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11.(12分)(2025·宿迁宿豫区期中)如图,在长 40 m,宽 21 m 的矩形地面内,修筑两条同样宽且互相垂直的道路,余下的铺上草坪,要使草坪的面积达到 780 m²,道路的宽应为多少米？
第11题图
第11题图答案
11.解:设道路的宽应为$x$ m，
根据题意,得$(40-x)(21-x)=780$，
整理,得$x^2-61x+60=0$,解得$x_1=1,x_2=60$(舍去).
答:道路的宽应为1 m.
根据题意,得$(40-x)(21-x)=780$，
整理,得$x^2-61x+60=0$,解得$x_1=1,x_2=60$(舍去).
答:道路的宽应为1 m.
解析
【分析】
解决这类含道路的面积问题可采用平移法简化计算：将互相垂直的两条道路分别向矩形的边缘平移，余下的草坪会构成一个新的矩形。首先设道路的宽为$x$ m，此时新矩形的长为原矩形长减去道路宽，即$(40-x)$m，新矩形的宽为原矩形宽减去道路宽，即$(21-x)$m。再结合草坪面积为780$\mathrm{m^2}$，利用矩形面积公式列一元二次方程，求解后结合实际意义舍去不符合要求的根，即可得到道路宽度。
【解析】
解：设道路的宽应为$x$ m，
将道路平移后，草坪为长$(40-x)$m、宽$(21-x)$m的矩形，根据题意列方程得：
$(40-x)(21-x)=780$
展开整理得：
$x^2-61x+60=0$
因式分解得$(x-1)(x-60)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=60$。
由于道路宽度不可能超过原矩形的宽21 m，因此$x=60$不符合实际，舍去。
答：道路的宽应为1 m。
【答案】
1 m
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
3. 实际问题根的检验
【点评】
本题是面积类实际应用的典型题型，通过平移法转化图形可快速得到草坪区域的边长关系，降低计算复杂度。解题时要注意，一元二次方程求解得到的根不一定都符合实际场景，需要结合题干条件验证后取舍。
【难度系数】
0.7
解决这类含道路的面积问题可采用平移法简化计算：将互相垂直的两条道路分别向矩形的边缘平移，余下的草坪会构成一个新的矩形。首先设道路的宽为$x$ m，此时新矩形的长为原矩形长减去道路宽，即$(40-x)$m，新矩形的宽为原矩形宽减去道路宽，即$(21-x)$m。再结合草坪面积为780$\mathrm{m^2}$，利用矩形面积公式列一元二次方程，求解后结合实际意义舍去不符合要求的根，即可得到道路宽度。
【解析】
解：设道路的宽应为$x$ m，
将道路平移后，草坪为长$(40-x)$m、宽$(21-x)$m的矩形，根据题意列方程得：
$(40-x)(21-x)=780$
展开整理得：
$x^2-61x+60=0$
因式分解得$(x-1)(x-60)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=60$。
由于道路宽度不可能超过原矩形的宽21 m，因此$x=60$不符合实际，舍去。
答：道路的宽应为1 m。
【答案】
1 m
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
3. 实际问题根的检验
【点评】
本题是面积类实际应用的典型题型，通过平移法转化图形可快速得到草坪区域的边长关系，降低计算复杂度。解题时要注意，一元二次方程求解得到的根不一定都符合实际场景，需要结合题干条件验证后取舍。
【难度系数】
0.7
12.(12分)(2025·宿迁宿豫区期末)已知关于x的一元二次方程$x^2 -2kx + \frac{3}{4}k^2=0$.
(1)求证:该方程总有两个实数根；
(2)若$k＞0$,且该方程的两个实数根的平方和为10,求k的值.
(1)求证:该方程总有两个实数根；
(2)若$k＞0$,且该方程的两个实数根的平方和为10,求k的值.
答案
12.(1)证明:$\because b^2-4ac=(-2k)^2-4×1×\frac{3}{4}k^2=k^2≥0$,
$\therefore$该方程总有两个实数根.
(2)解:设原方程的两个根为$x_1,x_2$,则$x_1+x_2=2k$,
$x_1x_2=\frac{3}{4}k^2$,
$\because$该方程的两个实数根的平方和为10,$\therefore x_1^2+x_2^2=10$,
$\therefore (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=10$,即$(2k)^2-2×\frac{3}{4}k^2=10$,解得$k=±2$.又$\because k＞0$,$\therefore k=2$.
$\therefore$该方程总有两个实数根.
