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19. 解下列方程:
(1)$\frac{7}{2x + 1} = \frac{5}{2x - 1}$;
(2)$\frac{2}{x + 3} + \frac{3}{2} = \frac{7}{2x + 6}$.
(1)$\frac{7}{2x + 1} = \frac{5}{2x - 1}$;
(2)$\frac{2}{x + 3} + \frac{3}{2} = \frac{7}{2x + 6}$.
答案
解:
(1)方程两边乘$(2x-1)(2x+1)$,得$7(2x-1)=5(2x+1)$,解得$x=3$.检验:当$x=3$时,$(2x-1)(2x+1)≠0$.所以,原分式方程的解为$x=3$.
(2)方程两边乘$2(x+3)$,得$4+3(x+3)=7$,解得$x=-2$.检验:当$x=-2$时,$2(x+3)≠0$.所以,原分式方程的解为$x=-2.$
(1)方程两边乘$(2x-1)(2x+1)$,得$7(2x-1)=5(2x+1)$,解得$x=3$.检验:当$x=3$时,$(2x-1)(2x+1)≠0$.所以,原分式方程的解为$x=3$.
(2)方程两边乘$2(x+3)$,得$4+3(x+3)=7$,解得$x=-2$.检验:当$x=-2$时,$2(x+3)≠0$.所以,原分式方程的解为$x=-2.$
20. 先化简,再求值:$(\frac{x + 1}{x} - 1) ÷ \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 2x}$,其中$x = 3$.
答案
解:$(\frac{x+1}{x}-1)÷ \frac{x^{2}-4}{x^{2}+2x}=\frac{x+1-x}{x}÷ \frac{(x+2)(x-2)}{x(x+2)}=\frac{1}{x}\cdot \frac{x}{x-2}=\frac{1}{x-2}.$当$x=3$时,原式$=\frac{1}{3-2}=1.$
21. 在解答题目“已知$x = 2026$,求$\frac{x^{2} - 4}{x - 2} ÷ \frac{x^{2} + 2x}{2x^{3}} \cdot (\frac{1}{x})^{2}$的值”时,小明误将$x = 2026看成了x = 2028$,但算出的结果仍然正确,请你解释原因.
答案
解:$\frac{x^{2}-4}{x-2}÷ \frac{x^{2}+2x}{2x^{3}}\cdot (\frac{1}{x})^{2}=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}\cdot \frac{2x^{3}}{x(x+2)}\cdot \frac{1}{x^{2}}=2$.因为原式化简的结果是常数2,与$x$的值无关,所以小明误将$x=2026$看成了$x=2028$,但算出的结果仍然是正确的.
解析
解：$\frac{x^{2}-4}{x-2}÷\frac{x^{2}+2x}{2x^{3}}·(\frac{1}{x})^{2}$
$=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}·\frac{2x^{3}}{x(x+2)}·\frac{1}{x^{2}}$
$=(x+2)·\frac{2x^{3}}{x(x+2)}·\frac{1}{x^{2}}$
$=2x^{2}·\frac{1}{x^{2}}$
$=2$
因为原式化简结果为常数$2$，与$x$取值无关，所以小明误将$x=2026$看成$x=2028$，结果仍正确。
$=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}·\frac{2x^{3}}{x(x+2)}·\frac{1}{x^{2}}$
$=(x+2)·\frac{2x^{3}}{x(x+2)}·\frac{1}{x^{2}}$
$=2x^{2}·\frac{1}{x^{2}}$
$=2$
因为原式化简结果为常数$2$，与$x$取值无关，所以小明误将$x=2026$看成$x=2028$，结果仍正确。
