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1.(2025·宿迁泗阳县期中)下列方程是关于x的一元二次方程的是 (
A.$2x - 1 = 4$
B.$xy + x = 3$
C.$x - \frac{1}{x} = 3$
D.$x^2 - 2x + 1 = 0$
D
)A.$2x - 1 = 4$
B.$xy + x = 3$
C.$x - \frac{1}{x} = 3$
D.$x^2 - 2x + 1 = 0$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，需先明确一元二次方程的核心判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时只需将每个选项对应上述条件逐一排查即可得出正确答案。
【解析】
结合一元二次方程的定义逐个分析选项：
A. $2x-1=4$中未知数$x$的最高次数是1，属于一元一次方程，不符合一元二次方程的要求；
B. $xy+x=3$中含有$x$和$y$两个未知数，属于二元方程，不符合一元二次方程的要求；
C. $x-\frac{1}{x}=3$的分母中含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的要求；
D. $x^2-2x+1=0$只含有未知数$x$，且$x$的最高次数为2，同时是整式方程，完全符合一元二次方程的定义。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程的判定、分式方程的识别
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对一元二次方程定义的掌握程度，解题时只要紧扣一元二次方程的核心判断要点逐一验证选项，就能快速得出答案，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
要判断一个方程是否为一元二次方程，需先明确一元二次方程的核心判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时只需将每个选项对应上述条件逐一排查即可得出正确答案。
【解析】
结合一元二次方程的定义逐个分析选项：
A. $2x-1=4$中未知数$x$的最高次数是1，属于一元一次方程，不符合一元二次方程的要求；
B. $xy+x=3$中含有$x$和$y$两个未知数，属于二元方程，不符合一元二次方程的要求；
C. $x-\frac{1}{x}=3$的分母中含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的要求；
D. $x^2-2x+1=0$只含有未知数$x$，且$x$的最高次数为2，同时是整式方程，完全符合一元二次方程的定义。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程的判定、分式方程的识别
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对一元二次方程定义的掌握程度，解题时只要紧扣一元二次方程的核心判断要点逐一验证选项，就能快速得出答案，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
2.(2025·宿迁宿豫区期末)已知$x=-2$是方程$x^2 - x + c = 0$的一个解，则实数$c$的值为（
A.$-6$
B.$-2$
C.$2$
D.$6$
A
）A.$-6$
B.$-2$
C.$2$
D.$6$
答案
2.A
解析
【分析】
本题可根据一元二次方程根的定义求解。解题思路：若一个数是一元二次方程的根，那么将其代入方程可使方程左右两边相等，因此只需将已知的根$x=-2$代入原方程，即可得到只含参数$c$的一元一次方程，求解该方程就能得到$c$的值。
【解析】
解：$\because x=-2$是方程$x^2 - x + c = 0$的一个解，
$\therefore$将$x=-2$代入方程，等式成立，即：
$(-2)^2 - (-2) + c = 0$
计算得：$4 + 2 + c = 0$
化简得：$6 + c = 0$
解得：$c = -6$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的根；代入求值；解一元一次方程
【点评】
本题是基础常考题，核心考查方程根的应用，掌握“将已知根代入原方程构造关于参数的方程求解”的方法即可快速解题，计算量小，得分率高。
【难度系数】
0.9
本题可根据一元二次方程根的定义求解。解题思路：若一个数是一元二次方程的根，那么将其代入方程可使方程左右两边相等，因此只需将已知的根$x=-2$代入原方程，即可得到只含参数$c$的一元一次方程，求解该方程就能得到$c$的值。
【解析】
解：$\because x=-2$是方程$x^2 - x + c = 0$的一个解，
$\therefore$将$x=-2$代入方程，等式成立，即：
$(-2)^2 - (-2) + c = 0$
计算得：$4 + 2 + c = 0$
化简得：$6 + c = 0$
