11.(12分)(2025·宿迁宿豫区期中)如图,在长 40 m,宽 21 m 的矩形地面内,修筑两条同样宽且互相垂直的道路,余下的铺上草坪,要使草坪的面积达到 780 m²,道路的宽应为多少米？第11题图

11.解:设道路的宽应为$x$ m，
根据题意,得$(40-x)(21-x)=780$，
整理,得$x^2-61x+60=0$,解得$x_1=1,x_2=60$(舍去).
答:道路的宽应为1 m.

12.(12分)(2025·宿迁宿豫区期末)已知关于x的一元二次方程$x^2 -2kx + \frac{3}{4}k^2=0$.
(1)求证:该方程总有两个实数根；
(2)若$k＞0$,且该方程的两个实数根的平方和为10,求k的值.

12.(1)证明:$\because b^2-4ac=(-2k)^2-4×1×\frac{3}{4}k^2=k^2≥0$,
$\therefore$该方程总有两个实数根.
(2)解:设原方程的两个根为$x_1,x_2$,则$x_1+x_2=2k$,
$x_1x_2=\frac{3}{4}k^2$,
$\because$该方程的两个实数根的平方和为10,$\therefore x_1^2+x_2^2=10$,
$\therefore (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=10$,即$(2k)^2-2×\frac{3}{4}k^2=10$,解得$k=±2$.又$\because k＞0$,$\therefore k=2$.

13.(15分)某电商对种植成本为20元/千克的葡萄进行直播销售,如果按每千克40元销售,每天可卖出200千克.通过市场调查发现,如果该葡萄的售价每千克每降低1元,日销售量将增加20千克.
(1)若日利润保持不变,该葡萄的售价每千克可降低多少元?
(2)老张的线下水果店也销售同款葡萄,标价为每千克50元.为提高市场竞争力,促进线下销售,老张决定对该葡萄实行打折销售,使其销售价格不超过(1)中的售价,则该葡萄至少需打几折销售?

13.解:(1)设该葡萄的售价每千克降低$x$元,则每千克的销售利润为(40-x-20)元,日销售量为(200+20x)千克,根据题意,得$(40-x-20)(200+20x)=(40-20)×200$,整理得$x^2-10x=0$,
解得$x_1=0$(不符合题意,舍去),$x_2=10$.
答:若日利润保持不变,该葡萄的售价每千克可降低10元.
(2)设该葡萄需要打$y$折销售,根据题意,得$50×\frac{y}{10}≤40-10$,解得$y≤6$,$\therefore y$的最大值为6.
答:该葡萄至少需要打六折销售.