课前预习
|序号|基础知识|
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|1|正三角形的画法
（1）以线段 $BC$ 为边长作等边 $△ ABC$。
（2）在 $\odot O$ 中作圆心角 $∠ AOB=∠ BOC=∠ COA=$ ，$△ ABC$ 就是等边三角形。|
|2|用量角器作圆内接正多边形的画法
①画一个圆，记为 $\odot O$；
②用量角器画圆心角 $∠ A_1OA_2=$ ；
③以点 $A_2$ 为圆心，以弦 $A_1A_2$ 为半径在 $\odot O$ 上截得点 $A_3$；以 $A_3$ 为圆心，以弦 $A_1A_2$ 为半径在 $\odot O$ 上截得点 $A_4$……这样继续下去，就可以把 $\odot O$ 分成 $n$ 等份；
④顺次连接这 $n$ 个分点，就得到一个 。|
|3|用尺规作图画圆内接正方形、正六边形
作 的直径把圆四等分，就可以作出正方形。
利用圆内接正六边形的边长 ，可以作出圆内接正六边形。|
困惑疑问：

1. $120°$
2. $\frac{360°}{n}$，正n边形
3. 两条互相垂直，等于圆的半径

【分析】
这是一组考察正多边形与圆相关基础概念的填空题，解题可结合圆周总度数为360°、正多边形的性质推导：①正n边形的每条边对应的圆心角相等，总度数为360°，因此单个圆心角的度数为360°÷n；②画圆内接正多边形的核心是将圆n等分，再顺次连接等分点；③常见特殊正多边形的画法可结合自身性质推导，如正方形的圆心角为90°，正六边形的边长与半径存在特殊关系，按顺序逐一推导每个空即可。
【解析】
1. 正三角形是正三边形，三个相等的圆心角总度数为360°，因此每个圆心角$∠ AOB=∠ BOC=∠ COA=360°÷3=120°$。
2. ②要将圆分成n等份，每个等分对应的圆心角相等，因此需画的圆心角$∠ A_1OA_2=\frac{360°}{n}$；
④顺次连接圆的n个等分点，得到的多边形各边相等、各内角相等，即为正n边形。
3. 作两条互相垂直的直径时，直径将圆分成4个圆心角为90°的等份，可直接作出圆内接正方形；
圆内接正六边形每个边对应的圆心角为$360°÷6=60°$，由两条半径和边长构成的三角形为等边三角形，因此正六边形的边长等于圆的半径，利用这个性质可作出正六边形。
【答案】
1. $120°$
2. $\frac{360°}{n}$，正n边形
3. 两条互相垂直，等于圆的半径
【知识点】
正多边形与圆，圆心角计算，正多边形画法
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考察正多边形和圆的对应关系、常见正多边形的作图原理，牢记核心概念和特殊正多边形的性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9

课堂同步
思考(1)可以用哪些方法画正三角形？
(2)在 $\odot O$ 中,圆心角$∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=∠ DOE$,它们所对的弦 $AB,BC,CD,DE$ 相等吗？
(3)组成多边形 $ABCDE$ 的内角$∠ ABC$,$∠ BCD$,$∠ CDE$……也相等吗？
(4)由此猜测,多边形 $ABCDE$ 是正多边形吗？

(1)解法1:①用量角器画圆心角$∠ AOB=120°$，$∠ BOC=120°$；②连接$AB,BC,CA$，则$△ ABC$为圆内接正三角形。
解法2:①用量角器画圆心角$∠ BOC=120°$；②分别以点$B$、点$C$为圆心，以$BC$长为半径作弧，交$\odot O$于另一点$A$；③连接$AC,BC,AB$，则$△ ABC$为圆内接正三角形。
解法3:①作直径$AD$；②以$D$为圆心，以$OA$长为半径画弧，交$\odot O$于点$B,C$；③连接$AB,BC,CA$，则$△ ABC$为圆内接正三角形。
解法4:①在$\odot O$上任取一点$D$；②以点$D$为圆心，以$OD$长为半径画弧，交$\odot O$于点$B,C$；③以点$B$为圆心，以$BC$长为半径画弧，交$\odot O$于点$A$，连接$AB,AC,BC$，则$△ ABC$为圆内接正三角形(图略)。
解法5:(提示:先6等分圆周，再连接相间的两个点)
(2)相等。
(3)相等。
(4)是。