解得：$c = -6$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的根；代入求值；解一元一次方程
【点评】
本题是基础常考题，核心考查方程根的应用，掌握“将已知根代入原方程构造关于参数的方程求解”的方法即可快速解题，计算量小，得分率高。
【难度系数】
0.9
3.(2025·新疆改编)若关于$x$的一元二次方程$ax^2 - 2x + 1 = 0$有实数根，则实数$a$的取值范围是（
A.$a＜1$且$a≠0$
B.$a＞1$
C.$a≤1$
D.$a≤1$且$a≠0$
D
）A.$a＜1$且$a≠0$
B.$a＞1$
C.$a≤1$
D.$a≤1$且$a≠0$
答案
3.D
解析
【分析】
首先明确题干给出的是一元二次方程，因此首先要满足一元二次方程的定义：二次项系数不为0，即a≠0，可先排除不含a≠0限制的选项B、C；接下来根据一元二次方程有实数根的条件，判别式Δ≥0，代入对应系数计算不等式，求出a的取值范围，再结合a≠0的限制，最终确定正确选项。
【解析】
解：
∵ 方程$ax^2 - 2x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$a ≠ 0$
∵ 一元二次方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$b=-2$，$c=1$，代入得：
$(-2)^2 - 4 × a × 1 ≥ 0$
$4 - 4a ≥ 0$
解得$a ≤ 1$
综上，$a$的取值范围是$a ≤ 1$且$a ≠ 0$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是典型的易错题，解题时很容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接通过判别式求出$a≤1$就误选C。做此类求参数范围的题目时，要先根据方程的类型确定参数的限制条件，再结合根的情况列式计算，培养思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
首先明确题干给出的是一元二次方程，因此首先要满足一元二次方程的定义：二次项系数不为0，即a≠0，可先排除不含a≠0限制的选项B、C；接下来根据一元二次方程有实数根的条件，判别式Δ≥0，代入对应系数计算不等式，求出a的取值范围，再结合a≠0的限制，最终确定正确选项。
【解析】
解：
∵ 方程$ax^2 - 2x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$a ≠ 0$
∵ 一元二次方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$b=-2$，$c=1$，代入得：
$(-2)^2 - 4 × a × 1 ≥ 0$
$4 - 4a ≥ 0$
解得$a ≤ 1$
综上，$a$的取值范围是$a ≤ 1$且$a ≠ 0$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题是典型的易错题，解题时很容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接通过判别式求出$a≤1$就误选C。做此类求参数范围的题目时，要先根据方程的类型确定参数的限制条件，再结合根的情况列式计算，培养思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
4.定义一种新运算$a\otimes b=\sqrt{a}·\sqrt{b}$，其中$a＞0,b＞0$，当$x\otimes(x-3)=2$时，$x$的值为（
A.－1
B.4
C.4和－1
D.3
B
）A.－1
B.4
C.4和－1
D.3
答案
4.B
解析
【分析】
解题时首先要准确理解新运算的规则及隐含的取值要求：运算符号前后的数都要大于0，再将新运算的式子转化为我们熟悉的常规方程求解。具体思路如下：第一步，根据新运算规则把$x\otimes(x-3)=2$转化为根式方程；第二步，先根据运算的前提要求确定$x$的取值范围；第三步，解转化后的一元二次方程；第四步，结合$x$的取值范围舍去不符合要求的增根，得到最终结果。
【解析】
根据新运算$a\otimes b=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a＞0,b＞0$），可得：
$x\otimes(x-3)=\sqrt{x}·\sqrt{x-3}=2$
由运算的前提条件得：$\begin{cases}x＞0 \\ x-3＞0\end{cases}$，解得$x＞3$
对$\sqrt{x}·\sqrt{x-3}=2$变形得：$\sqrt{x(x-3)}=2$
两边同时平方得：$x(x-3)=4$
整理为一元二次方程标准形式：$x^2-3x-4=0$
因式分解得：$(x-4)(x+1)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=-1$
结合$x＞3$的取值要求，$x=-1$不符合要求，舍去，故$x=4$。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，二次根式性质，解一元二次方程