(2)解:设原方程的两个根为$x_1,x_2$,则$x_1+x_2=2k$,
$x_1x_2=\frac{3}{4}k^2$,
$\because$该方程的两个实数根的平方和为10,$\therefore x_1^2+x_2^2=10$,
$\therefore (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=10$,即$(2k)^2-2×\frac{3}{4}k^2=10$,解得$k=±2$.又$\because k＞0$,$\therefore k=2$.
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，只需验证根的判别式$\Delta ≥ 0$即可。先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，代入判别式公式计算，判断结果的非负性即可完成证明。
（2）已知两根的平方和，可通过完全平方公式将其变形为两根之和与两根之积的组合形式，再结合根与系数的关系求出两根之和、两根之积代入变形后的式子，得到关于$k$的方程，解方程后结合$k＞0$的条件舍去不符合要求的解，即可得到$k$的取值。
【解析】
（1）证明：在一元二次方程$x^2 -2kx + \frac{3}{4}k^2=0$中，$a=1$，$b=-2k$，$c=\frac{3}{4}k^2$，
则判别式$\Delta = b^2-4ac=(-2k)^2-4×1×\frac{3}{4}k^2=4k^2-3k^2=k^2$，
∵ 无论$k$取何值，$k^2≥0$恒成立，即$\Delta ≥ 0$，
∴ 该方程总有两个实数根。
（2）解：设原方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=2k$，$x_1x_2=\frac{3}{4}k^2$，
由题意得$x_1^2+x_2^2=10$，
根据完全平方公式变形得：$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，
代入得：$(2k)^2-2×\frac{3}{4}k^2=10$，
整理得$\frac{5}{2}k^2=10$，解得$k=\pm 2$，
又
∵ $k＞0$，
∴ $k=2$。
【答案】
（1）方程总有两个实数根得证；（2）$k=2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，主要考察根的判别式的应用和韦达定理的常见变形，解题时求出参数取值后要注意结合题干限制条件筛选解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，只需验证根的判别式$\Delta ≥ 0$即可。先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，代入判别式公式计算，判断结果的非负性即可完成证明。
（2）已知两根的平方和，可通过完全平方公式将其变形为两根之和与两根之积的组合形式，再结合根与系数的关系求出两根之和、两根之积代入变形后的式子，得到关于$k$的方程，解方程后结合$k＞0$的条件舍去不符合要求的解，即可得到$k$的取值。
【解析】
（1）证明：在一元二次方程$x^2 -2kx + \frac{3}{4}k^2=0$中，$a=1$，$b=-2k$，$c=\frac{3}{4}k^2$，
则判别式$\Delta = b^2-4ac=(-2k)^2-4×1×\frac{3}{4}k^2=4k^2-3k^2=k^2$，
∵ 无论$k$取何值，$k^2≥0$恒成立，即$\Delta ≥ 0$，
∴ 该方程总有两个实数根。
（2）解：设原方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=2k$，$x_1x_2=\frac{3}{4}k^2$，
由题意得$x_1^2+x_2^2=10$，
根据完全平方公式变形得：$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，
代入得：$(2k)^2-2×\frac{3}{4}k^2=10$，
整理得$\frac{5}{2}k^2=10$，解得$k=\pm 2$，
又
∵ $k＞0$，
∴ $k=2$。
【答案】
（1）方程总有两个实数根得证；（2）$k=2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，主要考察根的判别式的应用和韦达定理的常见变形，解题时求出参数取值后要注意结合题干限制条件筛选解，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
13.(15分)某电商对种植成本为20元/千克的葡萄进行直播销售,如果按每千克40元销售,每天可卖出200千克.通过市场调查发现,如果该葡萄的售价每千克每降低1元,日销售量将增加20千克.
(1)若日利润保持不变,该葡萄的售价每千克可降低多少元?
(2)老张的线下水果店也销售同款葡萄,标价为每千克50元.为提高市场竞争力,促进线下销售,老张决定对该葡萄实行打折销售,使其销售价格不超过(1)中的售价,则该葡萄至少需打几折销售?
(1)若日利润保持不变,该葡萄的售价每千克可降低多少元?
(2)老张的线下水果店也销售同款葡萄,标价为每千克50元.为提高市场竞争力,促进线下销售,老张决定对该葡萄实行打折销售,使其销售价格不超过(1)中的售价,则该葡萄至少需打几折销售?
