象与$x$轴没有交点
C.顶点坐标为$(-1,4)$
D.当$x＞-1$时,$y$随$x$的增大而减小

2. B 解析:$y=-x^2-2x+3=-(x^2+2x)+3=-(x^2+2x+1-1)+3=-(x+1)^2+1+3=-(x+1)^2+4$,
∴对称轴为直线$x=-1$,顶点坐标为$(-1,4)$,故选项A和C正确;
∵$a=-1＜0$,抛物线开口向下,
∴当$x＞-1$时,y随x的增大而减小,故选项D正确;令$y=0$,得$-x^2-2x+3=0$,则$b^2-4ac=(-2)^2-4×(-1)×3=4+12=16＞0$,
∴图象与x轴有两个交点,故选项B错误.故选B.

3. (2025·福建中考)已知点$A(-2,y_1)$,$B(1,y_2)$在抛物线$y=3x^2+bx+1$上,若$3＜b＜4$,则下列判断正确的是 ()

A.$1＜y_1＜y_2$
B.$y_1＜1＜y_2$
C.$1＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜1＜y_1$

3. A 解析:
∵$y=3x^2+bx+1$,
∴当$x=0$时,$y=1$,
∴抛物线过点$(0,1)$.
∵抛物线的开口向上,对称轴为$x=-\frac{b}{2×3}=-\frac{b}{6}$,
∴抛物线上的点离对称轴越远,函数值越大.
∵$3＜b＜4$,
∴$-\frac{2}{3}＜-\frac{b}{6}＜-\frac{1}{2}$.
∵$\frac{-2+1}{2}=-\frac{1}{2}＞-\frac{b}{6}$,$\frac{-2+0}{2}=-1＜-\frac{b}{6}$,
∴点$A(-2,y_1)$到对称轴的距离大于点$(0,1)$到对称轴的距离,小于$B(1,y_2)$到对称轴的距离,
∴$1＜y_1＜y_2$.故选A.

4. (玉林中考)小嘉说:将二次函数$y=x^2$的图象平移或翻折后经过点$(2,0)$有4种方法:①向右平移2个单位长度;②向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度;③向下平移4个单位长度;④沿$x$轴翻折,再向上平移4个单位长度.你认为小嘉说的方法中正确的个数为 ()

A.1
B.2
C.3
D.4

4. D 解析:①向右平移2个单位长度,则平移后的表达式为$y=(x-2)^2$,当$x=2$时,$y=0$,所以平移后的抛物线过点$(2,0)$,故①符合题意;②向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,则平移后的表达式为$y=(x-1)^2-1$,当$x=2$时,$y=0$,所以平移后的抛物线过点$(2,0)$,故②符合题意;③向下平移4个单位长度,则平移后的表达式为$y=x^2-4$,当$x=2$时,$y=0$,所以平移后的抛物线过点$(2,0)$,故③符合题意;④沿x轴翻折,再向上平移4个单位长度,则平移后的表达式为$y=-x^2+4$,当$x=2$时,$y=0$,所以变换后的抛物线过点$(2,0)$,故④符合题意.故选D.

5. 若一元二次方程$ax^2+bx+3=0$有两个不相等的实数根，则二次函数$y=ax^2+bx+3$的图象与一次函数$y=2ax+b$在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

5. A 解析:
∵一元二次方程$ax^2+bx+3=0$有两个不相等的实数根,
∴二次函数$y=ax^2+bx+3$的图象与x轴有两个交点,故C不正确;A. 由二次函数$y=ax^2+bx+3$的图象得$a＞0,b＜0$,与一次函数$y=2ax+b$的a,b的取值相符,故正确;B. 由二次函数$y=ax^2+bx+3$的图象得$a＞0,b＞0$,与一次函数$y=2ax+b$的a,b的取值不相符,故不正确;D. 由二次函数$y=ax^2+bx+3$的图象得$a＜0$,与一次函数$y=2ax+b$的a的取值不相符,故不正确.故选A.

6. (2024·广安中考)如图,二次函数$y=ax^2+bx+c(a,b,c$为常数,$a≠0)$的图象与$x$轴交于点$A(-\dfrac{3}{2},0)$,对称轴是直线$x=-\dfrac{1}{2}$,有以下结论:①$abc＜0$;②若点$(-1,y_1)$和点$(2,y_2)$都在抛物线上,则$y_1＜y_2$;③$am^2+bm≤\dfrac{1}{4}a-\dfrac{1}{2}b$($m$为任意实数);④$3a+4c=0$.其中正确的有 ()


A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

6. B 解析:由题图可知,二次函数图象开口方向向下,与y轴正半轴交于一点,
∴$a＜0,c＞0$.
∵$-\frac{b}{2a}＜0$,
∴$b＜0$,
∴$abc＞0$.故①错误;
∵对称轴是直线$x=-\frac{1}{2}$,点$(-1,y_1)$和点$(2,y_2)$都在抛物线上,而$-\frac{1}{2}-(-1)=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}＜2-(-\frac{1}{2})=2\frac{1}{2}$,
∴$y_1＞y_2$.故②错误;当$x=m$时,$y=am^2+bm+c$,当$x=-\frac{1}{2}$时,函数取最大值为$\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b+c$,
∴对于任意实数m有$am^2+bm+c≤\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b+c$,
∴$am^2+bm≤\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b$,故③正确;
∵$-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}$,
∴$b=a$.当$x=-\frac{3}{2}$时,$y=0$,
∴$\frac{9}{4}a-\frac{3}{2}b+c=0$,
∴$9a-6b+4c=0$,即$3a+4c=0$,故④正确.综上所述,正确的有③④.故选B.

7. (河南中考)已知抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$与$x$轴交于$A,B$两点.若点$A$的坐标为$(-2,0)$,抛物线的对称轴为直线$x=2$,则线段$AB$的长为.

7. 8 解析:
∵抛物线的对称轴为直线$x=2$,点A的坐标为$(-2,0)$,
∴点B的坐标为$(6,0)$,
∴$AB=6-(-2)=8$.

8. (2026·南京模拟)在二次函数$y=ax^2+bx+c$中,函数$y$与自变量$x$的部分对应值如表,则$m$$n$(填“＞”“＜”“≥”“≤”或“=”).

8. ＞ 解析:
∵当$x=-2$和$x=3$时的函数值相同,
∴对称轴为直线$x=\frac{-2+3}{2}=\frac{1}{2}$.
∵当$x=-3$时的函数值小于$x=-2$时的函数值,
∴在对称轴左侧,y随x的增大而增大,
∴在对称轴右侧,y随x的增大而减小.
∵$\frac{1}{2}＜1＜2$,
∴$m＞n$.

9. (泰州中考)二次函数 $ y = x^2 + 3x + n $ 的图象与x轴有一个交点在y轴右侧,则n的值可以是.(填一个值即可)

9. -3(答案不唯一) 解析:由题意可得,当$x=0$时,若$y＜0$,则该二次函数与x轴有一个交点在y轴右侧,即$n＜0$,故答案可以为-3(答案不唯一).

10. (2025·郑州模拟)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数表达式是$y=60t-\dfrac{3}{2}t^2$,则在飞机着陆滑行中,最后4 s滑行的距离是 m.
11. 如图,抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的顶点在线

10. 24 解析:$y=60t-\frac{3}{2}t^2=-\frac{3}{2}(t-20)^2+600$,
∴飞机总共滑行20 s,滑行600 m,当$t=16$时,$y=-\frac{3}{2}×(16-20)^2+600=576$,$600-576=24(\mathrm{m})$,
∴最后4 s滑行的距离是24 m.