【点评】
本题重点考查对新定义运算的理解与应用能力，解题时要特别注意新运算中隐含的参数取值范围，解完方程后需要验根，避免误选增根。
【难度系数】
0.7
解题时首先要准确理解新运算的规则及隐含的取值要求：运算符号前后的数都要大于0，再将新运算的式子转化为我们熟悉的常规方程求解。具体思路如下：第一步，根据新运算规则把$x\otimes(x-3)=2$转化为根式方程；第二步，先根据运算的前提要求确定$x$的取值范围；第三步，解转化后的一元二次方程；第四步，结合$x$的取值范围舍去不符合要求的增根，得到最终结果。
【解析】
根据新运算$a\otimes b=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a＞0,b＞0$），可得：
$x\otimes(x-3)=\sqrt{x}·\sqrt{x-3}=2$
由运算的前提条件得：$\begin{cases}x＞0 \\ x-3＞0\end{cases}$，解得$x＞3$
对$\sqrt{x}·\sqrt{x-3}=2$变形得：$\sqrt{x(x-3)}=2$
两边同时平方得：$x(x-3)=4$
整理为一元二次方程标准形式：$x^2-3x-4=0$
因式分解得：$(x-4)(x+1)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=-1$
结合$x＞3$的取值要求，$x=-1$不符合要求，舍去，故$x=4$。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，二次根式性质，解一元二次方程
【点评】
本题重点考查对新定义运算的理解与应用能力，解题时要特别注意新运算中隐含的参数取值范围，解完方程后需要验根，避免误选增根。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每小题5分,共25分)
5.(2025·山东)若关于x的一元二次方程$x^2 +4x -m=0$有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是
5.(2025·山东)若关于x的一元二次方程$x^2 +4x -m=0$有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是
$m＞-4$
.答案
5.$m＞-4$
解析
【分析】
已知一元二次方程有两个不相等的实数根，我们可以利用一元二次方程根的判别式与根的数量的对应关系解题。首先明确对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta = b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。接下来先确定题中方程的各项系数a、b、c，代入判别式得到关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵关于x的一元二次方程$x^2 +4x -m=0$有两个不相等的实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=1$，$b=4$，$c=-m$，代入得：
$4^2 - 4×1×(-m) ＞ 0$
$16 + 4m ＞ 0$
移项得：$4m ＞ -16$
两边同时除以4得：$m ＞ -4$
【答案】
$m＞-4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时需注意准确识别方程的常数项符号，避免代入判别式时出现符号错误。
【难度系数】
0.8
已知一元二次方程有两个不相等的实数根，我们可以利用一元二次方程根的判别式与根的数量的对应关系解题。首先明确对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta = b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。接下来先确定题中方程的各项系数a、b、c，代入判别式得到关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵关于x的一元二次方程$x^2 +4x -m=0$有两个不相等的实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=1$，$b=4$，$c=-m$，代入得：
$4^2 - 4×1×(-m) ＞ 0$
$16 + 4m ＞ 0$
移项得：$4m ＞ -16$
两边同时除以4得：$m ＞ -4$
【答案】
$m＞-4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时需注意准确识别方程的常数项符号，避免代入判别式时出现符号错误。
【难度系数】
0.8
6.(2025·宿迁宿豫区期中)若代数式$x+2$的值与代数式$x(x+2)$的值相等，则$x$的值为
1或－2
。答案
6.1或－2
解析
【分析】
首先根据题目给出的“两个代数式值相等”的条件列出对应方程；解题时注意不能直接在等式两边同时除以$(x+2)$，否则会漏掉$x=-2$这个根，正确做法是移项后提取公因式$(x+2)$，用因式分解法求解一元二次方程，最终得到$x$的取值。
