14. 已知关于 $x$ 的分式方程$\frac{2}{x-3}+\frac{mx}{x^{2}-9}= \frac{5}{x+3}$.
(1) 若这个方程的解是负数,求 $m$ 的取值范围.
(2) 若这个方程无解,求 $m$ 的值.

(1) $m＞3$且$m\neq10$；(2) $m=-4$，$3$，$10$。

(1) 方程两边同乘最简公分母$(x-3)(x+3)$，得：
$2(x+3)+mx=5(x-3)$
化简得：$(m-3)x=-21$
解得：$x=-\frac{21}{m-3}$（$m\neq3$）
∵方程的解是负数，∴$x=-\frac{21}{m-3}＜0$，即$-\frac{21}{m-3}＜0$，
∵$-21＜0$，∴$m-3＞0$，解得$m＞3$。
∵分式方程分母不为0，∴$x\neq3$且$x\neq-3$。
若$x=-3$，则$-\frac{21}{m-3}=-3$，解得$m=10$（增根，舍去）。
综上，$m$的取值范围是$m＞3$且$m\neq10$。
(2) 分式方程无解分两种情况：
① 整式方程$(m-3)x=-21$无解，此时$m-3=0$，即$m=3$；
② 整式方程的解为增根（$x=3$或$x=-3$）。
若$x=3$，则$-\frac{21}{m-3}=3$，解得$m=-4$；
若$x=-3$，则$-\frac{21}{m-3}=-3$，解得$m=10$。
综上，$m$的值为$-4$，$3$，$10$。

15. 阅读材料,并完成下列问题：
不难求得方程 $x+\frac{1}{x}= 2+\frac{1}{2}$的解是 $x_{1}= 2$,$x_{2}= \frac{1}{2}$；
$x+\frac{1}{x}= 3+\frac{1}{3}$的解是 $x_{1}= 3$,$x_{2}= \frac{1}{3}$；
$x+\frac{1}{x}= 4+\frac{1}{4}$的解是 $x_{1}= 4$,$x_{2}= \frac{1}{4}$.
(1) 观察上述方程及其解,可猜想关于 $x$ 的方程 $x+\frac{1}{x}= a+\frac{1}{a}(a \neq 0)$的解是.
(2) 试用“求出关于 $x$ 的方程 $x+\frac{1}{x}= a+\frac{1}{a}(a \neq 0)$的解”的方法证明你的猜想.
(3) 利用你猜想的结论,解关于 $x$ 的方程：$\frac{x^{2}-x+1}{x-1}= a+\frac{1}{a-1}$.

(1)
$x_{1}=a$，$x_{2}=\frac{1}{a}$
(2)
方程$x + \frac{1}{x}=a+\frac{1}{a}$两边同时乘以$x$得：
$x^{2}+1=(a + \frac{1}{a})x$
移项化为一般形式为：
$x^{2}-(a+\frac{1}{a})x + 1=0$
对于一元二次方程$Ax^{2}+Bx+C = 0$（$A\neq0$），这里$A = 1$，$B=-(a+\frac{1}{a})$，$C = 1$
根据求根公式$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^{2}-4AC}}{2A}$
$B^{2}-4AC=(a+\frac{1}{a})^{2}-4=a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}}-4=a^{2}-2+\frac{1}{a^{2}}=(a - \frac{1}{a})^{2}$
则$x=\frac{(a+\frac{1}{a})\pm(a - \frac{1}{a})}{2}$
$x_{1}=\frac{(a+\frac{1}{a})+(a - \frac{1}{a})}{2}=a$
$x_{2}=\frac{(a+\frac{1}{a})-(a - \frac{1}{a})}{2}=\frac{1}{a}$
(3)
对$\frac{x^{2}-x + 1}{x - 1}$变形：
$\frac{x^{2}-x+1}{x - 1}=\frac{x(x - 1)+1}{x - 1}=x+\frac{1}{x - 1}$
原方程$\frac{x^{2}-x + 1}{x - 1}=a+\frac{1}{a - 1}$可化为：
$x-1+\frac{1}{x - 1}=a - 1+\frac{1}{a - 1}$
根据前面结论可得：
$x-1=a - 1$或$x - 1=\frac{1}{a - 1}$
解得$x_{1}=a$，$x_{2}=\frac{a}{a - 1}$
经检验，当$x = a$或$x=\frac{a}{a - 1}$时，$x-1\neq0$，所以它们都是原方程的解。
综上，答案依次为：(1)$x_{1}=a$，$x_{2}=\frac{1}{a}$；(3)$x_{1}=a$，$x_{2}=\frac{a}{a - 1}$。