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1. 计算：
(1)$\frac{2c^2}{ab^2}\cdot\frac{4cd}{-3a^2b^2}=$
(2)$\frac{3a^2b^5}{4x^2y}÷\frac{-2a^2b^3}{x^2y^4}=$
(1)$\frac{2c^2}{ab^2}\cdot\frac{4cd}{-3a^2b^2}=$
$-\frac{8c^3d}{3a^3b^4}$
；(2)$\frac{3a^2b^5}{4x^2y}÷\frac{-2a^2b^3}{x^2y^4}=$
$-\frac{3b^2y^3}{8}$
。答案
(1) $-\frac{8c^3d}{3a^3b^4}$
(2) $-\frac{3b^2y^3}{8}$
(2) $-\frac{3b^2y^3}{8}$
解析
(1) 对于 $\frac{2c^2}{ab^2} \cdot \frac{4cd}{-3a^2b^2}$，
首先，将分子与分子相乘，分母与分母相乘，得到：
$\frac{2c^2 \cdot 4cd}{ab^2 \cdot (-3a^2b^2)}$
然后，对分子和分母进行因式分解并约分，
这里$c^2 \cdot cd = c^{2+1}d = c^3d$，$a \cdot a^2 = a^{1+2} = a^3$，$b^2 \cdot b^2 = b^{2+2} = b^4$，
得到：
$= -\frac{8c^3d}{3a^3b^4}$
(2) 对于 $\frac{3a^2b^5}{4x^2y} ÷ \frac{-2a^2b^3}{x^2y^4}$，
首先，将除法转化为乘法，即乘以除式的倒数，得到：
$\frac{3a^2b^5}{4x^2y} \cdot \frac{x^2y^4}{-2a^2b^3}$
然后，对分子和分母进行因式分解并约分，
这里$b^5 ÷ b^3 = b^{5-3} = b^2$，$y^4 ÷ y = y^{4-1} = y^3$，
$a^2 ÷ a^2 = 1$，$x^2 ÷ x^2 = 1$，
得到：
$= -\frac{3b^2y^3}{8}$
首先，将分子与分子相乘，分母与分母相乘，得到：
$\frac{2c^2 \cdot 4cd}{ab^2 \cdot (-3a^2b^2)}$
然后，对分子和分母进行因式分解并约分，
这里$c^2 \cdot cd = c^{2+1}d = c^3d$，$a \cdot a^2 = a^{1+2} = a^3$，$b^2 \cdot b^2 = b^{2+2} = b^4$，
得到：
$= -\frac{8c^3d}{3a^3b^4}$
(2) 对于 $\frac{3a^2b^5}{4x^2y} ÷ \frac{-2a^2b^3}{x^2y^4}$，
首先，将除法转化为乘法，即乘以除式的倒数，得到：
$\frac{3a^2b^5}{4x^2y} \cdot \frac{x^2y^4}{-2a^2b^3}$
然后，对分子和分母进行因式分解并约分，
这里$b^5 ÷ b^3 = b^{5-3} = b^2$，$y^4 ÷ y = y^{4-1} = y^3$，
$a^2 ÷ a^2 = 1$，$x^2 ÷ x^2 = 1$，
得到：
$= -\frac{3b^2y^3}{8}$
2. 化简：$\frac{x - 1}{x - 2}÷\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 4}=$
$\frac{x + 2}{x - 1}$
,当$x = -1$时,这个分式的值为$-\frac{1}{2}$
。答案
$\frac{x + 2}{x - 1}$，$-\frac{1}{2}$
解析
$\begin{aligned}&\frac{x - 1}{x - 2}÷\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 4}\\=&\frac{x - 1}{x - 2}×\frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x + 1}\\=&\frac{x - 1}{x - 2}×\frac{(x + 2)(x - 2)}{(x - 1)^2}\\=&\frac{x + 2}{x - 1}\\\end{aligned}$
当$x=-1$时，$\frac{-1 + 2}{-1 - 1}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$