【解析】
解：根据题意列等式：
$x + 2 = x(x + 2)$
移项整理得：
$x + 2 - x(x + 2) = 0$
提取公因式$(x+2)$得：
$(x + 2)(1 - x) = 0$
令每个因式为0，得：
$x + 2 = 0$ 或 $1 - x = 0$
解得：$x_1=-2$，$x_2=1$
【答案】
1或－2
【知识点】
列一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是基础运算题，核心考查根据等量关系建立方程的能力，解题时要注意不要直接约去含未知数的整式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
首先根据题目给出的“两个代数式值相等”的条件列出对应方程；解题时注意不能直接在等式两边同时除以$(x+2)$，否则会漏掉$x=-2$这个根，正确做法是移项后提取公因式$(x+2)$，用因式分解法求解一元二次方程，最终得到$x$的取值。
【解析】
解：根据题意列等式：
$x + 2 = x(x + 2)$
移项整理得：
$x + 2 - x(x + 2) = 0$
提取公因式$(x+2)$得：
$(x + 2)(1 - x) = 0$
令每个因式为0，得：
$x + 2 = 0$ 或 $1 - x = 0$
解得：$x_1=-2$，$x_2=1$
【答案】
1或－2
【知识点】
列一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是基础运算题，核心考查根据等量关系建立方程的能力，解题时要注意不要直接约去含未知数的整式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
7. (2025·眉山)已知方程$x^2 - 2x -5=0$的两根分别为$x_1,x_2$，则$(x_1+1)(x_2+1)$的值为
－2
。答案
7.－2
解析
【分析】
本题要求一元二次方程两根构成的代数式的值，解题思路为：无需单独求解方程的两个根，先利用多项式乘法法则将待求式展开，整理为含有两根之和、两根之积的形式，再根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，最后代入展开式计算即可，能简化计算过程。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
已知方程$x^2 - 2x -5=0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=-5$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{-2}{1}=2$，$x_1x_2=\frac{-5}{1}=-5$。
展开待求式：
$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1$
将$x_1+x_2=2$、$x_1x_2=-5$代入上式：
原式$=-5 + 2 + 1 = -2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
根与系数的关系，多项式乘法，代数式求值
【点评】
本题是基础题型，重点考查韦达定理的应用，熟练掌握根与系数的关系可省略求解方程根的步骤，提升解题效率，计算时要注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
本题要求一元二次方程两根构成的代数式的值，解题思路为：无需单独求解方程的两个根，先利用多项式乘法法则将待求式展开，整理为含有两根之和、两根之积的形式，再根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，最后代入展开式计算即可，能简化计算过程。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
已知方程$x^2 - 2x -5=0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=-5$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{-2}{1}=2$，$x_1x_2=\frac{-5}{1}=-5$。
展开待求式：
$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1$
将$x_1+x_2=2$、$x_1x_2=-5$代入上式：
原式$=-5 + 2 + 1 = -2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
根与系数的关系，多项式乘法，代数式求值
【点评】
本题是基础题型，重点考查韦达定理的应用，熟练掌握根与系数的关系可省略求解方程根的步骤，提升解题效率，计算时要注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
