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10. 若关于$x的分式方程\frac{2}{x - 2} + \frac{mx}{x^{2} - 4} = \frac{5}{x + 2}$无解,则$m$的值为(
A.10或-4或-3
B.10或4或-3
C.10或-4或3
D.10或4或3
C
)A.10或-4或-3
B.10或4或-3
C.10或-4或3
D.10或4或3
答案
C 解析:方程两边乘$(x+2)(x-2)$,得$2(x+2)+mx=5(x-2)$,化简得$(m-3)x=-14$.当$(x+2)(x-2)=0$时,分式方程无解,此时整式方程的解为$x=-2$或$x=2$.将$x=-2$代入$(m-3)x=-14$,解得$m=10$;将$x=2$代入$(m-3)x=-14$,解得$m=-4$.当整式方程无解时,原分式方程无解,此时$m-3=0$,解得$m=3$.综上所述,当$m=10$或$m=-4$或$m=3$时,原分式方程无解.
11. 计算$\frac{m}{m + 1} + \frac{1}{m + 1}$的结果是
1
.答案
1 解析:原式$=\frac{m+1}{m+1}=1.$
解析
$\frac{m}{m + 1} + \frac{1}{m + 1} = \frac{m + 1}{m + 1} = 1$
12. 分式方程$\frac{3}{x - 2} = \frac{2}{x}$的解是
$x=-4$
.答案
$x=-4$ 解析:去分母,得$3x=2x-4$,解得$x=-4$.经检验,$x=-4$是原分式方程的解.
解析
解：去分母，得$3x = 2(x - 2)$，展开得$3x = 2x - 4$，解得$x = -4$。经检验，$x = -4$是原分式方程的解。故答案为$x=-4$。
13. 计算:$(3x^{-3}y)^{-2} ÷ (x^{2}y^{-3})^{-2} = $
$\frac{x^{10}}{9y^{8}}$
.答案
$\frac{x^{10}}{9y^{8}}$ 解析:原式$=3^{-2}x^{6}y^{-2}÷ x^{-4}y^{6}=\frac{1}{9}x^{10}y^{-8}=\frac{x^{10}}{9y^{8}}.$
解析
$(3x^{-3}y)^{-2} ÷ (x^{2}y^{-3})^{-2}$
$=3^{-2}x^{(-3)×(-2)}y^{-2} ÷ x^{2×(-2)}y^{(-3)×(-2)}$
$=\frac{1}{9}x^{6}y^{-2} ÷ x^{-4}y^{6}$
$=\frac{1}{9}x^{6 - (-4)}y^{-2 - 6}$
$=\frac{1}{9}x^{10}y^{-8}$
$=\frac{x^{10}}{9y^{8}}$
$=3^{-2}x^{(-3)×(-2)}y^{-2} ÷ x^{2×(-2)}y^{(-3)×(-2)}$
$=\frac{1}{9}x^{6}y^{-2} ÷ x^{-4}y^{6}$
$=\frac{1}{9}x^{6 - (-4)}y^{-2 - 6}$
$=\frac{1}{9}x^{10}y^{-8}$
$=\frac{x^{10}}{9y^{8}}$
14. 计算:$(\frac{x^{2} + 4x + 4}{x^{2} - 4} - x - 2) ÷ \frac{x + 2}{x - 2} = $
3-x
.答案
$3-x$ 解析:原式$=[\frac{(x+2)^{2}}{(x+2)(x-2)}-x-2]\cdot \frac{x-2}{x+2}=[\frac{x+2}{x-2}-(x+2)]\cdot \frac{x-2}{x+2}=\frac{x+2}{x-2}\cdot \frac{x-2}{x+2}-(x+2)\cdot \frac{x-2}{x+2}=1-(x-2)=3-x.$
解析
$\begin{aligned}&\left(\frac{x^{2} + 4x + 4}{x^{2} - 4} - x - 2\right) ÷ \frac{x + 2}{x - 2}\\=&\left[\frac{(x + 2)^{2}}{(x + 2)(x - 2)} - (x + 2)\right] \cdot \frac{x - 2}{x + 2}\\=&\left[\frac{x + 2}{x - 2} - (x + 2)\right] \cdot \frac{x - 2}{x + 2}\\=&\frac{x + 2}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{x + 2} - (x + 2) \cdot \frac{x - 2}{x + 2}\\=&1 - (x - 2)\\=&3 - x\end{aligned}$
$3 - x$
$3 - x$
15. 对于代数式$m$,$n$,定义运算“$\otimes$”:$m \otimes n = \frac{m + n - 6}{mn}$,例如:$4 \otimes 2 = \frac{4 + 2 - 6}{4 × 2}$,若$(x - 1) \otimes (x + 2) = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$,则$A = $
-1
,$B = $3
.答案
-1 3 解析:$(x-1)\otimes (x+2)=\frac{x-1+x+2-6}{(x-1)(x+2)}=\frac{2x-5}{(x-1)(x+2)}$,$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}=\frac{A(x+2)+B(x-1)}{(x-1)(x+2)}=\frac{(A+B)x+2A-B}{(x-1)(x+2)}$.因为$(x-1)\otimes (x+2)=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}$,所以$\frac{2x-5}{(x-1)(x+2)}=\frac{(A+B)x+2A-B}{(x-1)(x+2)}$,所以$\left\{\begin{array}{l} A+B=2,\\ 2A-B=-5,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} A=-1,\\ B=3.\end{array}\right. $
16. 已知关于$x的一元一次不等式组\begin{cases}x + 1 \geq \frac{x + 9}{3},\\ 3x ＞ a + 1\end{cases} 的解集为x \geq 3$.