当$x=-1$时，$\frac{-1 + 2}{-1 - 1}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$
3. 由甲地到乙地的一条铁路全长为$s$km,运行时间为$a$h；由甲地到乙地的公路全长为这条铁路全长的$m$倍,汽车全程运行$b$h。那么火车的速度是汽车速度的
$\frac{b}{am}$
倍。答案
$\frac{b}{am}$
解析
由题意知铁路全长为$s km$，火车运行时间为$a h$，
根据速度的定义，火车的速度 $v_{1}$ 为：
$v_{1} = \frac{s}{a} km/h$，
公路全长为铁路全长的$m$倍，即$ms km$，汽车运行时间为$b h$，
同样根据速度的定义，汽车的速度 $v_{2}$ 为：
$v_{2} = \frac{ms}{b} km/h$，
要求火车的速度是汽车速度的多少倍，即求$\frac{v_{1}}{v_{2}}$：
$\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{\frac{s}{a}}{\frac{ms}{b}} = \frac{s}{a} × \frac{b}{ms} = \frac{b}{am}$，
所以火车的速度是汽车速度的$\frac{b}{am}$倍。
根据速度的定义，火车的速度 $v_{1}$ 为：
$v_{1} = \frac{s}{a} km/h$，
公路全长为铁路全长的$m$倍，即$ms km$，汽车运行时间为$b h$，
同样根据速度的定义，汽车的速度 $v_{2}$ 为：
$v_{2} = \frac{ms}{b} km/h$，
要求火车的速度是汽车速度的多少倍，即求$\frac{v_{1}}{v_{2}}$：
$\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{\frac{s}{a}}{\frac{ms}{b}} = \frac{s}{a} × \frac{b}{ms} = \frac{b}{am}$，
所以火车的速度是汽车速度的$\frac{b}{am}$倍。
4. 化简$\frac{2}{x^2 - 1}÷\frac{1}{x - 1}$的结果是(
A.$\frac{2}{x + 1}$
B.$\frac{2}{x}$
C.$\frac{2}{x - 1}$
D.$2(x + 1)$
A
)A.$\frac{2}{x + 1}$
B.$\frac{2}{x}$
C.$\frac{2}{x - 1}$
D.$2(x + 1)$
答案
A
解析
原式为$\frac{2}{x^2 - 1} ÷ \frac{1}{x - 1}$，根据除法运算法则，可转化为乘法：
$\frac{2}{x^2 - 1} × (x - 1)$，
将$x^2 - 1$因式分解为$(x + 1)(x - 1)$，代入上式得：
$\frac{2}{(x + 1)(x - 1)} × (x - 1)$，
约去公共因子$x - 1$，得到：
$\frac{2}{x + 1}$。
$\frac{2}{x^2 - 1} × (x - 1)$，
将$x^2 - 1$因式分解为$(x + 1)(x - 1)$，代入上式得：
$\frac{2}{(x + 1)(x - 1)} × (x - 1)$，
约去公共因子$x - 1$，得到：
$\frac{2}{x + 1}$。
5. 若某分式乘$\frac{m}{m - 2}所得的积为\frac{1}{m^2 - 4}$,则这个分式为(
A.$\frac{1}{m^2 + 2m}$
B.$\frac{1}{m^2 - 2m}$
C.$\frac{m - 2}{m}$
D.$\frac{m + 2}{m}$
A
)A.$\frac{1}{m^2 + 2m}$
B.$\frac{1}{m^2 - 2m}$
C.$\frac{m - 2}{m}$
D.$\frac{m + 2}{m}$
答案
A
解析
设这个分式为$A$，由题意得$A × \frac{m}{m - 2} = \frac{1}{m^2 - 4}$。因为$m^2 - 4 = (m + 2)(m - 2)$，所以$A = \frac{1}{(m + 2)(m - 2)} ÷ \frac{m}{m - 2} = \frac{1}{(m + 2)(m - 2)} × \frac{m - 2}{m} = \frac{1}{m(m + 2)} = \frac{1}{m^2 + 2m}$。