8.(2025·威海)把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形,四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形.若矩形纸片的长为$m$,宽为$n$,四边形$EFGH$的面积等于四边形$ABCD$面积的2倍,则$\frac{m}{n}=$
$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$
.答案
8.$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
首先明确四个全等直角三角形的边长与矩形长宽的关系：由图①可知，直角三角形短直角边长度为$\frac{n}{2}$，长直角边长度为$m$。接下来分别推导两个正方形的面积：图②中四边形$ABCD$是中间小正方形，边长为长直角边减短直角边，面积为$(b-a)^2$；图③中四边形$EFGH$是中间正方形，面积等于外围大正方形面积减去四个直角三角形的总面积，可推导得面积为$a^2+b^2$。最后根据两个四边形的面积倍数关系列方程，求解即可得到$\frac{m}{n}$的值。
【解析】
设四个全等直角三角形的短直角边长为$a$，长直角边长为$b$。
由图①矩形的长为$m$、宽为$n$，可得$2a=n$，即$a=\frac{n}{2}$，$b=m$。
1. 求四边形$ABCD$的面积：
图②中四边形$ABCD$为正方形，边长为$b-a$，因此$S_{ABCD}=(b-a)^2$。
2. 求四边形$EFGH$的面积：
图③中外围大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$，四个直角三角形总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$，因此$S_{EFGH}=(a+b)^2-2ab=a^2+b^2$。
3. 结合面积关系列方程求解：
根据题意$S_{EFGH}=2S_{ABCD}$，代入得：
$a^2+b^2=2(b-a)^2$
展开并整理得：
$b^2-4ab+a^2=0$
将$a=\frac{n}{2}$、$b=m$代入上式：
$m^2-2mn+\frac{n^2}{4}=0$
两边同时除以$n^2$，设$k=\frac{m}{n}(k＞0)$，得一元二次方程：
$k^2-2k+\frac{1}{4}=0$
解得$k=\frac{2\pm\sqrt{3}}{2}$，舍去负根，得$k=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
图形的剪拼，正方形面积计算，一元二次方程的应用
【点评】
本题结合图形剪拼考查面积计算与方程的应用，解题核心是找准剪拼过程中各图形的边长、面积的等量关系，体现了数形结合的思想，需要学生具备一定的图形分析能力。
【难度系数】
0.65
首先明确四个全等直角三角形的边长与矩形长宽的关系：由图①可知，直角三角形短直角边长度为$\frac{n}{2}$，长直角边长度为$m$。接下来分别推导两个正方形的面积：图②中四边形$ABCD$是中间小正方形，边长为长直角边减短直角边，面积为$(b-a)^2$；图③中四边形$EFGH$是中间正方形，面积等于外围大正方形面积减去四个直角三角形的总面积，可推导得面积为$a^2+b^2$。最后根据两个四边形的面积倍数关系列方程，求解即可得到$\frac{m}{n}$的值。
【解析】
设四个全等直角三角形的短直角边长为$a$，长直角边长为$b$。
由图①矩形的长为$m$、宽为$n$，可得$2a=n$，即$a=\frac{n}{2}$，$b=m$。
1. 求四边形$ABCD$的面积：
图②中四边形$ABCD$为正方形，边长为$b-a$，因此$S_{ABCD}=(b-a)^2$。
2. 求四边形$EFGH$的面积：
图③中外围大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$，四个直角三角形总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$，因此$S_{EFGH}=(a+b)^2-2ab=a^2+b^2$。
3. 结合面积关系列方程求解：
根据题意$S_{EFGH}=2S_{ABCD}$，代入得：
$a^2+b^2=2(b-a)^2$
展开并整理得：
$b^2-4ab+a^2=0$
将$a=\frac{n}{2}$、$b=m$代入上式：
$m^2-2mn+\frac{n^2}{4}=0$
两边同时除以$n^2$，设$k=\frac{m}{n}(k＞0)$，得一元二次方程：
$k^2-2k+\frac{1}{4}=0$
解得$k=\frac{2\pm\sqrt{3}}{2}$，舍去负根，得$k=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
图形的剪拼，正方形面积计算，一元二次方程的应用
【点评】
本题结合图形剪拼考查面积计算与方程的应用，解题核心是找准剪拼过程中各图形的边长、面积的等量关系，体现了数形结合的思想，需要学生具备一定的图形分析能力。
【难度系数】
0.65
9.(2025·宿迁宿城区二模)已知$a,b,c$均为正数，且$a^2 + b^2 - c^2 = 0$，则$\frac{c}{a + b}$的最小值为
