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10. 小慧同学在学习了成比例线段后,发现学习内容是一个逐步特殊化的过程,请在横线上填写适当的数值,感受这种特殊化的学习过程.
答案
10. 2
11. (2024·姜堰区期中)定义:等腰三角形的底边与底边上的高的长度的比值$k$称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰$△ ABC$的周长为$100\ cm,AB = 18\ cm$,则它的“特征值”$k$ =
$\frac{9}{20}$
.答案
11.$\frac{9}{20}$
解析
当$AB$为腰时，底边长为$100 - 18×2=64\ \mathrm{cm}$，此时$18 + 18=36＜64$，不满足三角形三边关系，舍去；
当$AB$为底边时，腰长为$\frac{100 - 18}{2}=41\ \mathrm{cm}$，底边上的高为$\sqrt{41^{2}-(\frac{18}{2})^{2}}=\sqrt{1681 - 81}=\sqrt{1600}=40\ \mathrm{cm}$，特征值$k=\frac{18}{40}=\frac{9}{20}$。
$\frac{9}{20}$
当$AB$为底边时，腰长为$\frac{100 - 18}{2}=41\ \mathrm{cm}$，底边上的高为$\sqrt{41^{2}-(\frac{18}{2})^{2}}=\sqrt{1681 - 81}=\sqrt{1600}=40\ \mathrm{cm}$，特征值$k=\frac{18}{40}=\frac{9}{20}$。
$\frac{9}{20}$
12. 已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长,满足$\frac{a + 4}{3}=\frac{b + 3}{2}=\frac{c + 8}{4}$,且$a + b + c = 12$,请你探索$△ ABC$的形状.
答案
12. 解:设$\frac{a + 4}{3}=\frac{b + 3}{2}=\frac{c + 8}{4}=k$,则 a = 3k - 4,b = 2k - 3,
c = 4k - 8,代入 a + b + c = 12,得 9k - 15 = 12,解得 k = 3,
∴a = 5,b = 3,c = 4,
∴$b^{2}+c^{2}=a^{2}$,
∴△ABC 为直角三角形.
c = 4k - 8,代入 a + b + c = 12,得 9k - 15 = 12,解得 k = 3,
∴a = 5,b = 3,c = 4,
∴$b^{2}+c^{2}=a^{2}$,
∴△ABC 为直角三角形.
13. 如图,已知点$A(0,-2),B(-2,1),C(3,2)$.
(1)求线段$AB,AC$的长;
(2)把$A,B,C$三点的横坐标、纵坐标都乘以 2 得到点$A_1,B_1,C_1$的坐标,求$A_1B_1,A_1C_1$的长;
(3)以上四条线段成比例吗? 说明理由.
(1)求线段$AB,AC$的长;
(2)把$A,B,C$三点的横坐标、纵坐标都乘以 2 得到点$A_1,B_1,C_1$的坐标,求$A_1B_1,A_1C_1$的长;
(3)以上四条线段成比例吗? 说明理由.
答案
13. 解:(1)
∵A(0,-2),B(-2,1),C(3,2),
∴由勾股定理,得 AB = $\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}$,AC = $\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$.
(2)由题意,得$A_{1}(0,-4)$,$B_{1}(-4,2)$,$C_{1}(6,4)$,
由勾股定理,得$A_{1}B_{1}=\sqrt{4^{2}+6^{2}}=2\sqrt{13}$,$A_{1}C_{1}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$.
(3)以上四条线段成比例.理由如下:
∵$\frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{13}}=\frac{1}{2}$,$\frac{AC}{A_{1}C_{1}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{AC}{A_{1}C_{1}}$,
∴四条线段成比例.
∵A(0,-2),B(-2,1),C(3,2),
∴由勾股定理,得 AB = $\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}$,AC = $\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$.
(2)由题意,得$A_{1}(0,-4)$,$B_{1}(-4,2)$,$C_{1}(6,4)$,
由勾股定理,得$A_{1}B_{1}=\sqrt{4^{2}+6^{2}}=2\sqrt{13}$,$A_{1}C_{1}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$.
(3)以上四条线段成比例.理由如下:
∵$\frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{13}}=\frac{1}{2}$,$\frac{AC}{A_{1}C_{1}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{AC}{A_{1}C_{1}}$,
∴四条线段成比例.
14. 如图,直线$y = 3x + 3$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$.过点$B$作直线$BP$与$x$轴正半轴交于点$P$,取线段$OA,OB,OP$,当其中一条线段的长度是其他两条线段长度的比例中项时,求点$P$的坐标.
答案
14. 解:
∵直线 y = 3x + 3 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,
∴点 A 的坐标是(-1,0),点 B 的坐标是(0,3),
∴OA = 1,OB = 3.
∵点 P 在 x 轴正半轴上,
∴设点 P 的坐标是(x,0)(x ＞ 0).
当线段 OA 的长度是其他两条线段长度的比例中项时,
$OA^{2}=OB· OP$,
∴1 = 3x,解得$x=\frac{1}{3}$,
∴点 P 的坐标是$(\frac{1}{3},0)$;
当线段 OB 的长度是其他两条线段长度的比例中项时,
$OB^{2}=OA· OP$,
∴9 = 1·x,解得 x = 9,
∴点 P 的坐标是(9,0);
当线段 OP 的长度是其他两条线段长度的比例中项时,
$OP^{2}=OB· OA$,
∴$x^{2}=3×1$,解得$x=\sqrt{3}$,
∴点 P 的坐标是$(\sqrt{3},0)$.
综上所述,点 P 的坐标是$(\frac{1}{3},0)$或(9,0)或$(\sqrt{3},0)$.
∵直线 y = 3x + 3 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,
∴点 A 的坐标是(-1,0),点 B 的坐标是(0,3),
∴OA = 1,OB = 3.
∵点 P 在 x 轴正半轴上,
∴设点 P 的坐标是(x,0)(x ＞ 0).
当线段 OA 的长度是其他两条线段长度的比例中项时,
$OA^{2}=OB· OP$,
∴1 = 3x,解得$x=\frac{1}{3}$,
∴点 P 的坐标是$(\frac{1}{3},0)$;
当线段 OB 的长度是其他两条线段长度的比例中项时,
$OB^{2}=OA· OP$,
∴9 = 1·x,解得 x = 9,
∴点 P 的坐标是(9,0);
当线段 OP 的长度是其他两条线段长度的比例中项时,
$OP^{2}=OB· OA$,
∴$x^{2}=3×1$,解得$x=\sqrt{3}$,
∴点 P 的坐标是$(\sqrt{3},0)$.
综上所述,点 P 的坐标是$(\frac{1}{3},0)$或(9,0)或$(\sqrt{3},0)$.
