3. (2025·镇江中考)如图①,过$\odot O$外一点M引$\odot O$的两条切线MA,MB,切点是A,B,$∠ AMB$为锐角,连接MO并延长与$\odot O$交于点N,点P在MN的延长线上,过点P作MA的垂线,与BO的延长线相交于点E,垂足为F.
(1)求证:$△ EOP$是等腰三角形;
(2)在图②中作$△ EOP$,满足$OP=OF$(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(3)已知$\sin∠ AMB=\frac{\sqrt{5}}{3}$,在你所作的$△ EOP$中,若$PF=2$,求OE的长.

3. (1) 连接 OA,如图①,
∵ 过⊙O 外一点 M 引⊙O 的两条切线 MA,MB,
∴ OA⊥MA,OB⊥MB.在 Rt△AOM 和 Rt△BOM 中,$\begin{cases} OM=OM, \\ OA=OB, \end{cases}$
∴ Rt△AOM≌Rt△BOM(HL),
∴ ∠AMO=∠BMO.
∵ PF⊥MF,
∴ ∠P+∠AMO=90°.
∵ ∠MOB+∠BMO=90°,
∴ ∠P = ∠MOB.
∵ ∠MOB = ∠EOP,
∴ ∠EOP = ∠P,
∴ △EOP是等腰三角形.
(2) 如图②,△EOP 即为所求. 解析:①在 MO 的延长线上截取 OP=OM,②过点 P 作 PF⊥MA 于点 F,③连接 BO 并延长交直线 PF 于点 E,则△EOP 为所求作. 理由:
∵ ∠MFP=90°,OM=OP,
∴ OF 为Rt△MFP斜边上的中线,
∴ OF=OP.
(3) 过点 O 作 OD⊥PE 于点 D,如图③,
∵ OP=OF,OD⊥PE,
∴ FD = PD = $\frac{1}{2}PF$ = 1. 设 MF 与 BE 交于点 C,
∵ ∠MBC=∠EFC=90°,∠MCB=∠ECF,
∴ ∠E = ∠AMB,
∴ $\sin E=\sin∠AMB=\frac{\sqrt{5}}{3}$.
∵ $\sin E=\frac{OD}{OE}$,
∴ $\frac{OD}{OE}=\frac{\sqrt{5}}{3}$. 设 OD=$\sqrt{5}k$,则 OE=3k,
∴ DE = $\sqrt{OE^2-OD^2}=2k$,
∴ PE=DE+PD=2k+1,由(1)知∠EOP=∠P,
∴ OE=PE,
∴ 3k=2k+1,
∴ k=1,
∴ OE=3k=3.

4. (2025·哈尔滨中考)已知:$△ ABC$内接于$\odot O$,圆心$O$在$△ ABC$的内部,$CD$为$\odot O$的直径,连接$BD$,$∠ BCD+2∠ ABD=90°$.
(1)如图①,求证:$AB=AC$;
(2)如图②,过点$A$作$\odot O$的切线,交$BD$的延长线于点$P$,求证:$BC=2PA$;
(3)如图③,在(2)的条件下,$PD=3BD$,连接$DA$并延长至点$E$,连接$OE$交$AC$于点$M$,$OE=AB$,$G$为$\overset{\frown}{BC}$上一点,$\overset{\frown}{DG}=\overset{\frown}{AD}$,连接$CG$,点$N$在$CG$上,连接$ON$,$∠ EON=2∠ EDC$,$CN=7$,点$F$为$\overset{\frown}{AC}$的中点,连接$EF$,$AF$,求$△ AEF$的面积.

4. (1)
∵ CD 为⊙O 的直径,
∴ ∠CBD=90°.设∠ABD=α.
∴ ∠ABC=90°−α,∠ACD=∠ABD=α.
∵ ∠BCD+2∠ABD=90°,
∴ ∠BCD=90°−2α.
∴ ∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°−α.
∴ ∠ABC=∠ACB.
∴ AB=AC.
(2) 连接 OA,OB,并延长 AO 交 BC 于点 R.
∵ AB=AC,OB=OC,
∴ AO 垂直平分 BC,
∴ ∠ARB=90°,BR=CR.
∵ AP 是⊙O 的切线,
∴ ∠PAR=90°.
∵ CD 是⊙O 的直径,
∴ ∠CBD=90°.
∴ 四边形 PARB 是矩形,
∴ PA=BR=CR,
∴ BC=2PA.
(3) 如图,连接 OF,OA,并延长 AO 交 BC 于点 R,
∵ F 为$\overset{\frown}{AC}$的中点,
∴ OF⊥AC.
∵ CD 是⊙O 的直径,
∴ ∠DAC=90°,
∴ OF//AD,
∴ ∠COF=∠EDC,
∴ ∠AOC=2∠EDC.
∵ ∠EON=2∠EDC,
∴ ∠AOC=∠EON,
∴ ∠AOM=∠CON.
∵ OA=OC,
∴ ∠ACO=∠OAC.
∵ $\overset{\frown}{DG}=\overset{\frown}{DA}$,
∴ ∠ACD=∠DCN,
∴ ∠ACO=∠OCN=∠OAC,
∴ △AOM≌△CON,
∴ AM=CN=7.
∵ PD=3BD,设 BD=x,则 PD=3x.
∵ 四边形 PARB 是矩形,
∴ AR=PB=4x.
∵ OC=OD,
∴ OR=$\frac{x}{2}$,OA = OC = $\frac{7}{2}x$,
∴ CD = 7x, BC = $\sqrt{CD^2-BD^2}$ = $\sqrt{(7x)^2-x^2}=4\sqrt{3}x$,
∴ AP = $\frac{1}{2}BC=2\sqrt{3}x$,
∴ AD = $\sqrt{AP^2+DP^2}=\sqrt{21}x$,$AB=\sqrt{AP^2+BP^2}=2\sqrt{7}x$.
∵ OE=AB,
∴ OE=$2\sqrt{7}x$.过点 O 作 OH⊥AD 于点 H,
∴ DH=AH=$\frac{1}{2}AD=\frac{\sqrt{21}}{2}x$,
∴ OH = $\sqrt{OD^2-DH^2}=\sqrt{7}x$,
∴ $\sin ∠DEO=\frac{OH}{OE}=\frac{1}{2}$,
∴ ∠DEO=30°,
∴ EH=$\sqrt{3}OH$,$AE=7\sqrt{3}$,
∴ $\frac{\sqrt{21}}{2}x+7\sqrt{3}=\sqrt{21}x$,解得$x=2\sqrt{7}$,
∴ OH=14.
∵ OF//AD,
∴ $S_{△AEF}=S_{△OAE}=\frac{1}{2}AE·OH=\frac{1}{2}×7\sqrt{3}×14=49\sqrt{3}$.