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
。答案
9.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
已知a、b、c均为正数且满足$a^2+b^2=c^2$，要求$\frac{c}{a+b}$的最小值，可先将所求式子平方，结合已知条件转化为仅含a、b的分式，再利用完全平方公式的非负性推导$a^2+b^2$与ab的不等关系，代入分式后即可求出最值，注意所有数为正数，开平方时取正根。
【解析】
∵ a、b、c均为正数，且$a^2+b^2=c^2$
∴ 先求所求式子的平方：
$(\frac{c}{a+b})^2=\frac{c^2}{(a+b)^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2+2ab+b^2}$
由完全平方公式的非负性可知：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2≥0$，当且仅当$a=b$时等号成立
整理得：$a^2+b^2≥2ab$
将该不等式代入分母可得：
$a^2+2ab+b^2=(a^2+b^2)+2ab≤(a^2+b^2)+(a^2+b^2)=2(a^2+b^2)$
因此分式满足：
$\frac{a^2+b^2}{a^2+2ab+b^2}≥\frac{a^2+b^2}{2(a^2+b^2)}=\frac{1}{2}$
即$(\frac{c}{a+b})^2≥\frac{1}{2}$
∵ a、b、c均为正数，两边同时开平方得：
$\frac{c}{a+b}≥\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，当且仅当$a=b$时取到最小值
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
完全平方公式的应用；不等式的基本性质；代数式最值求解
【点评】
本题解题的核心是将所求代数式平方后结合已知条件转化，借助完全平方的非负性得到不等关系代入计算，需要注意正数的前提保证开方后符号正确，等号成立的条件是a=b。
【难度系数】
0.6
已知a、b、c均为正数且满足$a^2+b^2=c^2$，要求$\frac{c}{a+b}$的最小值，可先将所求式子平方，结合已知条件转化为仅含a、b的分式，再利用完全平方公式的非负性推导$a^2+b^2$与ab的不等关系，代入分式后即可求出最值，注意所有数为正数，开平方时取正根。
【解析】
∵ a、b、c均为正数，且$a^2+b^2=c^2$
∴ 先求所求式子的平方：
$(\frac{c}{a+b})^2=\frac{c^2}{(a+b)^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2+2ab+b^2}$
由完全平方公式的非负性可知：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2≥0$，当且仅当$a=b$时等号成立
整理得：$a^2+b^2≥2ab$
将该不等式代入分母可得：
$a^2+2ab+b^2=(a^2+b^2)+2ab≤(a^2+b^2)+(a^2+b^2)=2(a^2+b^2)$
因此分式满足：
$\frac{a^2+b^2}{a^2+2ab+b^2}≥\frac{a^2+b^2}{2(a^2+b^2)}=\frac{1}{2}$
即$(\frac{c}{a+b})^2≥\frac{1}{2}$
∵ a、b、c均为正数，两边同时开平方得：
$\frac{c}{a+b}≥\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，当且仅当$a=b$时取到最小值
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
完全平方公式的应用；不等式的基本性质；代数式最值求解
【点评】
本题解题的核心是将所求代数式平方后结合已知条件转化，借助完全平方的非负性得到不等关系代入计算，需要注意正数的前提保证开方后符号正确，等号成立的条件是a=b。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共55分)
10.(16分)选用适当的方法解下列方程：
(1)$x^2 - 2x - 8 = 0$；
(2)$(2x + 1)^2 = 2x + 1$；
(3)$(x - 1)^2 + 2 - 2x = 0$；
(4)$2x(x - 2) = x - 3$；
10.(16分)选用适当的方法解下列方程：
(1)$x^2 - 2x - 8 = 0$；
(2)$(2x + 1)^2 = 2x + 1$；
(3)$(x - 1)^2 + 2 - 2x = 0$；
(4)$2x(x - 2) = x - 3$；
答案
10.(1)$x_1=4,x_2=-2$
(2)$x_1=-\frac{1}{2},x_2=0$
(3)$x_1=1,x_2=3$
(4)$x_1=1,x_2=\frac{3}{2}$
(2)$x_1=-\frac{1}{2},x_2=0$
(3)$x_1=1,x_2=3$