答案
13.解:(1)设该葡萄的售价每千克降低$x$元,则每千克的销售利润为(40-x-20)元,日销售量为(200+20x)千克,根据题意,得$(40-x-20)(200+20x)=(40-20)×200$,整理得$x^2-10x=0$,
解得$x_1=0$(不符合题意,舍去),$x_2=10$.
答:若日利润保持不变,该葡萄的售价每千克可降低10元.
(2)设该葡萄需要打$y$折销售,根据题意,得$50×\frac{y}{10}≤40-10$,解得$y≤6$,$\therefore y$的最大值为6.
答:该葡萄至少需要打六折销售.
解得$x_1=0$(不符合题意,舍去),$x_2=10$.
答:若日利润保持不变,该葡萄的售价每千克可降低10元.
(2)设该葡萄需要打$y$折销售,根据题意,得$50×\frac{y}{10}≤40-10$,解得$y≤6$,$\therefore y$的最大值为6.
答:该葡萄至少需要打六折销售.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 属于利润类一元二次方程应用问题，核心等量关系为“降价后的日利润=原日利润”。首先明确总利润计算公式：总利润=单千克利润×销售量，先计算原销售模式下的日利润，再设每千克降低x元，分别表示出降价后的单千克利润和日销售量，根据等量关系列方程求解，最后舍去不符合实际意义的解即可。
(2) 属于打折类一元一次不等式应用问题，核心不等关系为“线下打折后的售价≤(1)中得出的售价”。先算出(1)中降价后的葡萄售价，再设打y折，根据“折后价=标价×折扣数/10”列出不等式，求解后得到的最大折扣数即为至少需要打的折扣。
【解析】
(1) 设该葡萄的售价每千克降低$x$元，则每千克的销售利润为$(40-x-20)$元，日销售量为$(200+20x)$千克。
根据日利润保持不变，列方程得：
$(40-x-20)(200+20x)=(40-20)×200$
整理得：$x^2-10x=0$
解得：$x_1=0$（不符合题意，舍去），$x_2=10$。
(2) 由(1)可知，降价后的葡萄售价为$40-10=30$元/千克。
设该葡萄需要打$y$折销售，根据折后售价不超过30元/千克，列不等式得：
$50×\frac{y}{10}≤30$
解得：$y≤6$。
【答案】
(1) 若日利润保持不变，该葡萄的售价每千克可降低10元；
(2) 该葡萄至少需打六折销售。
【知识点】
一元二次方程应用，一元一次不等式应用，销售利润计算
【点评】
本题是贴合生活实际的销售类应用题，综合考查了方程与不等式的实际运用，解题关键是找准题目中的等量关系和不等关系，正确列出式子求解，同时要注意结合实际情况判断解的合理性。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 属于利润类一元二次方程应用问题，核心等量关系为“降价后的日利润=原日利润”。首先明确总利润计算公式：总利润=单千克利润×销售量，先计算原销售模式下的日利润，再设每千克降低x元，分别表示出降价后的单千克利润和日销售量，根据等量关系列方程求解，最后舍去不符合实际意义的解即可。
(2) 属于打折类一元一次不等式应用问题，核心不等关系为“线下打折后的售价≤(1)中得出的售价”。先算出(1)中降价后的葡萄售价，再设打y折，根据“折后价=标价×折扣数/10”列出不等式，求解后得到的最大折扣数即为至少需要打的折扣。
【解析】
(1) 设该葡萄的售价每千克降低$x$元，则每千克的销售利润为$(40-x-20)$元，日销售量为$(200+20x)$千克。
根据日利润保持不变，列方程得：
$(40-x-20)(200+20x)=(40-20)×200$
整理得：$x^2-10x=0$
解得：$x_1=0$（不符合题意，舍去），$x_2=10$。
(2) 由(1)可知，降价后的葡萄售价为$40-10=30$元/千克。
设该葡萄需要打$y$折销售，根据折后售价不超过30元/千克，列不等式得：
$50×\frac{y}{10}≤30$
解得：$y≤6$。
【答案】
(1) 若日利润保持不变，该葡萄的售价每千克可降低10元；
(2) 该葡萄至少需打六折销售。
【知识点】
一元二次方程应用，一元一次不等式应用，销售利润计算
【点评】
本题是贴合生活实际的销售类应用题，综合考查了方程与不等式的实际运用，解题关键是找准题目中的等量关系和不等关系，正确列出式子求解，同时要注意结合实际情况判断解的合理性。
【难度系数】
0.7