(1)$a$的取值范围是
(2)在(1)的条件下,要使关于$y的分式方程\frac{y}{y - 1} + \frac{a}{1 - y} = - 1$有正整数解,则所有满足条件的整数$a$的值的和是
(1)$a$的取值范围是
$a＜8$
;(2)在(1)的条件下,要使关于$y的分式方程\frac{y}{y - 1} + \frac{a}{1 - y} = - 1$有正整数解,则所有满足条件的整数$a$的值的和是
15
.答案
(1)$a＜8$
(2)15 解析:
(1)解不等式$x+1\geqslant \frac{x+9}{3}$,得$x\geqslant 3$,解不等式$3x＞a+1$,得$x＞\frac{a+1}{3}$,所以$\frac{a+1}{3}＜3$,解得$a＜8.$
(2)因为$\frac{y}{y-1}+\frac{a}{1-y}=-1$,所以$y-a=-y+1$,解得$y=\frac{a+1}{2}$.由题意,得$y=\frac{a+1}{2}＞0$,解得$a＞-1$.因为$a＜8$,所以$-1＜a＜8$.当$y=\frac{a+1}{2}=1$,即$a=1$时,分式方程无解,所以$-1＜a＜8$,且$a≠1$.要使关于$y$的分式方程有正整数解,则满足条件的整数$a$的值可以是3,5,7,所以所有满足条件的整数$a$的值的和是$3+5+7=15.$
17. 计算:(1)$(-3a^{2}b^{-2})^{-3} \cdot (-2a^{-3}b^{4})^{-2}$;
(2)$(-10)^{2} + 2 × 10^{0} - 3 × (\frac{1}{10})^{-2} - 10^{-2}$.
(2)$(-10)^{2} + 2 × 10^{0} - 3 × (\frac{1}{10})^{-2} - 10^{-2}$.
答案
解:
(1)$(-3a^{2}b^{-2})^{-3}\cdot (-2a^{-3}b^{4})^{-2}=(-\frac{1}{27}a^{-6}b^{6})\cdot (\frac{1}{4}a^{6}b^{-8})=-\frac{1}{108b^{2}}.$
(2)$(-10)^{2}+2×10^{0}-3×(\frac{1}{10})^{-2}-10^{-2}=100+2-300-\frac{1}{100}=-198\frac{1}{100}.$
(1)$(-3a^{2}b^{-2})^{-3}\cdot (-2a^{-3}b^{4})^{-2}=(-\frac{1}{27}a^{-6}b^{6})\cdot (\frac{1}{4}a^{6}b^{-8})=-\frac{1}{108b^{2}}.$
(2)$(-10)^{2}+2×10^{0}-3×(\frac{1}{10})^{-2}-10^{-2}=100+2-300-\frac{1}{100}=-198\frac{1}{100}.$
18. 计算:(1)$(\frac{2a}{b})^{2} \cdot \frac{1}{a - b} - \frac{a}{b} ÷ \frac{b}{4}$;
(2)$\frac{a^{2} + 2a + 1}{a^{2} - 1} - \frac{a}{a - 1}$.
(2)$\frac{a^{2} + 2a + 1}{a^{2} - 1} - \frac{a}{a - 1}$.
答案
解:
(1)原式$=\frac{4a^{2}}{b^{2}}\cdot \frac{1}{a-b}-\frac{a}{b}\cdot \frac{4}{b}=\frac{4a^{2}}{b^{2}(a-b)}-\frac{4a(a-b)}{b^{2}(a-b)}=\frac{4ab}{b^{2}(a-b)}=\frac{4a}{ab-b^{2}}.$
(2)原式$=\frac{(a+1)^{2}}{(a+1)(a-1)}-\frac{a}{a-1}=\frac{a+1}{a-1}-\frac{a}{a-1}=\frac{a+1-a}{a-1}=\frac{1}{a-1}.$
(1)原式$=\frac{4a^{2}}{b^{2}}\cdot \frac{1}{a-b}-\frac{a}{b}\cdot \frac{4}{b}=\frac{4a^{2}}{b^{2}(a-b)}-\frac{4a(a-b)}{b^{2}(a-b)}=\frac{4ab}{b^{2}(a-b)}=\frac{4a}{ab-b^{2}}.$
(2)原式$=\frac{(a+1)^{2}}{(a+1)(a-1)}-\frac{a}{a-1}=\frac{a+1}{a-1}-\frac{a}{a-1}=\frac{a+1-a}{a-1}=\frac{1}{a-1}.$