(4)$x_1=1,x_2=\frac{3}{2}$
解析
【分析】
解一元二次方程可根据方程特征优先选择简便方法，能因式分解的优先用因式分解法，可简化计算步骤：
(1)方程左侧是二次三项式，可通过十字相乘法分解因式求解；
(2)方程左右两边都含有公因式$2x+1$，先移项再提取公因式求解；
(3)先将后两项整理为$-2(x-1)$，即可提取公因式$x-1$分解因式求解；
(4)先去括号、移项整理为一元二次方程的一般形式，再用十字相乘法分解因式求解。
【解析】
(1) 对$x^2 - 2x - 8 = 0$因式分解，得：
$(x - 4)(x + 2) = 0$
$\therefore x - 4 = 0$ 或 $x + 2 = 0$
解得 $x_1 = 4, x_2 = -2$
(2) 对$(2x + 1)^2 = 2x + 1$移项，得：
$(2x + 1)^2 - (2x + 1) = 0$
提取公因式，得：
$(2x + 1)(2x + 1 - 1) = 0$
化简为 $2x(2x + 1) = 0$
$\therefore 2x = 0$ 或 $2x + 1 = 0$
解得 $x_1 = 0, x_2 = -\frac{1}{2}$
(3) 对$(x - 1)^2 + 2 - 2x = 0$变形，得：
$(x - 1)^2 - 2(x - 1) = 0$
提取公因式，得：
$(x - 1)(x - 1 - 2) = 0$
化简为 $(x - 1)(x - 3) = 0$
$\therefore x - 1 = 0$ 或 $x - 3 = 0$
解得 $x_1 = 1, x_2 = 3$
(4) 对$2x(x - 2) = x - 3$去括号、移项整理，得：
$2x^2 - 4x - x + 3 = 0$
即 $2x^2 - 5x + 3 = 0$
因式分解，得：
$(x - 1)(2x - 3) = 0$
$\therefore x - 1 = 0$ 或 $2x - 3 = 0$
解得 $x_1 = 1, x_2 = \frac{3}{2}$
【答案】
(1)$x_1=4,x_2=-2$
(2)$x_1=-\frac{1}{2},x_2=0$
(3)$x_1=1,x_2=3$
(4)$x_1=1,x_2=\frac{3}{2}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、十字相乘法分解因式、一元二次方程求解
【点评】
本题考查一元二次方程的灵活求解，根据方程特征选择合适的解法可大幅提升解题效率，解题过程中要注意移项变号规则，分解因式时不要漏项，保证计算准确率。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程可根据方程特征优先选择简便方法，能因式分解的优先用因式分解法，可简化计算步骤：
(1)方程左侧是二次三项式，可通过十字相乘法分解因式求解；
(2)方程左右两边都含有公因式$2x+1$，先移项再提取公因式求解；
(3)先将后两项整理为$-2(x-1)$，即可提取公因式$x-1$分解因式求解；
(4)先去括号、移项整理为一元二次方程的一般形式，再用十字相乘法分解因式求解。
【解析】
(1) 对$x^2 - 2x - 8 = 0$因式分解，得：
$(x - 4)(x + 2) = 0$
$\therefore x - 4 = 0$ 或 $x + 2 = 0$
解得 $x_1 = 4, x_2 = -2$
(2) 对$(2x + 1)^2 = 2x + 1$移项，得：
$(2x + 1)^2 - (2x + 1) = 0$
提取公因式，得：
$(2x + 1)(2x + 1 - 1) = 0$
化简为 $2x(2x + 1) = 0$
$\therefore 2x = 0$ 或 $2x + 1 = 0$
解得 $x_1 = 0, x_2 = -\frac{1}{2}$
(3) 对$(x - 1)^2 + 2 - 2x = 0$变形，得：
$(x - 1)^2 - 2(x - 1) = 0$
提取公因式，得：
$(x - 1)(x - 1 - 2) = 0$
化简为 $(x - 1)(x - 3) = 0$
$\therefore x - 1 = 0$ 或 $x - 3 = 0$
解得 $x_1 = 1, x_2 = 3$
(4) 对$2x(x - 2) = x - 3$去括号、移项整理，得：
$2x^2 - 4x - x + 3 = 0$
即 $2x^2 - 5x + 3 = 0$
因式分解，得：
$(x - 1)(2x - 3) = 0$
$\therefore x - 1 = 0$ 或 $2x - 3 = 0$
解得 $x_1 = 1, x_2 = \frac{3}{2}$
【答案】
(1)$x_1=4,x_2=-2$
(2)$x_1=-\frac{1}{2},x_2=0$
(3)$x_1=1,x_2=3$
(4)$x_1=1,x_2=\frac{3}{2}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、十字相乘法分解因式、一元二次方程求解
【点评】
本题考查一元二次方程的灵活求解，根据方程特征选择合适的解法可大幅提升解题效率，解题过程中要注意移项变号规则，分解因式时不要漏项，保证计算准确率。
【难度系数】
0.8