【分析】
(1) 画圆内接正三角形的核心是将圆周三等分，正三角形每条边对应的圆心角为$360°÷3=120°$，可通过画$120°$圆心角、等弧截取、利用直径和半径作图、六等分圆周取相间点等方法实现三等分圆周，依次连接分点即可得到正三角形。
(2) 第(2)问可利用同圆中圆心角、弧、弦的关系定理判断：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，结合已知的相等圆心角即可推导弦的关系。
(3) 第(3)问中多边形的内角均为圆周角，每个内角所对的弧为总圆周减去2段等弧，对应弧长相等，根据同圆中等弧所对的圆周角相等，即可判断内角相等。
(4) 第(4)问结合正多边形的定义：各边相等、各内角也相等的多边形是正多边形，结合(2)(3)的结论即可判断多边形类型。
【解析】
(1) 画正三角形的常见方法如下：
解法1：①用量角器画圆心角$∠ AOB=120°$，$∠ BOC=120°$；②连接$AB,BC,CA$，则$△ ABC$为圆内接正三角形。
解法2：①用量角器画圆心角$∠ BOC=120°$；②分别以点$B$、点$C$为圆心，以$BC$长为半径作弧，交$\odot O$于另一点$A$；③连接$AC,BC,AB$，则$△ ABC$为圆内接正三角形。
解法3：①作直径$AD$；②以$D$为圆心，以$OA$长为半径画弧，交$\odot O$于点$B,C$；③连接$AB,BC,CA$，则$△ ABC$为圆内接正三角形。
解法4：①在$\odot O$上任取一点$D$；②以点$D$为圆心，以$OD$长为半径画弧，交$\odot O$于点$B,C$；③以点$B$为圆心，以$BC$长为半径画弧，交$\odot O$于点$A$，连接$AB,AC,BC$，则$△ ABC$为圆内接正三角形。
解法5：先6等分圆周，再连接相间的两个点，即可得到正三角形。
(2) 在同圆$\odot O$中，相等的圆心角所对的弦相等，已知$∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=∠ DOE$，因此它们所对的弦$AB,BC,CD,DE$相等。
(3) 多边形$ABCDE$的内角均为圆周角，每个内角所对的弧长度相等，根据同圆中等弧所对的圆周角相等，可得$∠ ABC=∠ BCD=∠ CDE······$，因此内角都相等。
(4) 由(2)可知多边形$ABCDE$各边相等，由(3)可知各内角相等，符合正多边形的定义，因此多边形$ABCDE$是正多边形。
【答案】
(1)解法1:①用量角器画圆心角$∠ AOB=120°$，$∠ BOC=120°$；②连接$AB,BC,CA$，则$△ ABC$为圆内接正三角形。
解法2:①用量角器画圆心角$∠ BOC=120°$；②分别以点$B$、点$C$为圆心，以$BC$长为半径作弧，交$\odot O$于另一点$A$；③连接$AC,BC,AB$，则$△ ABC$为圆内接正三角形。
解法3:①作直径$AD$；②以$D$为圆心，以$OA$长为半径画弧，交$\odot O$于点$B,C$；③连接$AB,BC,CA$，则$△ ABC$为圆内接正三角形。
解法4:①在$\odot O$上任取一点$D$；②以点$D$为圆心，以$OD$长为半径画弧，交$\odot O$于点$B,C$；③以点$B$为圆心，以$BC$长为半径画弧，交$\odot O$于点$A$，连接$AB,AC,BC$，则$△ ABC$为圆内接正三角形(图略)。
解法5:(提示:先6等分圆周，再连接相间的两个点)
(2)相等。
(3)相等。
(4)是。
【知识点】
圆心角弧弦的关系、正多边形的判定、正多边形与圆
【点评】
本题围绕正多边形与圆的关系设置问题，既考查了圆内接正多边形的作图方法，又考查了同圆中圆心角、弦、圆周角的相关性质以及正多边形的判定，贴合基础知识点，能帮助学生理解正多边形的形成逻辑，提升对相关定理的应用能力。
【难度系数】
0.7