6. 如果分式$\frac{x + 1}{x + 2}÷\frac{x + 3}{x + 4}$有意义,则$x$的取值范围是(
A.$x\neq - 2$
B.$x\neq - 2且x\neq - 4$
C.$x\neq - 1且x\neq - 3$
D.$x\neq - 2且x\neq - 3且x\neq - 4$
D
)A.$x\neq - 2$
B.$x\neq - 2且x\neq - 4$
C.$x\neq - 1且x\neq - 3$
D.$x\neq - 2且x\neq - 3且x\neq - 4$
答案
D
解析
要使分式$\frac{x + 1}{x + 2} ÷ \frac{x + 3}{x + 4}$有意义，需满足以下条件：
分母$x + 2 \neq 0$，即$x \neq -2$；
除法可转化为乘法，即$\frac{x + 1}{x + 2} × \frac{x + 4}{x + 3}$，此时分母$x + 3 \neq 0$，即$x \neq -3$；
同时，第二个分式的分子$x + 4 \neq 0$（作为乘法的分母实际为$\frac{x + 3}{x + 4}$的分母），即$x \neq -4$。
综上，$x \neq -2$，$x \neq -3$且$x \neq -4$。
分母$x + 2 \neq 0$，即$x \neq -2$；
除法可转化为乘法，即$\frac{x + 1}{x + 2} × \frac{x + 4}{x + 3}$，此时分母$x + 3 \neq 0$，即$x \neq -3$；
同时，第二个分式的分子$x + 4 \neq 0$（作为乘法的分母实际为$\frac{x + 3}{x + 4}$的分母），即$x \neq -4$。
综上，$x \neq -2$，$x \neq -3$且$x \neq -4$。
7. 化简：
(1)$(a - 2)\cdot\frac{a^2 - 4}{a^2 - 4a + 4}$；
(2)$\frac{a - b}{a + 2b}÷\frac{a^2 - b^2}{a^2 + 4ab + 4b^2}$。
(1)$(a - 2)\cdot\frac{a^2 - 4}{a^2 - 4a + 4}$；
(2)$\frac{a - b}{a + 2b}÷\frac{a^2 - b^2}{a^2 + 4ab + 4b^2}$。
答案
(1)
$\begin{aligned}(a - 2)\cdot\frac{a^2 - 4}{a^2 - 4a + 4}&=(a - 2)\cdot\frac{(a + 2)(a - 2)}{(a - 2)^2}\\&=(a - 2)\cdot\frac{a + 2}{a - 2}\\&=a + 2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\frac{a - b}{a + 2b}÷\frac{a^2 - b^2}{a^2 + 4ab + 4b^2}&=\frac{a - b}{a + 2b}\cdot\frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{a^2 - b^2}\\&=\frac{a - b}{a + 2b}\cdot\frac{(a + 2b)^2}{(a + b)(a - b)}\\&=\frac{a + 2b}{a + b}\end{aligned}$
$\begin{aligned}(a - 2)\cdot\frac{a^2 - 4}{a^2 - 4a + 4}&=(a - 2)\cdot\frac{(a + 2)(a - 2)}{(a - 2)^2}\\&=(a - 2)\cdot\frac{a + 2}{a - 2}\\&=a + 2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\frac{a - b}{a + 2b}÷\frac{a^2 - b^2}{a^2 + 4ab + 4b^2}&=\frac{a - b}{a + 2b}\cdot\frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{a^2 - b^2}\\&=\frac{a - b}{a + 2b}\cdot\frac{(a + 2b)^2}{(a + b)(a - b)}\\&=\frac{a + 2b}{a + b}\end{aligned}$
